Fiche 3 : études de fonctions et optimisation

Question 1

Pour tout $x\neq0$, $f(x)=x^3\left(1-\dfrac3x+\dfrac2{x^3}\right)$. Comme $\dfrac3x\to0$ et $\dfrac2{x^3}\to0$, le facteur tend vers $1$. Comme $x^3\to-\infty$ en $-\infty$ et $+\infty$ en $+\infty$, par produit :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f=-\infty$

✅ $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f=+\infty$

Question 2

$f$ est un polynôme, dérivable sur $\R$.

✅ $f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$

Le signe de $f'$ est celui d'un trinôme de racines $0$ et $2$ : $f'>0$ sur $]-\infty\,;0[$, $f'<0$ sur $]0\,;2[$, $f'>0$ sur $]2\,;+\infty[$.

Tableau de variations. $f$ est strictement croissante sur $]-\infty\,;0]$ (de $-\infty$ à $f(0)=2$). $f$ est strictement décroissante sur $[0\,;2]$ (de $2$ à $f(2)=8-12+2=-2$). $f$ est strictement croissante sur $[2\,;+\infty[$ (de $-2$ à $+\infty$).

✅ Maximum local $2$ en $0$, minimum local $-2$ en $2$.

Question 3

$f''(x)=6x-6=6(x-1)$. $f''<0$ sur $]-\infty\,;1[$ et $f''>0$ sur $]1\,;+\infty[$.

✅ $f$ est concave sur $]-\infty\,;1]$ et convexe sur $[1\,;+\infty[$.

✅ Le point d'inflexion est $(1\,;f(1))=(1\,;0)$.

Comme $f'(1)=3-6=-3$, la tangente a pour équation $y=0-3(x-1)$.

✅ $y=-3x+3$

Question 4

$(x-1)(x^2-2x-2)=x^3-2x^2-2x-x^2+2x+2=x^3-3x^2+2=f(x)$ ✓

Donc $f(x)=0\iff x=1$ ou $x^2-2x-2=0$. Le discriminant de $x^2-2x-2$ vaut $12$, donc $x=1-\sqrt3$ ou $x=1+\sqrt3$.

✅ Les solutions sont $1-\sqrt3$, $1$ et $1+\sqrt3$.

Cela confirme qu'il y a trois solutions, comme le prévoit le tableau (une par intervalle de stricte monotonie).

Limites

En $-\infty$ : $x\to-\infty$ et $e^{-x}\to+\infty$, donc, par produit :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f=-\infty$

En $+\infty$ : par croissances comparées :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}xe^{-x}=0$

La droite d'équation $y=0$ est asymptote horizontale en $+\infty$.

Variations

$f$ est dérivable sur $\R$ comme produit. $f'(x)=e^{-x}-xe^{-x}$.

✅ $f'(x)=(1-x)e^{-x}$

Comme $e^{-x}>0$, $f'(x)$ est du signe de $1-x$.

✅ $f$ est strictement croissante sur $]-\infty\,;1]$ (de $-\infty$ à $f(1)=\dfrac1e$) et strictement décroissante sur $[1\,;+\infty[$ (de $\dfrac1e$ à $0$).

Maximum : $f(1)=e^{-1}=\dfrac1e$.

Convexité

$f''(x)=-e^{-x}-(1-x)e^{-x}$.

✅ $f''(x)=(x-2)e^{-x}$, du signe de $x-2$.

✅ $f$ est concave sur $]-\infty\,;2]$ et convexe sur $[2\,;+\infty[$.

✅ Le point d'inflexion est $\left(2\,;2e^{-2}\right)$.

Question 1

En $0^+$ : $e^x\to1$ et $x\to0^+$, donc, par quotient :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to0^+}f=+\infty$ (asymptote verticale $x=0$)

En $+\infty$ : par croissances comparées :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}x=+\infty$

Question 2

$f$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ comme quotient dont le dénominateur ne s'annule pas. $f'(x)=\dfrac{e^xx-e^x}{x^2}$.

✅ $f'(x)=\dfrac{e^x(x-1)}{x^2}$

Comme $e^x>0$ et $x^2>0$, $f'(x)$ est du signe de $x-1$.

✅ $f$ est strictement décroissante sur $]0\,;1]$ (de $+\infty$ à $f(1)=e$) et strictement croissante sur $[1\,;+\infty[$ (de $e$ à $+\infty$).

Son minimum est $e$, atteint en $1$.

Question 3

Pour tout $x>0$, $f(x)\ge f(1)=e$, soit $\dfrac{e^x}x\ge e$. En multipliant par $x>0$ :

✅ $e^x\ge ex$

Question 4

D'après le tableau :

• Si $m<e$, l'équation $f(x)=m$ n'a aucune solution ($f\ge e$).

