Terminale Spé Maths / Chapitre 4 : Dérivation et convexité

Dérivation et convexité : le cours

La dérivée mesure la vitesse de variation d'une fonction : elle dit si la courbe monte ou descend, et à quelle vitesse. La dérivée seconde mesure comment cette vitesse elle-même évolue : elle dit si la courbe « se creuse » (convexe) ou « s'arrondit » (concave).

C'est l'outil de toutes les études de fonctions du bac :

variations ;
tangentes ;
extremums ;
inégalités ;
optimisation.

Dans tout le cours, tu verras des astuces 💡, des pièges ⚠️ et un peu d'humour 😄.

🎯 Comment utiliser ce cours

Lis une partie, puis fais tout de suite la fiche correspondante.
Apprends par cœur le tableau des dérivées de la partie 1 : chaque erreur de dérivée coûte l'exercice entier.
Le Guide de rédaction du chapitre (dernière leçon) te donne les phrases exactes à écrire.

1. Les dérivées à connaître par cœur

Fonctions usuelles :

$(x^n)'=nx^{n-1}$
$\left(\dfrac1x\right)'=-\dfrac1{x^2}$
$(\sqrt x)'=\dfrac1{2\sqrt x}$
$(e^x)'=e^x$
$(\cos x)'=-\sin x$
$(\sin x)'=\cos x$

Somme et produit par un réel :

$(u+v)'=u'+v'$
$(ku)'=k\,u'$

Produit : $(uv)'=u'v+uv'$

Quotient : $\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ . En particulier $\left(\dfrac1v\right)'=-\dfrac{v'}{v^2}$ .

2. Dérivée d'une composée

Si $u$ est dérivable en $x$ et si $g$ est dérivable en $u(x)$ , alors $g\circ u$ est dérivable en $x$ et :

(g\circ u)'(x)=u'(x)\times g'\big(u(x)\big)

On dérive « l'extérieur » sans toucher à l'intérieur, puis on multiplie par la dérivée de l'intérieur. Cela donne les formules à connaître ( $u$ dérivable, avec les conditions nécessaires) :

$\boldsymbol{(u^n)'=n\,u'\,u^{n-1}}$ ( $n$ entier relatif ; pour $n$ négatif, $u$ ne s'annule pas)
$\boldsymbol{(\sqrt u)'=\dfrac{u'}{2\sqrt u}}$ ( $u$ strictement positive)
$\boldsymbol{(e^u)'=u'e^u}$
$\boldsymbol{(\cos u)'=-u'\sin u}$
$\boldsymbol{(\sin u)'=u'\cos u}$
$\boldsymbol{\left(\dfrac1u\right)'=-\dfrac{u'}{u^2}}$ ( $u$ ne s'annule pas)

Cas particulier utile : $\boldsymbol{\big(f(ax+b)\big)'=a\,f'(ax+b)}$ .

Exemples.

$\left(e^{3x-1}\right)'=3e^{3x-1}$

$\left(\sqrt{x^2+1}\right)'=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}=\dfrac x{\sqrt{x^2+1}}$

$\big((2x+1)^5\big)'=5\times2\times(2x+1)^4=10(2x+1)^4$

⚠️ Pièges :

Oublier de multiplier par $u'$ : $\left(e^{x^2}\right)'$ n'est pas $e^{x^2}$ , c'est $2xe^{x^2}$ .
Confondre $(u^n)'$ avec $nu^{n-1}$ : il manque le facteur $u'$ .
Dériver un produit comme le produit des dérivées : $(uv)'\neq u'v'$ .
Dériver $(\sqrt u)'$ sans vérifier que $u>0$ : $\sqrt x$ n'est pas dérivable en $0$ .

💡 Astuce : avant de dériver, repère la structure : somme, produit, quotient, composée. Puis dérive de l'extérieur vers l'intérieur.

😄 Oublier $u'$ , c'est comme envoyer un colis sans l'adresse : il part, mais il n'arrive nulle part.

3. Tangente et signe de la dérivée

La tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ ( $f$ dérivable en $a$ ) a pour équation :

y=f(a)+f'(a)(x-a)

Si $f'>0$ sur un intervalle $I$ , $f$ est strictement croissante sur $I$ .

Si $f'<0$ , elle est strictement décroissante.

