Guide de rédaction : continuité et TVI

🎯 Le principe du chapitre

Avec la continuité et le TVI, un correcteur regarde surtout cinq choses :

• la continuité justifiée (et non seulement affirmée) ;
• la stricte monotonie quand on veut l'unicité ;
• les valeurs ou limites aux bornes ;
• la vérification que $k$ est compris entre elles ;
• le nom du théorème dans la conclusion.

Situation 1 : continuité en un point d'une fonction par morceaux ($f(x)=x^2+1$ si $x<0$, $f(x)=2x+1$ si $x\ge0$).

« On calcule les trois nombres en $0$. $\displaystyle\lim_{x\to0^-}f(x)=0^2+1=1$. $\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)=2\times0+1=1$. $f(0)=1$. Comme $\displaystyle\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^+}f(x)=f(0)$, la fonction $f$ est continue en $0$. »

Si les nombres diffèrent : « Comme $\displaystyle\lim_{x\to0^-}f\neq\lim_{x\to0^+}f$, $f$ n'a pas de limite en $0$ : elle n'est pas continue en $0$. »

Situation 2 : déterminer un paramètre.

« $\displaystyle\lim_{x\to2^-}f(x)=2a+1$, $\displaystyle\lim_{x\to2^+}f(x)=3$ et $f(2)=3$. La fonction $f$ est continue en $2$ si et seulement si $2a+1=3$, c'est-à-dire $a=1$. »

💡 « Si et seulement si » : le paramètre est une condition nécessaire et suffisante.

Situation 3 : prolongement par continuité.

« La fonction $f$ n'est pas définie en $3$. Pour $x\neq3$, $f(x)=\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3$, donc $\displaystyle\lim_{x\to3}f(x)=6$. La limite est finie : $f$ se prolonge par continuité en $3$ en posant $f(3)=6$. »

Situation 4 : justifier qu'une fonction est continue.

« La fonction $f$ est continue sur $\R$ comme somme, produit et composée de fonctions continues sur $\R$. »

Ou : « La fonction $f$ est dérivable sur $\R$, donc continue sur $\R$. »

Pour un quotient : « … comme quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s'annule pas sur $I$. »

⚠️ Cette phrase est obligatoire avant d'appliquer le TVI. C'est l'hypothèse la plus souvent oubliée.

Situation 5 : continuité et dérivabilité.

« Toute fonction dérivable en $a$ est continue en $a$. La réciproque est fausse : la fonction valeur absolue est continue en $0$, mais son taux d'accroissement vaut $-1$ pour $x<0$ et $1$ pour $x>0$ : elle n'est pas dérivable en $0$. »

Situation 6 : le TVI, existence d'une solution ($f(x)=x^3+x-1$ sur $[0\,;1]$).

« La fonction $f$ est continue sur $[0\,;1]$, car c'est un polynôme.

De plus $f(0)=-1<0$ et $f(1)=1>0$, donc $0$ est compris entre $f(0)$ et $f(1)$.

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans $[0\,;1]$. »

Situation 7 : le corollaire, existence et unicité.

« La fonction $f$ est dérivable sur $\R$, donc continue.

Pour tout $x$, $f'(x)=3x^2+1>0$, donc $f$ est strictement croissante sur $[0\,;1]$.

De plus $f(0)=-1<0<1=f(1)$.

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[0\,;1]$. »

Quatre éléments à écrire, toujours dans cet ordre : continuité, stricte monotonie, valeurs aux bornes, conclusion.

Situation 8 : le corollaire avec limites (intervalle ouvert ou infini).

« La fonction $h$ est continue et strictement croissante sur $\R$, avec $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}h=-\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}h=+\infty$.

Le nombre $0$ est strictement compris entre ces limites.

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $h(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\R$. »

💡 Sur un intervalle ouvert, on écrit « $k$ est strictement compris entre les limites ».

Situation 9 : plusieurs solutions ($f(x)=x^3-3x+1$).

« D'après le tableau de variations, $f$ est strictement croissante sur $]-\infty\,;-1]$, strictement décroissante sur $[-1\,;1]$ et strictement croissante sur $[1\,;+\infty[$.

Sur chacun de ces intervalles, $f$ est continue et strictement monotone, et $0$ est compris entre les valeurs aux bornes.

D'après le corollaire, l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur chacun d'eux.

Comme $f(-1)\neq0$ et $f(1)\neq0$, ces trois solutions sont distinctes.

