Fiche 1 : valeurs, formules, équations et inéquations

Question 1

$x^\circ=x\times\dfrac\pi{180}$ radians.

✅ $45^\circ=\dfrac\pi4$

✅ $120^\circ=\dfrac{2\pi}3$

✅ $210^\circ=\dfrac{7\pi}6$

Inversement, $x$ rad $=x\times\dfrac{180}\pi$ degrés.

✅ $\dfrac{5\pi}6=150^\circ$

✅ $\dfrac{3\pi}4=135^\circ$

Question 2

On se ramène aux valeurs remarquables par les formules d'angles associés et la périodicité.

$\cos\dfrac{5\pi}6=\cos\left(\pi-\dfrac\pi6\right)=-\cos\dfrac\pi6$

✅ $\cos\dfrac{5\pi}6=-\dfrac{\sqrt3}2$

$\sin\left(-\dfrac\pi4\right)=-\sin\dfrac\pi4$ (le sinus est impair)

✅ $\sin\left(-\dfrac\pi4\right)=-\dfrac{\sqrt2}2$

$\cos\dfrac{7\pi}3=\cos\left(\dfrac\pi3+2\pi\right)=\cos\dfrac\pi3$ (périodicité)

✅ $\cos\dfrac{7\pi}3=\dfrac12$

$\sin\dfrac{11\pi}6=\sin\left(-\dfrac\pi6+2\pi\right)=\sin\left(-\dfrac\pi6\right)$

✅ $\sin\dfrac{11\pi}6=-\dfrac12$

$\cos\left(-\dfrac{2\pi}3\right)=\cos\dfrac{2\pi}3$ (le cosinus est pair) $=\cos\left(\pi-\dfrac\pi3\right)=-\cos\dfrac\pi3$

✅ $\cos\left(-\dfrac{2\pi}3\right)=-\dfrac12$

$\sin\dfrac{3\pi}4=\sin\left(\pi-\dfrac\pi4\right)=\sin\dfrac\pi4$

✅ $\sin\dfrac{3\pi}4=\dfrac{\sqrt2}2$

$A(x)$

$\cos(\pi-x)=-\cos x$

$\sin\left(\dfrac\pi2+x\right)=\cos x$

$\cos(x+\pi)=-\cos x$

$A(x)=-\cos x+\cos x-\cos x$

✅ $A(x)=-\cos x$

$B(x)$

$\sin(\pi-x)=\sin x$

$\sin(-x)=-\sin x$, donc $-\sin(-x)=\sin x$

$\cos\left(\dfrac\pi2-x\right)=\sin x$

$B(x)=\sin x+\sin x+\sin x$

✅ $B(x)=3\sin x$

$C(x)$

$\cos\left(x+\dfrac\pi2\right)=-\sin x$

$\sin(x-\pi)=-\sin(\pi-x)=-\sin x$

$C(x)=-\sin x-\sin x$

✅ $C(x)=-2\sin x$

Question 1

On a $\cos^2x+\sin^2x=1$. $\cos^2x=1-\dfrac9{25}=\dfrac{16}{25}$. Donc $\cos x=\dfrac45$ ou $\cos x=-\dfrac45$.

Or $x\in\left[\dfrac\pi2\,;\pi\right]$ : le cosinus est négatif sur cet intervalle.

✅ $\cos x=-\dfrac45$

Question 2

$\sin^2x=1-\dfrac1{16}=\dfrac{15}{16}$. Donc $\sin x=\pm\dfrac{\sqrt{15}}4$.

Or $x\in[-\pi\,;0]$ : le sinus est négatif ou nul sur cet intervalle.

✅ $\sin x=-\dfrac{\sqrt{15}}4$

Question 1

Avec $x=\dfrac\pi8$ : $\cos\dfrac\pi4=\dfrac{\sqrt2}2=2\cos^2\dfrac\pi8-1$. Donc $\cos^2\dfrac\pi8=\dfrac{1+\frac{\sqrt2}2}2=\dfrac{2+\sqrt2}4$.

Comme $\dfrac\pi8\in\left[0\,;\dfrac\pi2\right]$, $\cos\dfrac\pi8>0$.

✅ $\cos\dfrac\pi8=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt2}}2$

De même, $\dfrac{\sqrt2}2=1-2\sin^2\dfrac\pi8$. Donc $\sin^2\dfrac\pi8=\dfrac{1-\frac{\sqrt2}2}2=\dfrac{2-\sqrt2}4$.

Comme $\sin\dfrac\pi8>0$ :

✅ $\sin\dfrac\pi8=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt2}}2$

Question 2

$\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$.

✅ $\cos\dfrac\pi{12}=\dfrac{\sqrt2+\sqrt6}4$

Dans toutes les réponses, $k$ désigne un entier relatif.

Question 1

$\cos\dfrac\pi3=\dfrac12$. $\cos x=\cos\dfrac\pi3\iff x=\dfrac\pi3+2k\pi$ ou $x=-\dfrac\pi3+2k\pi$.

✅ $S=\left\{\pm\dfrac\pi3+2k\pi\,,\ k\in\mathbb Z\right\}$

Question 2

$\sin\left(-\dfrac\pi4\right)=-\dfrac{\sqrt2}2$. $\sin x=\sin\left(-\dfrac\pi4\right)\iff x=-\dfrac\pi4+2k\pi$ ou $x=\pi-\left(-\dfrac\pi4\right)+2k\pi=\dfrac{5\pi}4+2k\pi$.