Un extremum local en $a$ (intérieur à $I$ ) s'obtient quand $f'$ s'annule et change de signe.

⚠️ Piège : $f'(a)=0$ ne suffit pas pour un extremum. Pour $f(x)=x^3$ , $f'(0)=0$ mais il n'y a pas d'extremum. Il faut un changement de signe.

💡 Astuce : pour étudier le signe de $f'$ , factorise. Un produit dont les facteurs ont un signe évident ( $e^x>0$ , un carré $\ge0$ , un dénominateur $>0$ ) se lit d'un coup d'œil.

4. Dérivée seconde et convexité

On note $f''=(f')'$ la dérivée seconde de $f$ . Une fonction dérivable sur $I$ est :

Fonction convexe : la courbe est sous ses cordes et au-dessus de ses tangentes

convexe sur $I$ si sa courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes sur $I$ (elle « se creuse ») ;
concave sur $I$ si sa courbe est en dessous de chacune de ses tangentes (elle « s'arrondit »).

Théorème. Soit $f$ deux fois dérivable sur $I$ . Les propositions suivantes sont équivalentes :

$f$ est convexe sur $I$ ;
$f'$ est croissante sur $I$ ;
$f''\ge0$ sur $I$ .

De même, $f$ est concave $\iff$ $f'$ est décroissante $\iff$ $f''\le0$ .

Point d'inflexion. C'est un point de la courbe où celle-ci traverse sa tangente, c'est-à-dire où la convexité change.

En pratique, en un point d'abscisse $a$ : $f''$ s'annule et change de signe.

En un point d'inflexion, $f'$ admet un extremum local.

Fonctions usuelles :

$x\mapsto x^2$ et $x\mapsto e^x$ sont convexes sur $\R$ ;
$x\mapsto\sqrt x$ est concave sur $[0\,;+\infty[$ ;
$x\mapsto x^3$ est concave sur $]-\infty\,;0]$ , convexe sur $[0\,;+\infty[$ (point d'inflexion en $0$ ) ;
$x\mapsto\dfrac1x$ est convexe sur $]0\,;+\infty[$ .

Position par rapport aux cordes : une fonction convexe est en dessous de ses cordes (segments joignant deux points de la courbe).

⚠️ Pièges :

$f''(a)=0$ ne suffit pas pour un point d'inflexion : pour $f(x)=x^4$ , $f''(0)=0$ mais $f''$ ne change pas de signe, donc pas d'inflexion.
Confondre « $f'$ croissante » ( $f$ convexe) et « $f$ croissante » ( $f'$ positive).
Mélanger convexe et concave : convexe = au-dessus des tangentes, comme un sourire ; concave = en dessous, comme un chapeau.

😄 Un point d'inflexion, c'est le moment où la courbe hésite et change d'avis. Sa tangente le sait bien : elle se fait traverser.

5. Méthode pour étudier la convexité

Justifie que $f$ est deux fois dérivable (« comme somme, produit, composée… »).
Calcule $f'$ , puis $f''$ , et factorise.
Étudie le signe de $f''$ (tableau de signes si besoin).
Conclus : $f''\ge0$ sur $I$ $\Rightarrow$ $f$ convexe sur $I$ ; $f''\le0$ $\Rightarrow$ concave ; si $f''$ s'annule en changeant de signe en $a$ , le point de la courbe d'abscisse $a$ est un point d'inflexion (donne ses coordonnées).

6. Convexité et inégalités

Si $f$ est convexe sur $I$ , sa courbe est au-dessus de chaque tangente :

f(x)\ge f(a)+f'(a)(x-a)\quad\text{pour tout }x\text{ de }I

Si $f$ est concave, l'inégalité est inversée. Deux inégalités à connaître :

La tangente à la courbe de l'exponentielle en $0$ est $y=x+1$ . Comme $\exp$ est convexe, $\boldsymbol{e^x\ge1+x}$ pour tout réel $x$ .
La racine carrée est concave : la tangente en $1$ est $y=\dfrac{x+1}2$ . Donc $\boldsymbol{\sqrt x\le\dfrac{x+1}2}$ pour $x\ge0$ .

💡 Deux méthodes pour une inégalité $f(x)\ge g(x)$ :

La fonction auxiliaire $h=f-g$ , dont on étudie le signe grâce à ses variations (souvent un minimum égal à $0$ ).
La convexité : la courbe est au-dessus de sa tangente.

