Fiche 4 : logarithme, suites et algorithmique

Question 1

Le capital au bout de $n$ années est $u_n=2\,000\times1{,}03^n$. On cherche le plus petit entier $n$ tel que $2\,000\times1{,}03^n\ge3\,000$, soit $1{,}03^n\ge1{,}5$. Comme $\ln$ est strictement croissante : $n\ln1{,}03\ge\ln1{,}5$. Comme $1{,}03>1$, $\ln1{,}03>0$ :

✅ Le plus petit entier est $n=14$.

Contrôle :

$2\,000\times1{,}03^{13}\approx2\,937<3\,000$

$2\,000\times1{,}03^{14}\approx3\,025\ge3\,000$

Question 2

La valeur au bout de $n$ années est $v_n=10\,000\times0{,}85^n$. On cherche $10\,000\times0{,}85^n<1\,000$, soit $0{,}85^n<0{,}1$. Donc $n\ln0{,}85<\ln0{,}1$. Comme $0{,}85<1$, $\ln0{,}85<0$ : on divise en retournant l'inégalité.

✅ Le plus petit entier est $n=15$.

Question 3

Version avec boucle :

def rang():
    n = 0
    u = 2000
    while u < 3000:
        u = 1.03*u
        n = n + 1
    return n

Version avec le logarithme :

from math import log, ceil

def rang():
    return ceil(log(1.5)/log(1.03))

La fonction ceil arrondit à l'entier supérieur : $13{,}72$ devient $14$.

✅ Les deux versions renvoient $14$.

La boucle se termine car $u_n\to+\infty$ ($1{,}03>1$).

Question 1

$f$ est dérivable sur $]-1\,;+\infty[$ et $f'(x)=\dfrac1{1+x}>0$.

✅ $f$ est strictement croissante.

On a $f(0)=0$ et $f(1)=\ln2\le1$ (car $\ln x\le x-1$ donne $\ln2\le1$).

Soit $P(n)$ : « $0<u_n\le1$ ».

Initialisation.

$u_0=1$ : $P(0)$ est vraie.

Hérédité.

Soit $k\in\N$ fixé tel que $0<u_k\le1$. Comme $f$ est croissante, $f(0)<f(u_k)\le f(1)$. Soit $0<u_{k+1}\le\ln2\le1$ : $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion.

✅ $0<u_n\le1$ pour tout $n\in\N$.

Question 2

Pour tout $n$, $u_{n+1}-u_n=\ln(1+u_n)-u_n$. Comme $\ln x\le x-1$ pour $x>0$, avec $x=1+u_n$ : $\ln(1+u_n)\le u_n$. Donc $u_{n+1}-u_n\le0$.

✅ $(u_n)$ est décroissante.

Question 3

$(u_n)$ est décroissante et minorée par $0$. D'après le théorème de convergence monotone :

✅ elle converge vers un réel $\ell\in[0\,;1]$.

La fonction $f$ est continue sur $[0\,;1]$. En passant à la limite dans $u_{n+1}=f(u_n)$ : $\ell=\ln(1+\ell)$.

Soit $g(x)=x-\ln(1+x)$ sur $[0\,;+\infty[$. $g'(x)=1-\dfrac1{1+x}=\dfrac x{1+x}>0$ pour $x>0$. $g$ est strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$, avec $g(0)=0$. Donc $g(x)>0$ pour $x>0$.

L'équation $g(\ell)=0$ avec $\ell\ge0$ impose $\ell=0$.

✅ Donc $\lim u_n=0$.

Question 1

Pour $n$ assez grand, $\left(1+\dfrac3n\right)^n=e^{n\ln\left(1+\frac3n\right)}$. Et $n\ln\left(1+\dfrac3n\right)=3\times\dfrac{\ln(1+h)}h$ avec $h=\dfrac3n\to0$. Comme $\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{\ln(1+h)}h=1$, $n\ln\left(1+\dfrac3n\right)\to3$. Par composition avec l'exponentielle continue :

✅ $\lim\left(1+\dfrac3n\right)^n=e^3$

De même $n\ln\left(1-\dfrac2n\right)=-2\times\dfrac{\ln(1+h)}h$ avec $h=-\dfrac2n\to0$. Donc $n\ln\left(1-\dfrac2n\right)\to-2$.

✅ $\lim\left(1-\dfrac2n\right)^n=e^{-2}$

Question 2

$C_n=1\,000\,e^{n\ln\left(1+\frac{0{,}05}n\right)}$. $n\ln\left(1+\dfrac{0{,}05}n\right)=0{,}05\times\dfrac{\ln(1+h)}h$ avec $h=\dfrac{0{,}05}n\to0$. Donc $n\ln\left(1+\dfrac{0{,}05}n\right)\to0{,}05$.

