Fiche 1 : propriétés, équations et inéquations

Méthode

On décompose chaque nombre en produit de puissances de $2$ et de $3$. Puis on applique $\ln(xy)=\ln x+\ln y$, $\ln(x^n)=n\ln x$ et $\ln\dfrac xy=\ln x-\ln y$ (pour $x,y>0$).

$\ln12=\ln\left(2^2\times3\right)=2\ln2+\ln3$

✅ $\ln12=2a+b$

$\ln36=\ln\left(2^2\times3^2\right)$

✅ $\ln36=2a+2b$

$\ln\dfrac23=\ln2-\ln3$

✅ $\ln\dfrac23=a-b$

$\ln0{,}75=\ln\dfrac34=\ln3-\ln2^2$

✅ $\ln0{,}75=b-2a$

$\ln\sqrt6=\dfrac12\ln6=\dfrac12(\ln2+\ln3)$

✅ $\ln\sqrt6=\dfrac{a+b}2$

$\ln72=\ln\left(2^3\times3^2\right)$

✅ $\ln72=3a+2b$

Méthode

On utilise $\ln(e^x)=x$, $e^{\ln x}=x$ ($x>0$) et les propriétés algébriques.

$A=3+\ln\left(e^{-1}\right)=3-1$

✅ $A=2$

$B=\ln\left(e^2\right)+\ln\left(e^{1/2}\right)=2+\dfrac12$

✅ $B=\dfrac52$

$C=e^{\ln3^2}=e^{\ln9}$

✅ $C=9$

$D=e^{\ln\frac12}$

✅ $D=\dfrac12$

$E=\ln\left(e^{1/2}\right)-\ln\left(e^2\right)=\dfrac12-2$

✅ $E=-\dfrac32$

Question 1

$f(x)$ existe si et seulement si $x^2-4>0$, c'est-à-dire $(x-2)(x+2)>0$. Ce trinôme est positif à l'extérieur de ses racines $-2$ et $2$.

✅ $D_f=]-\infty\,;-2[\,\cup\,]2\,;+\infty[$

Question 2

$g(x)$ existe si et seulement si $x\neq-2$ et $\dfrac{x-1}{x+2}>0$. Par un tableau de signes :

• le quotient est positif pour $x<-2$ (numérateur et dénominateur négatifs) ;
• positif pour $x>1$ (tous deux positifs) ;
• négatif pour $-2<x<1$.

✅ $D_g=]-\infty\,;-2[\,\cup\,]1\,;+\infty[$

Question 3

$h(x)$ existe si et seulement si $x>0$ et $x-2>0$, c'est-à-dire $x>2$.

✅ $D_h=]2\,;+\infty[$

Question 4

$k(x)$ existe si et seulement si $x>0$ et $\ln x\neq0$. Comme $\ln x=0\iff x=1$ :

✅ $D_k=]0\,;1[\,\cup\,]1\,;+\infty[$

Question 1

Ensemble de définition : $2x-1>0\iff x>\dfrac12$.

Pour $x>\dfrac12$ :

$\ln(2x-1)=3\iff2x-1=e^3\iff x=\dfrac{e^3+1}2$

Ce nombre est supérieur à $\dfrac12$.

✅ $S=\left\{\dfrac{e^3+1}2\right\}$

Question 2

Ensemble de définition : $x>0$ et $x-1>0$, soit $x>1$.

Pour $x>1$ : $\ln x+\ln(x-1)=\ln\big(x(x-1)\big)$. L'équation équivaut à $x(x-1)=6$, soit $x^2-x-6=0$. $(x-3)(x+2)=0$, donc $x=3$ ou $x=-2$. Comme $x>1$, $-2$ est exclu.

✅ $S=\{3\}$

Question 3

Ensemble de définition : $x+1>0$ et $3-x>0$, soit $-1<x<3$.

Pour $x$ dans $]-1\,;3[$ :

$\ln(x+1)=\ln(3-x)\iff x+1=3-x\iff x=1$

Ce nombre appartient à $]-1\,;3[$.

✅ $S=\{1\}$

Question 4

Ensemble de définition : $x>0$.

On pose $X=\ln x$. L'équation devient $X^2-X-2=0$, soit $(X-2)(X+1)=0$. Donc $X=2$ ou $X=-1$. Donc $\ln x=2$ ou $\ln x=-1$, soit $x=e^2$ ou $x=e^{-1}$. Ces deux nombres sont bien strictement positifs.

✅ $S=\left\{e^{-1}\,;e^2\right\}$

Question 1

Ensemble de définition : $x>3$.

Comme $\ln1=0$ et $\ln$ est strictement croissante :

$\ln(x-3)\ge0\iff\ln(x-3)\ge\ln1\iff x-3\ge1\iff x\ge4$

✅ $S=[4\,;+\infty[$

Question 2

Ensemble de définition : $2x+1>0\iff x>-\dfrac12$.

Comme $\ln e=1$ :

$\ln(2x+1)<1\iff2x+1<e\iff x<\dfrac{e-1}2$

✅ $S=\left]-\dfrac12\,;\dfrac{e-1}2\right[$

Question 3

Ensemble de définition : $x>0$ et $x-2>0$, soit $x>2$.

Pour $x>2$ :

$\ln\big(x(x-2)\big)\le\ln3\iff x(x-2)\le3$

$\iff x^2-2x-3\le0\iff(x-3)(x+1)\le0\iff-1\le x\le3$

En tenant compte de $x>2$ :

✅ $S=]2\,;3]$

Question 4

Ensemble de définition : $x>0$.

