Fiche 3 : existence et unicité, dichotomie

Question 1

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ (polynôme), donc continue sur $[0\,;1]$.

Pour tout $x$, $f'(x)=3x^2+1>0$, donc $f$ est strictement croissante sur $[0\,;1]$.

De plus $f(0)=-1<0$ et $f(1)=1>0$, donc $0$ est compris entre $f(0)$ et $f(1)$.

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :

✅ l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[0\,;1]$.

Question 2

On calcule $f$ par pas de $0{,}1$ :

$f(0{,}6)=0{,}216+0{,}6-1=-0{,}184<0$

$f(0{,}7)=0{,}343+0{,}7-1=0{,}043>0$

Donc $0{,}6<\alpha<0{,}7$ ($f$ est strictement croissante). Puis, par pas de $0{,}01$ :

$f(0{,}68)\approx-0{,}0056<0$

$f(0{,}69)\approx0{,}0185>0$

✅ $0{,}68<\alpha<0{,}69$

Question 1

La fonction $h$ est dérivable sur $\R$, et $h'(x)=e^x+1>0$ pour tout $x$.

✅ Donc $h$ est strictement croissante sur $\R$.

En $-\infty$, $e^x\to0$ et $x\to-\infty$, donc, par somme :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}h=-\infty$

En $+\infty$, $e^x\to+\infty$ et $x\to+\infty$, donc, par somme :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}h=+\infty$

Question 2

La fonction $h$ est continue et strictement croissante sur $\R$.

Elle a pour limites $-\infty$ en $-\infty$ et $+\infty$ en $+\infty$.

Le nombre $0$ est strictement compris entre ces limites.

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :

✅ l'équation $h(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\R$.

Question 3

On a $h(0)=-1<0$ et $h(1)=e-1>0$. Comme $h$ est strictement croissante :

✅ $\alpha\in\,]0\,;1[$

Par pas de $0{,}1$ : $h(0{,}4)\approx-0{,}108<0$ et $h(0{,}5)\approx0{,}149>0$, donc $0{,}4<\alpha<0{,}5$. Par pas de $0{,}01$ : $h(0{,}44)\approx-0{,}0073<0$ et $h(0{,}45)\approx0{,}0183>0$.

✅ $0{,}44<\alpha<0{,}45$

Signe de $h$. Comme $h$ est strictement croissante et $h(\alpha)=0$ : $h(x)<0$ pour $x<\alpha$, $h(\alpha)=0$, et $h(x)>0$ pour $x>\alpha$.

Variations. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$, donc continue. Pour tout $x$, $f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$. $f'>0$ sur $]-\infty\,;-1[$, $f'<0$ sur $]-1\,;1[$ et $f'>0$ sur $]1\,;+\infty[$.

Donc $f$ est strictement croissante sur $]-\infty\,;-1]$, strictement décroissante sur $[-1\,;1]$ et strictement croissante sur $[1\,;+\infty[$.

Valeurs : $f(-1)=-1+3+1=3$ et $f(1)=1-3+1=-1$.

Limites : $f(x)=x^3\left(1-\dfrac3{x^2}+\dfrac1{x^3}\right)$, donc $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f=-\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f=+\infty$.

Sur $]-\infty\,;-1]$. $f$ est continue et strictement croissante, de $-\infty$ à $3$.

Le nombre $0$ est compris entre ces valeurs.

D'après le corollaire, l'équation $f(x)=0$ y admet une unique solution $\alpha$.

Comme $f(-2)=-1<0<3=f(-1)$ :

✅ $\alpha\in\,]-2\,;-1[$

Sur $[-1\,;1]$. $f$ est continue et strictement décroissante, de $3$ à $-1$.

Le nombre $0$ est compris entre ces valeurs.

D'après le corollaire, l'équation $f(x)=0$ y admet une unique solution $\beta$.

Comme $f(0)=1>0>-1=f(1)$ :

✅ $\beta\in\,]0\,;1[$

Sur $[1\,;+\infty[$. $f$ est continue et strictement croissante, de $-1$ à $+\infty$.

Le nombre $0$ est compris entre ces valeurs.

D'après le corollaire, l'équation $f(x)=0$ y admet une unique solution $\gamma$.

