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Terminale Spé Maths / Chapitre 4 : Dérivation et convexité

Fiche 4 : inégalités, convexité et suites

Huit exercices sur les inégalités classiques du bac, démontrées par une étude de fonction auxiliaire ou par la convexité, et sur leurs applications : limites, suites, moyennes.

Toutes les corrections sont rédigées comme on l'attend au bac : fonction auxiliaire définie, dérivée factorisée, signe justifié, minimum ou maximum invoqué, conclusion.

💡 Les deux méthodes pour une inégalité f(x)≥g(x)f(x)\ge g(x)

  1. La fonction auxiliaire. On pose h=f−gh=f-g, on étudie les variations de hh, et on montre que son minimum est ≥0\ge0 (souvent égal à 00).
  2. La convexité. Si ff est convexe, sa courbe est au-dessus de ses tangentes. Si ff est concave, elle est en dessous.

Ces inégalités servent ensuite pour des limites (comparaison, gendarmes), des suites (monotonie) et des estimations.

⚠️ Les pièges classiques

  • Oublier de préciser l'intervalle sur lequel l'inégalité est démontrée.
  • Étudier le signe de h′h' mais oublier la valeur du minimum (h(0)=0h(0)=0 par exemple).
  • Se tromper de sens dans une inégalité en la retournant sans raison.
  • Multiplier ou diviser par une quantité sans connaître son signe.

😄 L'inégalité ex≥1+xe^x\ge1+x est la plus rentable du programme : elle sert à tout, comme le couteau suisse des exercices du bac.

Exercice 1 (★★) : l'inégalité ex≥1+xe^x\ge1+x

1. Démontrer par l'étude d'une fonction que, pour tout réel xx, ex≥1+xe^x\ge1+x.

2. En déduire que, pour tout entier n≥1n\ge1, (1+1n)n≤e\left(1+\dfrac1n\right)^n\le e.

✏️ Correction de l'exercice 1

Question 1

Soit g(x)=ex−x−1g(x)=e^x-x-1 sur R\R. La fonction gg est dérivable sur R\R et g′(x)=ex−1g'(x)=e^x-1.

Comme l'exponentielle est strictement croissante et e0=1e^0=1 : g′(x)<0g'(x)<0 si x<0x<0, g′(0)=0g'(0)=0 et g′(x)>0g'(x)>0 si x>0x>0.

Donc gg est strictement décroissante sur ]−∞ ;0]]-\infty\,;0] et strictement croissante sur [0 ;+∞[[0\,;+\infty[.

Elle admet un minimum en 00, égal à g(0)=1−0−1=0g(0)=1-0-1=0.

Ainsi g(x)≥0g(x)\ge0 pour tout xx.

✅ ex≥1+xe^x\ge1+x

Question 2

Soit n≥1n\ge1. En appliquant l'inégalité de la question 1 avec x=1nx=\dfrac1n : 1+1n≤e1/n1+\dfrac1n\le e^{1/n}.

Ces deux nombres sont positifs, donc, en élevant à la puissance nn (la fonction t↦tnt\mapsto t^n est croissante sur [0 ;+∞[[0\,;+\infty[) :

(1+1n)n≤(e1/n)n=e\left(1+\frac1n\right)^n\le\left(e^{1/n}\right)^n=e

✅ Donc (1+1n)n≤e\left(1+\dfrac1n\right)^n\le e.

Exercice 2 (★★) : un encadrement plus fin et une limite

1. Montrer que, pour tout x≥0x\ge0, ex≥1+x+x22e^x\ge1+x+\dfrac{x^2}2.

2. En déduire lim⁡x→+∞exx\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}x.

✏️ Correction de l'exercice 2

Question 1

Soit g(x)=ex−1−x−x22g(x)=e^x-1-x-\dfrac{x^2}2 sur [0 ;+∞[[0\,;+\infty[. La fonction gg est dérivable et g′(x)=ex−1−xg'(x)=e^x-1-x.

D'après l'exercice 1, ex≥1+xe^x\ge1+x, donc g′(x)≥0g'(x)\ge0 pour tout xx. gg est croissante sur [0 ;+∞[[0\,;+\infty[. Comme g(0)=1−1=0g(0)=1-1=0, on a g(x)≥g(0)=0g(x)\ge g(0)=0 pour x≥0x\ge0.

