Fiche 2 : études de fonctions trigonométriques

Question 1

$f$ est dérivable sur $\R$ comme composée. Avec $(\sin u)'=u'\cos u$ et $u(x)=3x-1$ :

✅ $f'(x)=3\cos(3x-1)$

Question 2

$g=u^2$ avec $u(x)=\cos x$, $u'(x)=-\sin x$. Avec $(u^2)'=2u'u$ :

✅ $g'(x)=-2\sin x\cos x=-\sin2x$

Question 3

$h$ est dérivable sur $\R$ comme produit.

✅ $h'(x)=\sin x+x\cos x$

Question 4

$k$ est dérivable sur les intervalles où $1+\sin x\neq0$. Avec $\left(\dfrac uv\right)'$ :

✅ $k'(x)=\dfrac{-1}{1+\sin x}$

Question 5

Avec $(e^u)'=u'e^u$ et $u(x)=\cos x$ :

✅ $m'(x)=-\sin x\,e^{\cos x}$

Question 6

Pour tout $x$, $2+\cos x\ge1>0$ : $p$ est dérivable sur $\R$. Avec $(\ln u)'=\dfrac{u'}u$ :

✅ $p'(x)=\dfrac{-\sin x}{2+\cos x}$

Toutes ces fonctions sont définies sur $\R$, ensemble symétrique par rapport à $0$.

Question 1

$f(-x)=\sin(-2x)=-\sin2x=-f(x)$

✅ $f$ est impaire.

$f(x+\pi)=\sin(2x+2\pi)=\sin2x=f(x)$

✅ $f$ est $\pi$-périodique.

Question 2

$g(-x)=(\cos(-x))^2=\cos^2x=g(x)$

✅ $g$ est paire.

$g(x+\pi)=(\cos(x+\pi))^2=(-\cos x)^2=\cos^2x=g(x)$

✅ $g$ est $\pi$-périodique.

Question 3

$h(x+2\pi)=\sin x+\cos(2x+4\pi)=h(x)$

✅ $h$ est $2\pi$-périodique.

Pour la parité : $h(-x)=-\sin x+\cos2x$. Ce n'est ni $h(x)$ (sinon $\sin x=0$ pour tout $x$), ni $-h(x)$. Par exemple $h\left(\dfrac\pi2\right)=1-1=0$ et $h\left(-\dfrac\pi2\right)=-1-1=-2$.

❌ $h$ n'est ni paire ni impaire.

Question 4

$k(-x)=-x+\sin(-x)=-(x+\sin x)=-k(x)$

✅ $k$ est impaire.

Elle n'est pas périodique : $k(x)\to+\infty$ quand $x\to+\infty$ (car $x+\sin x\ge x-1$). Or une fonction périodique et continue est bornée.

❌ $k$ n'est pas périodique.

Parité et périodicité

$f(-x)=\cos(-x)+\dfrac12\cos(-2x)=\cos x+\dfrac12\cos2x=f(x)$

✅ $f$ est paire.

$f(x+2\pi)=\cos(x+2\pi)+\dfrac12\cos(2x+4\pi)=f(x)$

✅ $f$ est $2\pi$-périodique.

On étudie $f$ sur $[0\,;\pi]$, puis on complète par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées et par translations de $2\pi$.

Dérivée

$f$ est dérivable sur $\R$. $f'(x)=-\sin x-\sin2x=-\sin x-2\sin x\cos x$.

✅ $f'(x)=-\sin x\,(1+2\cos x)$

Signe sur $[0\,;\pi]$

$\sin x>0$ sur $]0\,;\pi[$. $1+2\cos x>0\iff\cos x>-\dfrac12\iff x<\dfrac{2\pi}3$. (Sur $[0\,;\pi]$, $\cos x=-\dfrac12$ pour $x=\dfrac{2\pi}3$.)

Donc $f'<0$ sur $\left]0\,;\dfrac{2\pi}3\right[$, $f'\left(\dfrac{2\pi}3\right)=0$ et $f'>0$ sur $\left]\dfrac{2\pi}3\,;\pi\right[$.

Tableau de variations sur $[0\,;\pi]$

$f$ est strictement décroissante sur $\left[0\,;\dfrac{2\pi}3\right]$, de $f(0)=1+\dfrac12=\dfrac32$ à $f\left(\dfrac{2\pi}3\right)=-\dfrac12+\dfrac12\cos\dfrac{4\pi}3=-\dfrac12-\dfrac14=-\dfrac34$. Puis strictement croissante sur $\left[\dfrac{2\pi}3\,;\pi\right]$, de $-\dfrac34$ à $f(\pi)=-1+\dfrac12=-\dfrac12$.