✅ $S=\left\{-\dfrac\pi4+2k\pi\,;\ \dfrac{5\pi}4+2k\pi\,,\ k\in\mathbb Z\right\}$

Question 3

$\cos x=\cos\dfrac\pi2\iff x=\dfrac\pi2+2k\pi$ ou $x=-\dfrac\pi2+2k\pi$. Ces deux familles se regroupent :

✅ $S=\left\{\dfrac\pi2+k\pi\,,\ k\in\mathbb Z\right\}$

Question 4

$\cos(2x)=\cos x\iff2x=x+2k\pi$ ou $2x=-x+2k\pi\iff x=2k\pi$ ou $x=\dfrac{2k\pi}3$.

La première famille est contenue dans la seconde ($k$ multiple de $3$).

✅ $S=\left\{\dfrac{2k\pi}3\,,\ k\in\mathbb Z\right\}$

Question 1

$\sin\dfrac\pi3=\dfrac{\sqrt3}2$. $\sin x=\sin\dfrac\pi3\iff x=\dfrac\pi3+2k\pi$ ou $x=\pi-\dfrac\pi3+2k\pi=\dfrac{2\pi}3+2k\pi$. Sur $[0\,;2\pi]$ ($k=0$) :

✅ $S=\left\{\dfrac\pi3\,;\dfrac{2\pi}3\right\}$

Question 2

On pose $X=\sin x$, avec $-1\le X\le1$. L'équation devient $2X^2-X-1=0$. $(2X+1)(X-1)=0$. Donc $X=-\dfrac12$ ou $X=1$, deux valeurs comprises entre $-1$ et $1$.

Si $\sin x=1$ : $x=\dfrac\pi2$ sur $[0\,;2\pi]$.

Si $\sin x=-\dfrac12$ : $\sin\left(-\dfrac\pi6\right)=-\dfrac12$, donc $x=-\dfrac\pi6+2k\pi$ ou $x=\dfrac{7\pi}6+2k\pi$. Sur $[0\,;2\pi]$ : $x=\dfrac{11\pi}6$ ($k=1$ pour la première famille) ou $x=\dfrac{7\pi}6$.

✅ $S=\left\{\dfrac\pi2\,;\dfrac{7\pi}6\,;\dfrac{11\pi}6\right\}$

Question 3

Par la formule d'addition :

Donc $\cos x+\sin x=\sqrt2\cos\left(x-\dfrac\pi4\right)$.

L'équation équivaut à $\cos\left(x-\dfrac\pi4\right)=\dfrac1{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}2=\cos\dfrac\pi4$. Soit $x-\dfrac\pi4=\dfrac\pi4+2k\pi$ ou $x-\dfrac\pi4=-\dfrac\pi4+2k\pi$. C'est-à-dire $x=\dfrac\pi2+2k\pi$ ou $x=2k\pi$.

Sur $]-\pi\,;\pi]$ ($k=0$) :

✅ $S=\left\{0\,;\dfrac\pi2\right\}$

Vérification : $\cos0+\sin0=1$ ✓ et $\cos\dfrac\pi2+\sin\dfrac\pi2=1$ ✓

Question 1

$\cos x=\dfrac{\sqrt2}2$ sur $]-\pi\,;\pi]$ pour $x=\dfrac\pi4$ et $x=-\dfrac\pi4$. Sur le cercle trigonométrique, les points dont l'abscisse (le cosinus) est supérieure ou égale à $\dfrac{\sqrt2}2$ forment l'arc entre $-\dfrac\pi4$ et $\dfrac\pi4$.

✅ $S=\left[-\dfrac\pi4\,;\dfrac\pi4\right]$

Question 2

$\sin x=-\dfrac12$ sur $[0\,;2\pi]$ pour $x=\dfrac{7\pi}6$ et $x=\dfrac{11\pi}6$. Les points dont l'ordonnée (le sinus) est strictement inférieure à $-\dfrac12$ forment l'arc ouvert entre $\dfrac{7\pi}6$ et $\dfrac{11\pi}6$.

✅ $S=\left]\dfrac{7\pi}6\,;\dfrac{11\pi}6\right[$

Question 3

On pose $X=\cos x$. L'inéquation devient $2X^2-3X+1\le0$. $(2X-1)(X-1)\le0$. C'est-à-dire $\dfrac12\le X\le1$.

Comme $\cos x\le1$ pour tout $x$, l'inéquation équivaut à $\cos x\ge\dfrac12$. Sur $]-\pi\,;\pi]$, $\cos x=\dfrac12$ pour $x=\pm\dfrac\pi3$.

✅ $S=\left[-\dfrac\pi3\,;\dfrac\pi3\right]$

Affirmation 1

Pour $x=0$ : $\cos0=1$ et $2\cos0=2$. En général $\cos2x=2\cos^2x-1$.

❌ Faux.

Affirmation 2

C'est la formule $\sin(\pi+x)=-\sin x$.

✅ Vrai.

Affirmation 3

$-1\le\cos x\le1$, donc $0\le\cos^2x\le1$.

✅ Vrai.

Affirmation 4

Pour $x=\pi$ : $\cos\left(\pi^2\right)\approx\cos(9{,}87)\approx-0{,}90$, alors que $\cos^2\pi=1$.

❌ Faux.

Affirmation 5

$\cos x\le1<2$ pour tout $x$.

✅ Vrai.

Affirmation 6

Contre-exemple : $x=0$ et $y=\pi$ donnent $\sin x=\sin y=0$, avec $x\neq y$. La fonction sinus n'est pas injective sur $\R$ (elle est périodique).

❌ Faux.