✅ ex≥1+x+x22e^x\ge1+x+\dfrac{x^2}2 pour tout x≥0x\ge0

Question 2

Pour x>0x>0, en divisant par x>0x>0 :

exx≥1x+1+x2\frac{e^x}x\ge\frac1x+1+\frac x2

Or lim⁡x→+∞(1x+1+x2)=+∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\frac1x+1+\frac x2\right)=+\infty. D'après le théorème de comparaison :

✅ lim⁡x→+∞exx=+∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}x=+\infty

On a redémontré ainsi une croissance comparée.

Exercice 3 (★★) : une racine et sa tangente

Montrer que, pour tout x>−1x>-1, 1+x≤1+x2\sqrt{1+x}\le1+\dfrac x2, en étudiant une fonction auxiliaire.

✏️ Correction de l'exercice 3

La fonction auxiliaire. Soit g(x)=1+x2−1+xg(x)=1+\dfrac x2-\sqrt{1+x} sur ]−1 ;+∞[]-1\,;+\infty[. La fonction gg est dérivable sur cet intervalle et :

g′(x)=12−121+x=1+x−121+xg'(x)=\frac12-\frac1{2\sqrt{1+x}}=\frac{\sqrt{1+x}-1}{2\sqrt{1+x}}

Le signe. Le dénominateur est strictement positif. Le signe de g′(x)g'(x) est celui de 1+x−1\sqrt{1+x}-1. 1+x<1  ⟺  1+x<1  ⟺  x<0\sqrt{1+x}<1\iff1+x<1\iff x<0.

Donc g′<0g'<0 sur ]−1 ;0[]-1\,;0[, g′(0)=0g'(0)=0 et g′>0g'>0 sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[. La fonction gg admet un minimum en 00, égal à g(0)=1−1=0g(0)=1-1=0.

Conclusion. Donc g(x)≥0g(x)\ge0 pour tout x>−1x>-1.

✅ 1+x≤1+x2\sqrt{1+x}\le1+\dfrac x2

Exercice 4 (★★) : une inégalité par convexité

Montrer que, pour tout x>−1x>-1, 11+x≥1−x\dfrac1{1+x}\ge1-x, en utilisant la convexité.

✏️ Correction de l'exercice 4

La convexité. Soit f(x)=11+xf(x)=\dfrac1{1+x} sur ]−1 ;+∞[]-1\,;+\infty[. La fonction ff est deux fois dérivable sur cet intervalle (1+x≠01+x\neq0).

f′(x)=−1(1+x)2f'(x)=-\dfrac1{(1+x)^2}

f′′(x)=2(1+x)3f''(x)=\dfrac2{(1+x)^3}

Pour x>−1x>-1, 1+x>01+x>0, donc f′′(x)>0f''(x)>0.

✅ ff est convexe sur ]−1 ;+∞[]-1\,;+\infty[, et sa courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes.

La tangente. La tangente en 00 a pour équation y=f(0)+f′(0)x=1−xy=f(0)+f'(0)x=1-x.

✅ Donc, pour tout x>−1x>-1, 11+x≥1−x\dfrac1{1+x}\ge1-x.

Exercice 5 (★★★) : l'inégalité de Bernoulli par la dérivation

Soit nn un entier supérieur ou égal à 22. Montrer que, pour tout x>−1x>-1, (1+x)n≥1+nx(1+x)^n\ge1+nx.

✏️ Correction de l'exercice 5

La fonction auxiliaire. Soit g(x)=(1+x)n−1−nxg(x)=(1+x)^n-1-nx sur ]−1 ;+∞[]-1\,;+\infty[. La fonction gg est dérivable et :

g′(x)=n(1+x)n−1−n=n[(1+x)n−1−1]g'(x)=n(1+x)^{n-1}-n=n\left[(1+x)^{n-1}-1\right]

Le signe.

• Si x>0x>0 : 1+x>11+x>1 et n−1≥1n-1\ge1, donc (1+x)n−1>1(1+x)^{n-1}>1 et g′(x)>0g'(x)>0.

• Si −1<x<0-1<x<0 : 0<1+x<10<1+x<1 et n−1≥1n-1\ge1, donc 0<(1+x)n−1<10<(1+x)^{n-1}<1 et g′(x)<0g'(x)<0.