Comme $f(1)=-1<0<3=f(2)$ :

✅ $\gamma\in\,]1\,;2[$

Conclusion. Ces trois intervalles couvrent $\R$, et $f(-1)\neq0$, $f(1)\neq0$ : les solutions $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ sont distinctes et il n'y en a pas d'autres.

✅ L'équation $f(x)=0$ admet donc exactement trois solutions : $\alpha\in\,]-2\,;-1[$, $\beta\in\,]0\,;1[$ et $\gamma\in\,]1\,;2[$.

Méthode. La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur $[1\,;2]$, avec $f(1)=-1<0<2=f(2)$ : la solution est dans $]1\,;2[$. À chaque étape, on calcule $f$ au milieu $m$ de l'intervalle et on garde la moitié où le signe change.

Les étapes

• Étape 1 : $m=1{,}5$ ; $f(1{,}5)=0{,}25>0$ → solution dans $[1\,;1{,}5]$.

• Étape 2 : $m=1{,}25$ ; $f(1{,}25)=-0{,}4375<0$ → solution dans $[1{,}25\,;1{,}5]$.

• Étape 3 : $m=1{,}375$ ; $f(1{,}375)\approx-0{,}1094<0$ → solution dans $[1{,}375\,;1{,}5]$.

• Étape 4 : $m=1{,}4375$ ; $f(1{,}4375)\approx0{,}0664>0$ → solution dans $[1{,}375\,;1{,}4375]$.

✅ Après quatre étapes, $1{,}375<\sqrt2<1{,}4375$

La largeur de l'intervalle est $\dfrac{2-1}{2^4}=0{,}0625$ (à chaque étape, elle est divisée par $2$).

Variations. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et $f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$.

Donc $f$ est strictement croissante sur $]-\infty\,;-1]$, strictement décroissante sur $[-1\,;1]$ et strictement croissante sur $[1\,;+\infty[$.

On a $f(-1)=2$ et $f(1)=-2$, avec $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f=-\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f=+\infty$.

Les valeurs prises. D'après le corollaire, sur chaque intervalle de stricte monotonie, l'équation $f(x)=m$ a une unique solution si $m$ est compris entre les valeurs aux bornes, et aucune sinon :

• Sur $]-\infty\,;-1]$, $f$ prend toutes les valeurs de $]-\infty\,;2]$ une seule fois.

• Sur $[-1\,;1]$, $f$ prend toutes les valeurs de $[-2\,;2]$ une seule fois.

• Sur $[1\,;+\infty[$, $f$ prend toutes les valeurs de $[-2\,;+\infty[$ une seule fois.

Conclusion

• Si $m>2$ :

✅ une seule solution (dans $[1\,;+\infty[$).

• Si $m=2$ :

✅ deux solutions ($x=-1$ et $x=2$).

• Si $-2<m<2$ :

✅ trois solutions, une dans chaque intervalle.

• Si $m=-2$ :

✅ deux solutions ($x=1$ et $x=-2$).

• Si $m<-2$ :

✅ une seule solution (dans $]-\infty\,;-1[$).

Question 1

La fonction $f_n$ est dérivable sur $[0\,;1]$, donc continue. $f_n'(x)=nx^{n-1}+1>0$ : $f_n$ est strictement croissante. De plus $f_n(0)=-1<0$ et $f_n(1)=1>0$.

D'après le corollaire du TVI :

✅ $f_n(x)=0$ admet une unique solution $\alpha_n$ dans $[0\,;1]$.

Comme $f_n(0)\neq0$ et $f_n(1)\neq0$, $\alpha_n\in\,]0\,;1[$.

Question 2

$f_1(x)=2x-1=0$ donne :

✅ $\alpha_1=\dfrac12$

$f_2(x)=x^2+x-1=0$ : le discriminant vaut $5$, et la solution positive est :

✅ $\alpha_2=\dfrac{\sqrt5-1}2\approx0{,}618$

Question 3

Comme $f_{n+1}(\alpha_{n+1})=0$, on a $\alpha_{n+1}^{\,n+1}+\alpha_{n+1}-1=0$, donc $\alpha_{n+1}-1=-\alpha_{n+1}^{\,n+1}$. Alors :

✅ $f_n(\alpha_{n+1})=\alpha_{n+1}^{\,n}(1-\alpha_{n+1})$

Comme $0<\alpha_{n+1}<1$, on a $f_n(\alpha_{n+1})>0=f_n(\alpha_n)$. Comme $f_n$ est strictement croissante sur $[0\,;1]$, $f_n(\alpha_{n+1})>f_n(\alpha_n)$ entraîne $\alpha_{n+1}>\alpha_n$.