Avec $X=\ln x$ :

$X^2-3X+2>0\iff(X-1)(X-2)>0\iff X<1$ ou $X>2$

Donc $\ln x<1$ ou $\ln x>2$, soit $0<x<e$ ou $x>e^2$.

✅ $S=]0\,;e[\,\cup\,]e^2\,;+\infty[$

Question 1

On pose $X=e^x$, avec $X>0$. L'équation devient $X^2-3X+2=0$, soit $(X-1)(X-2)=0$. Donc $X=1$ ou $X=2$. Donc $e^x=1$ ou $e^x=2$, soit $x=0$ ou $x=\ln2$.

✅ $S=\{0\,;\ln2\}$

Question 2

$e^{x+1}=5\iff x+1=\ln5\iff x=\ln5-1$

✅ $S=\{\ln5-1\}$

Question 3

$3e^{-x}=2\iff e^{-x}=\dfrac23\iff-x=\ln\dfrac23\iff x=-\ln\dfrac23=\ln\dfrac32$

✅ $S=\left\{\ln\dfrac32\right\}$

Question 4

En multipliant par $e^x>0$ : $e^{2x}-2=e^x$, soit $e^{2x}-e^x-2=0$. Avec $X=e^x>0$ : $X^2-X-2=0$, soit $(X-2)(X+1)=0$. Donc $X=2$ ou $X=-1$. Comme $X>0$, $X=-1$ est exclu. Donc $e^x=2$, soit $x=\ln2$.

✅ $S=\{\ln2\}$

Question 1

Les deux membres sont strictement positifs, et $\ln$ est strictement croissante :

$e^{3x-1}\ge2\iff3x-1\ge\ln2\iff x\ge\dfrac{1+\ln2}3$

✅ $S=\left[\dfrac{1+\ln2}3\,;+\infty\right[$

Question 2

$e^{-x}<\dfrac13\iff-x<\ln\dfrac13=-\ln3\iff x>\ln3$

✅ $S=]\ln3\,;+\infty[$

Question 1

Les deux membres sont strictement positifs, et $\ln$ est strictement croissante :

$1{,}05^n\ge2\iff n\ln1{,}05\ge\ln2$

Comme $1{,}05>1$, $\ln1{,}05>0$ :

$n\ge\dfrac{\ln2}{\ln1{,}05}\approx14{,}2$

✅ Le plus petit entier est $n=15$.

Question 2

$500\times1{,}04^n\ge1\,000\iff1{,}04^n\ge2\iff n\ge\dfrac{\ln2}{\ln1{,}04}\approx17{,}67$

✅ Le plus petit entier est $n=18$.

Question 3

$2\times0{,}8^n<0{,}01\iff0{,}8^n<0{,}005\iff n\ln0{,}8<\ln0{,}005$

Comme $0{,}8<1$, $\ln0{,}8<0$ : on divise en retournant l'inégalité.

$n>\dfrac{\ln0{,}005}{\ln0{,}8}\approx23{,}74$

✅ Le plus petit entier est $n=24$.

Question 1

On a $a\times\dfrac1a=1$, donc $\ln\left(a\times\dfrac1a\right)=\ln1=0$. Or $\ln\left(a\times\dfrac1a\right)=\ln a+\ln\dfrac1a$. Donc $\ln a+\ln\dfrac1a=0$.

✅ $\ln\dfrac1a=-\ln a$

Question 2

Soit $P(n)$ : « $\ln(a^n)=n\ln a$ ».

Initialisation.

$\ln(a^0)=\ln1=0=0\times\ln a$ : $P(0)$ est vraie.

Hérédité.

Soit $k\in\N$ fixé tel que $\ln(a^k)=k\ln a$. Alors :

$P(k+1)$ est vraie.

Conclusion.

✅ $\ln(a^n)=n\ln a$ pour tout $n\in\N$

Question 3

On a $\left(\sqrt a\right)^2=a$. D'après la question 2 avec $n=2$ : $\ln a=\ln\left(\left(\sqrt a\right)^2\right)=2\ln\sqrt a$.

✅ $\ln\sqrt a=\dfrac12\ln a$

Affirmation 1

Contre-exemple : $a=b=1$. $\ln(1+1)=\ln2\neq0=\ln1+\ln1$. C'est $\ln(ab)$ qui vaut $\ln a+\ln b$.

❌ Faux.

Affirmation 2

Pour $a<0$, $\ln a$ n'existe pas. Pour $a=-1$, $\ln(a^2)=\ln1=0$, mais $2\ln(-1)$ n'a pas de sens. La bonne formule est $\ln(a^2)=2\ln|a|$.

❌ Faux.

Affirmation 3

$\ln$ est strictement croissante avec $\ln1=0$. $\ln x<0\iff\ln x<\ln1\iff x<1$, et $x>0$ pour que $\ln x$ existe.

✅ Vrai.

Affirmation 4

Contre-exemple : $x=e^2$ et $y=e$. $\dfrac{\ln x}{\ln y}=\dfrac21=2$, alors que $\ln\dfrac xy=\ln e=1$. C'est $\ln x-\ln y$ qui vaut $\ln\dfrac xy$.

❌ Faux.

Affirmation 5

$e^{\ln x}=x$ n'a de sens que pour $x>0$. Pour $x\le0$, $\ln x$ n'existe pas.

❌ Faux.

Affirmation 6

Pour tout réel $x$, $e^x>0$ et $\ln$ est la réciproque de l'exponentielle.

✅ Vrai.