Donc gg est strictement décroissante sur ]−1 ;0]]-1\,;0] et strictement croissante sur [0 ;+∞[[0\,;+\infty[. Elle admet un minimum en 00, égal à g(0)=1−1−0=0g(0)=1-1-0=0.

Conclusion. Ainsi g(x)≥0g(x)\ge0 pour tout x>−1x>-1.

✅ (1+x)n≥1+nx(1+x)^n\ge1+nx

Exercice 6 (★★★) : une suite et l'inégalité ex≥1+xe^x\ge1+x

On définit u0=1u_0=1 et, pour tout n∈Nn\in\N, un+1=1−e−unu_{n+1}=1-e^{-u_n}. Soit f(x)=1−e−xf(x)=1-e^{-x}.

1. Montrer que ff est strictement croissante sur R\R, puis que 0≤un≤10\le u_n\le1 pour tout n∈Nn\in\N.

2. Montrer que (un)(u_n) est décroissante.

3. En déduire que (un)(u_n) converge, puis déterminer sa limite.

✏️ Correction de l'exercice 6

Question 1

ff est dérivable sur R\R et f′(x)=e−x>0f'(x)=e^{-x}>0.

✅ ff est strictement croissante sur R\R.

On a f(0)=0f(0)=0 et f(1)=1−e−1≤1f(1)=1-e^{-1}\le1.

Soit P(n)P(n) : « 0≤un≤10\le u_n\le1 ».

Initialisation. u0=1u_0=1, donc P(0)P(0) est vraie.

Hérédité. Soit k∈Nk\in\N fixé tel que 0≤uk≤10\le u_k\le1. Comme ff est croissante, f(0)≤f(uk)≤f(1)f(0)\le f(u_k)\le f(1). Soit 0≤uk+1≤1−e−1≤10\le u_{k+1}\le1-e^{-1}\le1 : P(k+1)P(k+1) est vraie.

Conclusion.

✅ 0≤un≤10\le u_n\le1 pour tout n∈Nn\in\N.

Question 2

D'après l'exercice 1, pour tout réel yy, ey≥1+ye^y\ge1+y. Avec y=−uny=-u_n : e−un≥1−une^{-u_n}\ge1-u_n, donc 1−e−un≤un1-e^{-u_n}\le u_n. Soit un+1≤unu_{n+1}\le u_n.

✅ La suite (un)(u_n) est décroissante.

Question 3

La suite (un)(u_n) est décroissante et minorée par 00. D'après le théorème de convergence monotone :

✅ elle converge vers un réel ℓ∈[0 ;1]\ell\in[0\,;1].

La fonction ff est continue sur R\R. En passant à la limite dans un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n) : ℓ=1−e−ℓ\ell=1-e^{-\ell}, soit e−ℓ=1−ℓe^{-\ell}=1-\ell.

Soit h(x)=e−x−1+xh(x)=e^{-x}-1+x sur [0 ;+∞[[0\,;+\infty[. h′(x)=1−e−x>0h'(x)=1-e^{-x}>0 pour x>0x>0. hh est strictement croissante sur [0 ;+∞[[0\,;+\infty[, avec h(0)=0h(0)=0. Donc h(x)>0h(x)>0 pour x>0x>0.

L'équation h(ℓ)=0h(\ell)=0 avec ℓ≥0\ell\ge0 impose donc ℓ=0\ell=0.

✅ Donc lim⁡un=0\lim u_n=0.

Exercice 7 (★★★) : l'inégalité entre moyennes et l'exponentielle

Montrer que, pour tous réels aa et bb, ea+b2≤ea+eb2e^{\frac{a+b}2}\le\dfrac{e^a+e^b}2.

✏️ Correction de l'exercice 7

Première méthode (convexité). La fonction exponentielle est convexe sur R\R (exp⁡′′=exp⁡>0\exp''=\exp>0) : sa courbe est en dessous de ses cordes.

Le point d'abscisse a+b2\dfrac{a+b}2 est le milieu du segment [a ;b][a\,;b].