L'équation admet donc exactement trois solutions. »

Situation 10 : équation $f(x)=g(x)$ et point fixe.

« Résoudre $e^x=2-x$ revient à résoudre $h(x)=0$, avec $h(x)=e^x+x-2$. »

Pour un point fixe : « Soit $g(x)=f(x)-x$.

La fonction $g$ est continue comme différence de fonctions continues. $g(0)=f(0)\ge0$ et $g(1)=f(1)-1\le0$.

D'après le TVI, il existe $c\in[0\,;1]$ tel que $g(c)=0$, c'est-à-dire $f(c)=c$. »

Situation 11 : encadrer une solution.

« On a $f(0{,}68)\approx-0{,}0056<0$ et $f(0{,}69)\approx0{,}0185>0$. Comme $f$ est strictement croissante sur $[0\,;1]$, $0{,}68<\alpha<0{,}69$. »

⚠️ Donne les deux valeurs de $f$ avec leur signe et rappelle le sens de variation. Un encadrement sans justification ne rapporte rien.

Situation 12 : suites, continuité et unicité.

« La suite $(u_n)$ converge vers $\ell$, avec $\ell\in\left[\dfrac12\,;1\right]$.

La fonction $\varphi:x\mapsto\dfrac1{1+x^2}$ est continue sur $\R$, comme quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s'annule pas.

En passant à la limite dans $u_{n+1}=\varphi(u_n)$, on obtient $\ell=\dfrac1{1+\ell^2}$, soit $\ell^3+\ell-1=0$.

Comme $\ell\in[0\,;1]$ et que $\alpha$ est l'unique solution de cette équation dans $[0\,;1]$, $\ell=\alpha$. »

Situation 13 : vrai/faux et contre-exemple.

« L'affirmation est fausse.

Contre-exemple : $f(x)=(2x-1)(x-1)(2x-3)$ est continue sur $[0\,;2]$, $f(0)=-3$ et $f(2)=3$, mais $f$ s'annule trois fois (en $\dfrac12$, $1$ et $\dfrac32$).

Le TVI donne l'existence, pas l'unicité. »

a) Le TVI.

❌ « $f(0)=-1$ et $f(1)=1$, donc $f$ s'annule (TVI). »

✅ « La fonction $f$ est continue sur $[0\,;1]$ (justification). $f(0)=-1<0<1=f(1)$. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans $[0\,;1]$. »

Ce qui manque à la première : la continuité, l'intervalle, l'énoncé de la conclusion.

b) L'unicité.

❌ « $f$ est continue et $f(0)<0<f(1)$, donc il y a une unique solution. »

✅ « $f$ est continue et strictement croissante sur $[0\,;1]$ (car $f'(x)>0$), et $f(0)<0<f(1)$. D'après le corollaire du TVI, l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution dans $[0\,;1]$. »

Ce qui manque à la première : la stricte monotonie. Sans elle, on n'a que l'existence.

c) Un encadrement.

❌ « À la calculatrice, $\alpha\approx0{,}68$. »

✅ « $f(0{,}68)\approx-0{,}0056<0$ et $f(0{,}69)\approx0{,}0185>0$. Comme $f$ est strictement croissante, $0{,}68<\alpha<0{,}69$. »

d) Un paramètre.

❌ « Pour que $f$ soit continue, il faut que $a=1$. »

✅ « $\displaystyle\lim_{x\to2^-}f=2a+1$, $\displaystyle\lim_{x\to2^+}f=3=f(2)$. $f$ est continue en $2$ si et seulement si $2a+1=3$, soit $a=1$. »

• J'ai écrit pourquoi $f$ est continue sur l'intervalle.
• Pour l'unicité, j'ai écrit pourquoi $f$ est strictement monotone (signe de $f'$).
• J'ai donné les valeurs ou limites aux bornes et vérifié que $k$ est compris entre elles.
• Ma conclusion contient le nom du théorème (« théorème des valeurs intermédiaires » ou « corollaire ») et l'intervalle.
• Pour plusieurs solutions, j'ai appliqué le corollaire sur chaque intervalle de monotonie et compté les solutions.
• Mon encadrement donne deux valeurs de $f$ avec leur signe.
• Pour une suite, j'ai justifié la convergence, la continuité et, si besoin, l'unicité pour identifier la limite.

😄 Le TVI est un théorème très poli : il ne s'applique que si tu as vérifié ses hypothèses. Sinon, il quitte discrètement la copie, et les points avec lui.