✅ Le minimum est $-\dfrac34$ (sur $[0\,;\pi]$ et sur $\R$).

✅ Le maximum est $\dfrac32$ (atteint en $0$).

Dérivée

$f$ est dérivable sur $[0\,;2\pi]$ comme somme.

✅ $f'(x)=1-2\sin x$

Signe

$f'(x)>0\iff\sin x<\dfrac12$. Sur $[0\,;2\pi]$, $\sin x=\dfrac12$ pour $x=\dfrac\pi6$ et $x=\dfrac{5\pi}6$. $\sin x<\dfrac12$ sur $\left[0\,;\dfrac\pi6\right[$ et sur $\left]\dfrac{5\pi}6\,;2\pi\right]$. $\sin x>\dfrac12$ sur $\left]\dfrac\pi6\,;\dfrac{5\pi}6\right[$.

Donc $f'>0$ sur $\left[0\,;\dfrac\pi6\right[$, $f'<0$ sur $\left]\dfrac\pi6\,;\dfrac{5\pi}6\right[$, $f'>0$ sur $\left]\dfrac{5\pi}6\,;2\pi\right]$.

Tableau

$f$ est strictement croissante sur $\left[0\,;\dfrac\pi6\right]$, de $f(0)=2$ à $f\left(\dfrac\pi6\right)=\dfrac\pi6+\sqrt3\approx2{,}26$. $f$ est strictement décroissante sur $\left[\dfrac\pi6\,;\dfrac{5\pi}6\right]$, jusqu'à $f\left(\dfrac{5\pi}6\right)=\dfrac{5\pi}6-\sqrt3\approx0{,}89$. $f$ est strictement croissante sur $\left[\dfrac{5\pi}6\,;2\pi\right]$, jusqu'à $f(2\pi)=2\pi+2\approx8{,}28$.

Extremums locaux

✅ Un maximum local $\dfrac\pi6+\sqrt3$ en $\dfrac\pi6$.

✅ Un minimum local $\dfrac{5\pi}6-\sqrt3$ en $\dfrac{5\pi}6$.

Question 1

Pour tout $x$, $\cos x\ge-1$, donc $2+\cos x\ge1>0$.

✅ $f$ est définie sur $\R$.

$f(-x)=\dfrac{\sin(-x)}{2+\cos(-x)}=\dfrac{-\sin x}{2+\cos x}=-f(x)$

✅ $f$ est impaire.

$f(x+2\pi)=f(x)$ car $\sin$ et $\cos$ sont $2\pi$-périodiques.

✅ $f$ est $2\pi$-périodique.

Par périodicité, on étudie sur $[-\pi\,;\pi]$ ; par imparité, sur $[0\,;\pi]$. On complète par symétrie par rapport à l'origine, puis par translations de $2\pi$.

Question 2

$f$ est dérivable sur $\R$ comme quotient dont le dénominateur ne s'annule pas. Avec $\left(\dfrac uv\right)'$ :

✅ $f'(x)=\dfrac{2\cos x+1}{(2+\cos x)^2}$

Question 3

Comme $(2+\cos x)^2>0$, $f'(x)$ est du signe de $2\cos x+1$. Sur $[0\,;\pi]$ : $2\cos x+1>0\iff\cos x>-\dfrac12\iff x<\dfrac{2\pi}3$. Donc $f'>0$ sur $\left[0\,;\dfrac{2\pi}3\right[$, $f'\left(\dfrac{2\pi}3\right)=0$ et $f'<0$ sur $\left]\dfrac{2\pi}3\,;\pi\right]$.

Tableau sur $[0\,;\pi]$ : $f$ est strictement croissante sur $\left[0\,;\dfrac{2\pi}3\right]$, de $f(0)=0$ à $f\left(\dfrac{2\pi}3\right)=\dfrac{\frac{\sqrt3}2}{2-\frac12}=\dfrac{\frac{\sqrt3}2}{\frac32}=\dfrac{\sqrt3}3$. Puis strictement décroissante sur $\left[\dfrac{2\pi}3\,;\pi\right]$, de $\dfrac{\sqrt3}3$ à $f(\pi)=0$.

Majoration : sur $[0\,;\pi]$, $0\le f(x)\le\dfrac{\sqrt3}3$. Par imparité, sur $[-\pi\,;0]$, $-\dfrac{\sqrt3}3\le f(x)\le0$. Par périodicité, cet encadrement vaut sur $\R$.

✅ $|f(x)|\le\dfrac{\sqrt3}3$ pour tout réel $x$

Avec égalité en $\dfrac{2\pi}3+2k\pi$ (maximum) et en $-\dfrac{2\pi}3+2k\pi$ (minimum).

Question 1

$\sin$ est deux fois dérivable sur $\R$ et $\sin''(x)=-\sin x$.