Donc l'image du milieu est inférieure à la moyenne des images :

ea+b2≤ea+eb2e^{\frac{a+b}2}\le\frac{e^a+e^b}2

Deuxième méthode (calcul). Soient p=ea>0p=e^a>0 et q=eb>0q=e^b>0. On a (p−q)2≥0(\sqrt p-\sqrt q)^2\ge0, donc p+q≥2pqp+q\ge2\sqrt{pq}, soit p+q2≥pq\dfrac{p+q}2\ge\sqrt{pq}. Or pq=eaeb=ea+b=ea+b2\sqrt{pq}=\sqrt{e^ae^b}=\sqrt{e^{a+b}}=e^{\frac{a+b}2}.

✅ Donc ea+b2≤ea+eb2e^{\frac{a+b}2}\le\dfrac{e^a+e^b}2.

Exercice 8 (★★★) : encadrer exe^x et retrouver une limite

1. Montrer que, pour tout x<1x<1, 1+x≤ex≤11−x1+x\le e^x\le\dfrac1{1-x}.

2. En déduire lim⁡x→0+ex−1x\displaystyle\lim_{x\to0^+}\frac{e^x-1}x.

✏️ Correction de l'exercice 8

Question 1

D'après l'exercice 1, ex≥1+xe^x\ge1+x pour tout xx. Avec −x-x à la place de xx : e−x≥1−xe^{-x}\ge1-x. En multipliant par ex>0e^x>0 : 1≥(1−x)ex1\ge(1-x)e^x. Pour x<1x<1, 1−x>01-x>0, donc en divisant : ex≤11−xe^x\le\dfrac1{1-x}.

✅ Donc 1+x≤ex≤11−x1+x\le e^x\le\dfrac1{1-x} pour tout x<1x<1.

Question 2

Pour 0<x<10<x<1, en retranchant 11 :

x≤ex−1≤11−x−1=x1−xx\le e^x-1\le\frac1{1-x}-1=\frac x{1-x}

En divisant par x>0x>0 :

1≤ex−1x≤11−x1\le\frac{e^x-1}x\le\frac1{1-x}

Quand x→0+x\to0^+, 11−x→1\dfrac1{1-x}\to1. D'après le théorème des gendarmes :

✅ lim⁡x→0+ex−1x=1\displaystyle\lim_{x\to0^+}\frac{e^x-1}x=1

C'est le nombre dérivé de l'exponentielle en 00.

🎯 Ce qui peut tomber au bac

  • L'inégalité ex≥1+xe^x\ge1+x et ses applications (exercices 1, 2, 8).
  • Une inégalité par fonction auxiliaire (exercices 2, 3, 5) ou par convexité (exercices 4, 7).
  • Une suite dont la monotonie utilise une de ces inégalités (exercice 6).
  • Une limite déduite d'un encadrement (exercices 2 et 8).

QCM : vérifie tes acquis

10 questions, une seule bonne réponse chacune. Choisis une réponse : la correction s'affiche tout de suite. Ton score est enregistré dans Mon espace.

Question 1 sur 10

Une courbe convexe est située :

Question 2 sur 10

L'inégalité ex≥x+1e^x\ge x+1 pour tout réel xx s'obtient grâce à :

Question 3 sur 10

En un point d'inflexion, la courbe :

Question 4 sur 10

Pour f(x)=x4f(x)=x^4, on a f′′(0)=0f''(0)=0. Le point d'abscisse 00 est-il un point d'inflexion ?

Question 5 sur 10

Si f′′>0f''>0 sur un intervalle II, alors f′f' est sur II :

Question 6 sur 10

Dans l'exercice 1, quelle inégalité prouve-t-on par l'étude d'une fonction, valable pour tout réel xx ?

Question 7 sur 10

Dans l'exercice 4, quelle méthode permet de prouver 11+x≥1−x\dfrac1{1+x}\ge1-x pour x>−1x>-1 ?

Question 8 sur 10

Dans l'exercice 6, avec u0=1u_0=1 et un+1=1−e−unu_{n+1}=1-e^{-u_n}, quelle est la limite de (un)(u_n) ?

Question 9 sur 10

Dans l'exercice 7, quelle inégalité relie ea+b2e^{\frac{a+b}2} à ea+eb2\dfrac{e^a+e^b}2 ?

Question 10 sur 10

Dans l'exercice 8, que déduit-on de l'encadrement 1+x≤ex≤11−x1+x\le e^x\le\dfrac1{1-x} pour lim⁡x→0+ex−1x\displaystyle\lim_{x\to0^+}\dfrac{e^x-1}x ?

Un doute sur ce chapitre ? On en parle ensemble, sans engagement.

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