La seconde est plus rapide quand la fonction est convexe et que la tangente est simple.

7. L'étude de fonction complète

Domaine de définition, parité éventuelle.
Limites aux bornes et asymptotes.
Dérivabilité et calcul de $f'(x)$ , factorisé.
Signe de $f'$ et tableau de variations (avec limites et valeurs remarquables).
Dérivée seconde, convexité, points d'inflexion (si demandé).
Tangentes, position relative, équations, courbe.

8. Les problèmes d'optimisation

Choisir la variable et donner son domaine (la contrainte physique compte : longueur positive, etc.).
Exprimer la grandeur à optimiser en fonction de cette variable.
Étudier les variations de la fonction obtenue : dérivée, signe, tableau.
Conclure en contexte : « Le volume est maximal pour $x=5$ cm et vaut $2\,000$ cm³ ».

⚠️ Piège : oublier de vérifier que la valeur trouvée est bien dans le domaine, ou de donner l'unité.

9. Les 10 pépites du chapitre

Vérifie ta dérivée numériquement avec une valeur simple ( $x=0$ ou $1$ ) : tu détectes un facteur oublié en 10 secondes.
Factorise toujours $f'$ et $f''$ : c'est ce qui rend le signe lisible.
Avec $e^x$ ou $e^{-x}$ , mets l'exponentielle en facteur : elle ne change jamais le signe.
$f'$ a un extremum là où $f$ a un point d'inflexion.
Pour une tangente, écris les trois nombres : $a$ , $f(a)$ , $f'(a)$ , puis l'équation.
Un point d'inflexion se donne avec ses deux coordonnées.
Pour une inégalité, pense à la fonction auxiliaire $h=f-g$ , et à son minimum.
Pour un paramètre, traduis chaque information en équation : « passe par $A$ » donne $f(a)=\dots$ , « tangente horizontale » donne $f'(a)=0$ .
En optimisation, un extremum de la fonction n'a de sens que dans son domaine.
Un tableau de variations soigné (limites, valeurs) vaut la moitié des points d'une étude.

Complément du programme : convexité par les cordes et position des tangentes

Définition (par les cordes). Une fonction $f$ est convexe sur un intervalle $I$ si, pour tous $a$ et $b$ de $I$ et tout $\lambda\in[0\,;\,1]$ :

f\left((1-\lambda)a+\lambda b\right)\leqslant(1-\lambda)f(a)+\lambda f(b)

Géométriquement : la courbe est au-dessous de chacune de ses cordes (le segment qui joint deux de ses points).

Propriété. Si $f''\geqslant0$ sur $I$ , alors la courbe de $f$ est au-dessus de chacune de ses tangentes.

Démonstration. Soit $a\in I$ . On pose $g(x)=f(x)-\left[f(a)+f'(a)(x-a)\right]$ . Alors $g(a)=0$ et $g'(x)=f'(x)-f'(a)$ .

Comme $f''\geqslant0$ , $f'$ est croissante : $g'(x)\leqslant0$ pour $x\leqslant a$ et $g'(x)\geqslant0$ pour $x\geqslant a$ .

Donc $g$ décroît jusqu'en $a$ puis croît : son minimum est $g(a)=0$ . Ainsi $g(x)\geqslant0$ , c'est-à-dire $f(x)\geqslant f(a)+f'(a)(x-a)$ . $\square$

Exemple. La tangente à $x\mapsto e^x$ en $0$ est $y=x+1$ . Comme $\left(e^x\right)''=e^x>0$ , on retrouve $e^x\geqslant x+1$ pour tout réel $x$ .

💡 Astuce. Pour prouver une inégalité du type $f(x)\geqslant$ (fonction affine), pense à la convexité : la fonction affine est la tangente.

10. Ce qui peut tomber au bac

Des dérivées de composées avec exponentielle, racine, puissance (fiche 1).
La convexité : signe de $f''$ , points d'inflexion, lecture graphique (fiche 2).
Une étude de fonction complète, avec tangente, paramètres et optimisation (fiche 3).
Une inégalité par étude de fonction ou par convexité, souvent reliée à une suite (fiche 4).

Tu as maintenant le cours. Passe aux quatre fiches, aux exercices type bac, puis au Guide de rédaction du chapitre.

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