Guide de rédaction : fonction logarithme

🎯 Le principe du chapitre

Avec le logarithme, un correcteur regarde surtout cinq choses :

• l'ensemble de définition écrit en premier ;
• les équivalences justifiées ($\ln A=\ln B\iff A=B$ pour $A,B>0$) ;
• la vérification des solutions ;
• les croissances comparées nommées ;
• le sens des inégalités (retourné quand on divise par un logarithme négatif).

Situation 1 : l'ensemble de définition.

« $f(x)$ existe si et seulement si $\dfrac{1+x}{1-x}>0$. Un tableau de signes donne $-1<x<1$. Donc l'ensemble de définition est $D=]-1\,;1[$. »

Pour une somme : « $\ln x+\ln(x-2)$ existe si et seulement si $x>0$ et $x-2>0$, soit $x>2$. »

Situation 2 : transformer avec les propriétés.

« Pour $a,b>0$, $\ln(ab)=\ln a+\ln b$. Donc $\ln72=\ln\left(2^3\times3^2\right)=3\ln2+2\ln3$. »

⚠️ Précise que les nombres sont strictement positifs : les formules ne valent pas pour un réel négatif.

Situation 3 : résoudre une équation avec $\ln$ ($\ln x+\ln(x-1)=\ln6$).

« Ensemble de définition : $x>0$ et $x-1>0$, soit $x>1$.

Résolution : pour $x>1$, $\ln x+\ln(x-1)=\ln\big(x(x-1)\big)$. Donc l'équation équivaut à $x(x-1)=6$, soit $x^2-x-6=0$. $(x-3)(x+2)=0$, donc $x=3$ ou $x=-2$.

Vérification : comme $x>1$, $-2$ est exclu.

Conclusion : $S=\{3\}$. »

Situation 4 : résoudre une inéquation avec $\ln$ ($\ln(2x+1)<1$).

« Ensemble de définition : $2x+1>0$, soit $x>-\dfrac12$.

Comme $\ln$ est strictement croissante et $\ln e=1$ : $\ln(2x+1)<1\iff2x+1<e\iff x<\dfrac{e-1}2$.

Conclusion : $S=\left]-\dfrac12\,;\dfrac{e-1}2\right[$. »

Situation 5 : une équation exponentielle avec changement de variable.

« On pose $X=e^x$, avec $X>0$. L'équation $e^{2x}-3e^x+2=0$ devient $X^2-3X+2=0$. $(X-1)(X-2)=0$, donc $X=1$ ou $X=2$. Ces deux valeurs sont strictement positives. Donc $e^x=1$ ou $e^x=2$, soit $x=0$ ou $x=\ln2$. »

⚠️ Dis explicitement que $X>0$, et écarte les solutions négatives.

Situation 6 : un seuil avec $\ln$ ($0{,}85^n<0{,}1$).

« Comme $\ln$ est strictement croissante, $0{,}85^n<0{,}1\iff n\ln0{,}85<\ln0{,}1$. Comme $0{,}85<1$, $\ln0{,}85<0$ : on divise en retournant l'inégalité. $n>\dfrac{\ln0{,}1}{\ln0{,}85}\approx14{,}17$. Le plus petit entier est $n=15$. »

💡 Pour $q>1$, $\ln q>0$ et on ne retourne pas l'inégalité. Donne toujours l'entier, pas la valeur décimale.

Situation 7 : dériver $\ln u$.

« Pour $x>-\dfrac23$, $3x+2>0$ : $f$ est dérivable sur $\left]-\dfrac23\,;+\infty\right[$ comme composée de $x\mapsto3x+2$ (strictement positive) et de $\ln$. Avec $(\ln u)'=\dfrac{u'}u$ : $f'(x)=\dfrac3{3x+2}$. »

Situation 8 : une limite avec croissances comparées.

« Pour $x>0$, $x-\ln x=x\left(1-\dfrac{\ln x}x\right)$. Par croissances comparées, $\dfrac{\ln x}x\to0$, donc $1-\dfrac{\ln x}x\to1$. Par produit, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(x-\ln x)=+\infty$. »

« Par croissances comparées, $\displaystyle\lim_{x\to0^+}x\ln x=0$. »

⚠️ Nomme toujours le résultat : « par croissances comparées ».

Situation 9 : une limite par nombre dérivé.

« $\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{\ln(1+h)}h$ est le nombre dérivé de $x\mapsto\ln(1+x)$ en $0$, qui vaut $\dfrac1{1+0}=1$. »

Pour $\dfrac{\ln x}{x-1}$ en $1$ : « c'est le taux d'accroissement de $\ln$ en $1$, qui tend vers $\ln'(1)=1$. »

Situation 10 : l'étude d'une fonction avec $\ln$.