✅ $\lim C_n=1\,000\,e^{0{,}05}\approx1\,051{,}27$ €

Interprétation : même avec des intérêts calculés de plus en plus souvent, le capital final ne dépasse pas environ $1\,051{,}27$ €.

Il tend vers une limite (intérêts composés « continus »).

Pour comparaison, $n=1$ donne $1\,050$ € et $n=12$ donne environ $1\,051{,}16$ €.

Décomposition

Pour $k\ge2$ : $1-\dfrac1{k^2}=\dfrac{k^2-1}{k^2}=\dfrac{(k-1)(k+1)}{k^2}$, et $1-\dfrac1{k^2}>0$. Donc :

Sommation

En sommant de $k=2$ à $n$ :

$\displaystyle\sum\ln(k-1)=\ln1+\ln2+\dots+\ln(n-1)$

$\displaystyle\sum\ln(k+1)=\ln3+\ln4+\dots+\ln(n+1)$

$\displaystyle\sum2\ln k=2(\ln2+\dots+\ln n)$

Après simplification (télescopage) : $S_n=\ln1-\ln2+\ln(n+1)-\ln n$.

✅ $S_n=\ln\dfrac{n+1}{2n}$

Vérification pour $n=2$ : $S_2=\ln\dfrac34$ et $\ln\dfrac{2+1}{2\times2}=\ln\dfrac34$ ✓

Limite

Comme $\dfrac{n+1}{2n}=\dfrac{1+\frac1n}2\to\dfrac12$ et que $\ln$ est continue en $\dfrac12$ :

✅ $\lim S_n=\ln\dfrac12=-\ln2$

Question 1

Par croissances comparées, $\dfrac{\ln x}x\to0$ quand $x\to+\infty$.

✅ $\lim u_n=0$

Question 2

Pour $n\ge1$ : $v_n=\ln\left(n^2+1\right)-\ln\left(n^2\right)=\ln\dfrac{n^2+1}{n^2}=\ln\left(1+\dfrac1{n^2}\right)$. Comme $1+\dfrac1{n^2}\to1$ et que $\ln$ est continue en $1$ :

✅ $\lim v_n=0$

Question 3

Forme « $+\infty-\infty$ ». $w_n=n\left(1-\dfrac{\ln n}n\right)$, avec $\dfrac{\ln n}n\to0$. Donc $1-\dfrac{\ln n}n\to1$ et, par produit :

✅ $\lim w_n=+\infty$

Question 4

$t_n=\left(\dfrac{\ln n}{\sqrt n}\right)^2$. D'après l'exercice 2 de la fiche 2, $\dfrac{\ln x}{\sqrt x}\to0$. Par composition avec la fonction carré :

✅ $\lim t_n=0$

Question 1

def rang():
    n = 0
    s = 0
    while s < 5:
        n = n + 1
        s = s + 1/n
    return n

La boucle se termine car $H_n\to+\infty$. À l'exécution, $H_{82}\approx4{,}990<5$ et $H_{83}\approx5{,}002\ge5$.

✅ La fonction renvoie $83$.

Question 2

$\ln n\ge10\iff n\ge e^{10}$ ($\ln$ est strictement croissante). Comme $e^{10}\approx22\,026{,}47$ :

✅ le plus petit entier est $n=22\,027$.

Question 3

On a $H_n\ge\ln(n+1)$. Or $\ln(n+1)\ge5\iff n+1\ge e^5\approx148{,}41\iff n\ge147{,}41$. Donc, pour tout $n\ge148$ :

✅ $H_n\ge\ln(n+1)\ge5$

Remarque : cette borne ($148$) est loin du rang exact ($83$). L'inégalité $H_n\ge\ln(n+1)$ est valable mais pas très précise.

Question 1

$x^{1/2^n}=\mathrm e^{\frac{\ln x}{2^n}}=\mathrm e^h$.

Question 2

$2^n\left(x^{1/2^n}-1\right)=2^n(\mathrm e^h-1)=\ln x\times\dfrac{\mathrm e^h-1}{h}$ car $2^n=\dfrac{\ln x}h$ (pour $x\neq1$).

✅ Quand $n\to+\infty$, $h\to0$ donc $\dfrac{\mathrm e^h-1}h\to1$ et la quantité tend vers $\ln x$.

Question 3

from math import log
n = 10
print(2**n * (2**(1 / 2**n) - 1), log(2))

✅ On obtient $0{,}69338\dots$ contre $\ln2=0{,}69314\dots$ : trois décimales exactes seulement.