• Si $m=e$, elle admet une unique solution $x=1$.

• Si $m>e$, $m$ est strictement compris entre $e$ et $+\infty$.

Sur $]0\,;1]$ ($f$ continue strictement décroissante de $+\infty$ à $e$) et sur $[1\,;+\infty[$ ($f$ continue strictement croissante de $e$ à $+\infty$), le corollaire du TVI donne une unique solution sur chaque intervalle.

✅ Donc deux solutions si $m>e$.

Variations. $f$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$.

Pour $x>0$, $x+1>0$ et $x^2>0$, donc $f'(x)$ est du signe de $x-1$.

✅ $f$ est strictement décroissante sur $]0\,;1]$ et strictement croissante sur $[1\,;+\infty[$ : elle admet un minimum en $1$, égal à $f(1)=2$.

L'inégalité. Donc, pour tout $x>0$, $f(x)\ge2$.

✅ $x+\dfrac1x\ge2$

Application. Pour $a,b>0$, on pose $x=\dfrac ab>0$. Alors $\dfrac ab+\dfrac ba=x+\dfrac1x\ge2$.

✅ Donc $\dfrac ab+\dfrac ba\ge2$.

Question 1

$f$ est dérivable sur $\R$ comme produit : $f'(x)=ae^x+(ax+b)e^x=(ax+a+b)e^x$.

La courbe passe par $A(0\,;-1)$ : $f(0)=b=-1$. La tangente en $A$ est horizontale : $f'(0)=a+b=0$, donc $a=1$.

✅ Donc $a=1$ et $b=-1$.

Question 2

Pour tout $x$, $f(x)=xe^x-e^x$.

En $-\infty$ : par croissances comparées, $xe^x\to0$, et $e^x\to0$, donc, par somme :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f=0$ (asymptote $y=0$ en $-\infty$)

En $+\infty$ : $x-1\to+\infty$ et $e^x\to+\infty$, donc, par produit :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f=+\infty$

Question 3

$f'(x)=(x-1+1)e^x$.

✅ $f'(x)=xe^x$, du signe de $x$.

✅ $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty\,;0]$ (de $0$ à $f(0)=-1$) et strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$ (de $-1$ à $+\infty$).

Minimum : $-1$ en $0$.

$f''(x)=e^x+xe^x$.

✅ $f''(x)=(x+1)e^x$, du signe de $x+1$.

✅ $f$ est concave sur $]-\infty\,;-1]$ et convexe sur $[-1\,;+\infty[$.

✅ Point d'inflexion : $\left(-1\,;-2e^{-1}\right)$

Modélisation. La base de la boîte est un carré de côté $30-2x$, et sa hauteur est $x$. Le volume, en cm³, est :

Variations. $V$ est dérivable comme polynôme.

✅ $V'(x)=12(15-x)(5-x)$

Sur $]0\,;15[$, $15-x>0$, donc $V'(x)$ est du signe de $5-x$. $V'>0$ sur $]0\,;5[$, $V'(5)=0$ et $V'<0$ sur $]5\,;15[$. $V$ est strictement croissante sur $]0\,;5]$, puis strictement décroissante sur $[5\,;15[$.

Conclusion. Le maximum est atteint en $x=5$, avec $V(5)=5\times20^2=2\,000$.

✅ Le volume est maximal pour $x=5$ cm et vaut $2\,000$ cm³.

Modélisation. Pour $x>0$ :

Variations. La fonction $CM$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$.

Pour $x>0$, $x+20>0$ et $x^2>0$, donc $CM'(x)$ est du signe de $x-20$. $CM$ est strictement décroissante sur $]0\,;20]$ et strictement croissante sur $[20\,;+\infty[$. Son minimum est $CM(20)=2+10+2=14$.

✅ Le coût moyen est minimal pour une production de $20$ milliers d'objets par mois, et il vaut alors $14$ € par objet.

Variations. Le signe de $f'$ donne le sens de variation de $f$ :

• $f'>0$ sur $]-\infty\,;-2[$ : $f$ est strictement croissante sur $]-\infty\,;-2]$.

• $f'<0$ sur $]-2\,;1[$ : $f$ est strictement décroissante sur $[-2\,;1]$.

• $f'>0$ sur $]1\,;+\infty[$ : $f$ est strictement croissante sur $[1\,;+\infty[$.

Extremums locaux. En $-2$, $f'$ s'annule en passant du positif au négatif.

✅ $f$ admet un maximum local en $-2$.

En $1$, $f'$ s'annule en passant du négatif au positif.

✅ $f$ admet un minimum local en $1$.

La courbe de $f$ a des tangentes horizontales en ces deux points.

Remarque : on ne peut pas donner les valeurs $f(-2)$ et $f(1)$ avec la seule courbe de $f'$.