1. Domaine : « $f$ est définie sur $]0\,;+\infty[$. »
2. Limites : avec croissances comparées, et le comportement de $\ln x$ en $0^+$.
3. Dérivée : « $f$ est dérivable comme … Pour tout $x>0$, $f'(x)=\dots$ ».
4. Signe : facteur par facteur ($x>0$, $x^2>0$, $\ln x$ du signe de $x-1$).
5. Tableau : limites, valeurs ($f(1)$, $f(e)$, $f\left(\dfrac1e\right)$…).
6. Convexité, tangente, équation selon les questions.

Situation 11 : utiliser ou démontrer $\ln x\le x-1$.

« Soit $f(x)=x-\ln x$ sur $]0\,;+\infty[$. $f'(x)=\dfrac{x-1}x$, du signe de $x-1$. Donc $f$ admet un minimum en $1$, égal à $f(1)=1$. Ainsi $x-\ln x\ge1$, soit $\ln x\le x-1$ pour tout $x>0$. »

Ou : « $\ln$ est concave, sa courbe est en dessous de sa tangente en $1$, d'équation $y=x-1$. »

Situation 12 : suites avec $\ln$.

Monotonie : « Comme $\ln x\le x-1$, avec $x=1+u_n$ : $\ln(1+u_n)\le u_n$, donc $u_{n+1}\le u_n$. »

Limite de $\left(1+\dfrac an\right)^n$ : « $\left(1+\dfrac an\right)^n=e^{n\ln\left(1+\frac an\right)}$ et $n\ln\left(1+\dfrac an\right)=a\times\dfrac{\ln(1+h)}h$ avec $h=\dfrac an\to0$. Donc $n\ln\left(1+\dfrac an\right)\to a$. Par composition, la limite est $e^a$. »

Situation 13 : un problème de modélisation.

« $N(t+T)=N(t)\times e^{0{,}3T}$. Donc $N(t+T)=2N(t)\iff e^{0{,}3T}=2\iff T=\dfrac{\ln2}{0{,}3}\approx2{,}31$ heures, quel que soit $t$.

Conclusion : le temps de doublement est d'environ $2{,}31$ heures. »

⚠️ Une conclusion en contexte, avec l'unité, est obligatoire.

Situation 14 : vrai/faux et contre-exemple.

« L'affirmation est fausse. Contre-exemple : $a=b=1$. $\ln(a+b)=\ln2\neq0=\ln a+\ln b$. »

a) Une équation.

❌ « $\ln x+\ln(x-1)=\ln6$ donc $x(x-1)=6$ donc $x=3$ ou $x=-2$. »

✅ « Pour $x>1$, l'équation équivaut à $x(x-1)=6$, donc $x=3$ ou $x=-2$. Comme $x>1$, $S=\{3\}$. »

Ce qui manque à la première : l'ensemble de définition et l'élimination de $-2$.

b) Un seuil.

❌ « $0{,}85^n<0{,}1$ donc $n<\dfrac{\ln0{,}1}{\ln0{,}85}$. »

✅ « $n\ln0{,}85<\ln0{,}1$, et $\ln0{,}85<0$, donc $n>\dfrac{\ln0{,}1}{\ln0{,}85}\approx14{,}17$, soit $n=15$. »

c) Une limite.

❌ « $x\ln x=0\times(-\infty)=0$. »

✅ « Par croissances comparées, $\displaystyle\lim_{x\to0^+}x\ln x=0$. »

d) Une propriété.

❌ « $\ln(a+b)=\ln a+\ln b$. »

✅ « $\ln(ab)=\ln a+\ln b$. Il n'existe pas de formule pour $\ln(a+b)$. »

• J'ai écrit l'ensemble de définition avant toute équation ou dérivée.
• Mes équivalences utilisent bien $\ln A=\ln B\iff A=B$ avec $A,B>0$.
• J'ai vérifié que mes solutions appartiennent à l'ensemble de définition.
• Dans un seuil, j'ai regardé le signe de $\ln q$ avant de diviser.
• Chaque limite avec $\ln$ cite les croissances comparées ou un nombre dérivé.
• Mon tableau contient les limites et les valeurs remarquables.
• Pour un problème, ma conclusion est en contexte, avec l'unité.
• J'ai vérifié avec une valeur simple : $\ln1=0$, $\ln e=1$.

😄 Un logarithme sans ensemble de définition, c'est un pilote sans licence : ça roule tant que personne ne contrôle, et le correcteur contrôle.