✅ La suite $(\alpha_n)$ est strictement croissante.

Question 4

La suite $(\alpha_n)$ est croissante et majorée par $1$. D'après le théorème de convergence monotone :

✅ elle converge vers un réel $\ell$, avec $\dfrac12=\alpha_1\le\ell\le1$.

Supposons $\ell<1$.

Comme $(\alpha_n)$ est croissante, $\alpha_n\le\ell$ pour tout $n$, donc $0<\alpha_n^{\,n}\le\ell^n$, et $\ell^n\to0$ car $0<\ell<1$.

Donc $\alpha_n^{\,n}\to0$ (gendarmes).

Or $f_n(\alpha_n)=0$ donne $\alpha_n=1-\alpha_n^{\,n}$, donc $\alpha_n\to1$, c'est-à-dire $\ell=1$ : contradiction avec $\ell<1$.

Donc $\ell=1$.

✅ La suite $(\alpha_n)$ converge vers $1$.

Question 1

La fonction $f$ est strictement croissante avec $f(0)<0<f(1)$.

À chaque itération, on calcule $m=\dfrac{a+b}2$ : si f(m)*f(a) <= 0, on remplace $b$ par $m$ ; sinon on remplace $a$ par $m$.

La boucle tourne tant que $b-a>0{,}01$.

• $m=0{,}5$ ; $f(m)=-0{,}375$ → $a=0{,}5$ ; intervalle $[0{,}5\,;1]$.

• $m=0{,}75$ ; $f(m)\approx0{,}172$ → $b=0{,}75$ ; intervalle $[0{,}5\,;0{,}75]$.

• $m=0{,}625$ ; $f(m)\approx-0{,}131$ → $a=0{,}625$ ; intervalle $[0{,}625\,;0{,}75]$.

• $m=0{,}6875$ ; $f(m)\approx0{,}012$ → $b=0{,}6875$ ; intervalle $[0{,}625\,;0{,}6875]$.

• $m=0{,}65625$ ; $f(m)\approx-0{,}061$ → $a=0{,}65625$ ; intervalle $[0{,}65625\,;0{,}6875]$.

• $m=0{,}671875$ ; $f(m)\approx-0{,}025$ → $a=0{,}671875$ ; intervalle $[0{,}671875\,;0{,}6875]$.

• $m=0{,}6796875$ ; $f(m)\approx-0{,}006$ → $a=0{,}6796875$ ; intervalle $[0{,}6796875\,;0{,}6875]$.

Ce dernier intervalle a pour largeur $0{,}0078125\le0{,}01$ : la boucle s'arrête.

✅ Le script renvoie $(0{,}6796875\,;0{,}6875)$.

Cet intervalle contient bien $\alpha\approx0{,}6823$.

Question 2

Après $n$ itérations, la largeur vaut $\dfrac{2-1}{2^n}=\dfrac1{2^n}$. On cherche $\dfrac1{2^n}\le10^{-3}$, soit $2^n\ge1000$. Comme $2^9=512<1000$ et $2^{10}=1024\ge1000$ :

✅ il faut $10$ itérations.

Existence et unicité. La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ (polynôme), donc continue.

Pour tout $x$, $g'(x)=3x^2+2>0$ : $g$ est strictement croissante sur $\R$.

De plus $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}g=-\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g=+\infty$, donc $5$ est strictement compris entre ces limites.

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :

✅ l'équation $g(x)=5$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\R$.

Encadrement. On a $g(1)=3<5$ et $g(2)=12>5$, donc $\alpha\in\,]1\,;2[$. Par pas de $0{,}1$ :

$g(1{,}3)=2{,}197+2{,}6=4{,}797<5$

$g(1{,}4)=2{,}744+2{,}8=5{,}544>5$

Comme $g$ est strictement croissante :

✅ $1{,}3<\alpha<1{,}4$