Sur $[0\,;\pi]$, $\sin x\ge0$ donc $\sin''\le0$.

✅ $\sin$ est concave sur $[0\,;\pi]$.

Sur $[\pi\,;2\pi]$, $\sin x\le0$ donc $\sin''\ge0$.

✅ $\sin$ est convexe sur $[\pi\,;2\pi]$.

La convexité change en $\pi$ ($\sin''$ s'annule en changeant de signe).

✅ Le point $(\pi\,;0)$ est un point d'inflexion.

Plus généralement, tous les points $(k\pi\,;0)$ sont des points d'inflexion.

Question 2

$\cos''(x)=-\cos x$.

Sur $\left[-\dfrac\pi2\,;\dfrac\pi2\right]$, $\cos x\ge0$ donc $\cos''\le0$.

✅ $\cos$ est concave.

Sur $\left[\dfrac\pi2\,;\dfrac{3\pi}2\right]$, $\cos x\le0$ donc $\cos''\ge0$.

✅ $\cos$ est convexe.

Les points $\left(\dfrac\pi2+k\pi\,;0\right)$ sont des points d'inflexion.

Question 3

La tangente à la courbe de $\sin$ en $0$ a pour équation $y=\sin0+\cos0\times x=x$. Comme $\sin$ est concave sur $[0\,;\pi]$, sa courbe est en dessous de cette tangente. Donc $\sin x\le x$ pour $x\in[0\,;\pi]$.

Pour $x>\pi$ : $\sin x\le1<\pi<x$.

✅ Donc $\sin x\le x$ pour tout $x\ge0$.

Question 1

Soit $g_1(x)=x-\sin x$ sur $[0\,;+\infty[$. $g_1$ est dérivable et $g_1'(x)=1-\cos x\ge0$. Donc $g_1$ est croissante, avec $g_1(0)=0$. Donc $g_1(x)\ge0$.

✅ $\sin x\le x$ pour $x\ge0$

Question 2

Soit $g_2(x)=\cos x-1+\dfrac{x^2}2$. $g_2$ est dérivable et $g_2'(x)=-\sin x+x=g_1(x)\ge0$ d'après la question 1. Donc $g_2$ est croissante, avec $g_2(0)=0$. Donc $g_2(x)\ge0$.

✅ $\cos x\ge1-\dfrac{x^2}2$ pour $x\ge0$

Question 3

Soit $g_3(x)=\sin x-x+\dfrac{x^3}6$. $g_3$ est dérivable et $g_3'(x)=\cos x-1+\dfrac{x^2}2=g_2(x)\ge0$ d'après la question 2. Donc $g_3$ est croissante, avec $g_3(0)=0$. Donc $g_3(x)\ge0$.

✅ $\sin x\ge x-\dfrac{x^3}6$ pour $x\ge0$

Question 4

Pour $x>0$, les questions 1 et 3 donnent $x-\dfrac{x^3}6\le\sin x\le x$. En divisant par $x>0$ :

Comme $1-\dfrac{x^2}6\to1$ quand $x\to0^+$, d'après le théorème des gendarmes :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to0^+}\frac{\sin x}x=1$

Méthode

La tangente au point d'abscisse $a$ a pour équation $y=f(a)+f'(a)(x-a)$.

Question 1

$\sin$ est dérivable sur $\R$ et $\sin'=\cos$.

En $0$ : $\sin0=0$, $\cos0=1$.

✅ $y=x$

En $\dfrac\pi3$ : $\sin\dfrac\pi3=\dfrac{\sqrt3}2$, $\cos\dfrac\pi3=\dfrac12$.

✅ $y=\dfrac{\sqrt3}2+\dfrac12\left(x-\dfrac\pi3\right)$

Question 2

$\cos$ est dérivable sur $\R$ et $\cos'=-\sin$. En $\dfrac\pi2$ : $\cos\dfrac\pi2=0$ et $-\sin\dfrac\pi2=-1$.

✅ $y=-\left(x-\dfrac\pi2\right)=\dfrac\pi2-x$

$\cos''=-\cos$ s'annule en $\dfrac\pi2$ en changeant de signe (concave à gauche, convexe à droite). Ce point est un point d'inflexion.

✅ La courbe traverse sa tangente.

Question 3

$f(x)=\sin x\cos x=\dfrac12\sin2x$, donc $f'(x)=\cos2x$.

En $\dfrac\pi4$ : $f\left(\dfrac\pi4\right)=\dfrac12\sin\dfrac\pi2=\dfrac12$ et $f'\left(\dfrac\pi4\right)=\cos\dfrac\pi2=0$.

✅ La tangente est $y=\dfrac12$, horizontale.