Fiche 1 : continuité en un point

Méthode. On calcule les trois nombres en $0$.

Limite à gauche. Pour $x<0$, $f(x)=x^2+1$. $\displaystyle\lim_{x\to0^-}f(x)=0^2+1=1$ (les polynômes sont continus).

Limite à droite. Pour $x\ge0$, $f(x)=2x+1$. $\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)=2\times0+1=1$.

Valeur. $f(0)=2\times0+1=1$.

On a $\displaystyle\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^+}f(x)=f(0)=1$.

✅ Donc $f$ est continue en $0$.

Question 1

$\displaystyle\lim_{x\to1^-}f(x)=1+1=2$

$\displaystyle\lim_{x\to1^+}f(x)=3-1=2$

$f(1)=3-1=2$

Les trois nombres sont égaux.

✅ Donc $f$ est continue en $1$.

Question 2

$\displaystyle\lim_{x\to0^-}g(x)=0$

$\displaystyle\lim_{x\to0^+}g(x)=0+1=1$

$g(0)=0$

Comme $\displaystyle\lim_{x\to0^-}g(x)\neq\lim_{x\to0^+}g(x)$, la fonction $g$ n'a pas de limite en $0$.

❌ Donc $g$ n'est pas continue en $0$ : sa courbe fait un saut de $0$ à $1$.

Question 1

$\displaystyle\lim_{x\to2^-}f(x)=2a+1$

$\displaystyle\lim_{x\to2^+}f(x)=2^2-1=3$

$f(2)=2^2-1=3$

La fonction $f$ est continue en $2$ si et seulement si $2a+1=3$, c'est-à-dire $a=1$.

✅ Donc $f$ est continue en $2$ si et seulement si $a=1$.

Question 2

Pour $x\neq1$, $g(x)=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1$. Donc $\displaystyle\lim_{x\to1}g(x)=2$.

La fonction $g$ est continue en $1$ si et seulement si $\displaystyle\lim_{x\to1}g(x)=g(1)$, c'est-à-dire $2=k$.

✅ Donc $g$ est continue en $1$ si et seulement si $k=2$.

Méthode. Dans chaque cas, $f$ n'est pas définie au point considéré. On cherche la limite finie en ce point (forme « $\frac00$ »).

Question 1

Pour $x\neq3$, $f(x)=\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3$. Donc $\displaystyle\lim_{x\to3}f(x)=6$. On prolonge $f$ par continuité en posant :

✅ $f(3)=6$

Question 2

Pour $x\neq2$, $x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$, donc $f(x)=x^2+2x+4$. $\displaystyle\lim_{x\to2}f(x)=4+4+4=12$. On prolonge en posant :

✅ $f(2)=12$

Question 3

Pour $x>-1$, $x\neq0$ :

Et $\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)=\dfrac12$. On prolonge en posant :

✅ $f(0)=\dfrac12$

Question 1

$\displaystyle\lim_{x\to0^-}f(x)=e^0=1$ (continuité de l'exponentielle)

$\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)=0+1=1$

$f(0)=e^0=1$

Les trois nombres sont égaux.

✅ Donc $f$ est continue en $0$.

Question 2

Pour $x<0$, $\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\dfrac{e^x-1}x$. Il tend vers le nombre dérivé de l'exponentielle en $0$, soit $1$.

Pour $x>0$, $\dfrac{f(x)-f(0)}x=\dfrac{x+1-1}x=1$, qui tend vers $1$.

Les deux limites sont égales.

✅ Donc $f$ est dérivable en $0$, avec $f'(0)=1$.

Question 3

Pour la valeur absolue, le taux d'accroissement en $0$ vaut $\dfrac{|x|}x=-1$ pour $x<0$ et $1$ pour $x>0$.

Les limites à gauche et à droite diffèrent.

La valeur absolue est continue en $0$ mais n'est pas dérivable en $0$.

✅ La continuité n'entraîne pas la dérivabilité.

Affirmation 1

C'est un théorème : une fonction dérivable en $a$ est continue en $a$.

✅ Vrai.

Affirmation 2

Contre-exemple : la valeur absolue est continue en $0$ et n'y est pas dérivable.

❌ Faux.

Affirmation 3

Il faut que la limite soit égale à $f(a)$. Contre-exemple : $f(x)=x^2$ si $x\neq0$ et $f(0)=1$ : la limite en $0$ vaut $0$, mais $f(0)=1$.

❌ Faux.

Affirmation 4

Contre-exemple : $f(x)=1$ si $x\ge0$ et $0$ sinon, et $g=1-f$. Ni $f$ ni $g$ n'est continue en $0$, mais $f+g=1$ est constante, donc continue.

❌ Faux.

Affirmation 5

Le produit de deux fonctions continues est continu.

✅ Vrai.

Affirmation 6

L'inverse d'une fonction continue est continue là où elle ne s'annule pas.

✅ Vrai.

Question 1

En $2$. Pour $x\in[1\,;2[$, $E(x)=1$, donc $\displaystyle\lim_{x\to2^-}E(x)=1$. Pour $x\in[2\,;3[$, $E(x)=2$, donc $\displaystyle\lim_{x\to2^+}E(x)=2$ et $E(2)=2$. Les limites à gauche et à droite diffèrent.

❌ $E$ n'est pas continue en $2$.

En $2{,}5$. Sur l'intervalle $]2\,;3[$ qui contient $2{,}5$, $E$ est constante égale à $2$. Donc $\displaystyle\lim_{x\to2{,}5}E(x)=2=E(2{,}5)$.

✅ $E$ est continue en $2{,}5$.

Question 2

Pour $x\in[1\,;2[$, $g(x)=x-1$, donc $\displaystyle\lim_{x\to2^-}g(x)=1$. Or $g(2)=2-2=0$. Comme $\displaystyle\lim_{x\to2^-}g(x)=1\neq0=g(2)$ :

❌ $g$ n'est pas continue en $2$ : la courbe fait un saut de $1$ à $0$.

Question 1

Soit $P(n)$ la propriété : « $1\le u_n\le2$ ».

Initialisation. $u_0=1$, donc $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k\in\N$ fixé tel que $1\le u_k\le2$. Alors $2\le2u_k\le4$. La racine carrée étant strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$ : $\sqrt2\le u_{k+1}\le2$. Comme $1\le\sqrt2$, on a $1\le u_{k+1}\le2$ : $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion.

✅ Donc $1\le u_n\le2$ pour tout $n\in\N$.

Question 2

Pour tout $n\in\N$ :

D'après la question 1, $u_n>0$ et $2-u_n\ge0$, donc le numérateur est positif ou nul. Le dénominateur est strictement positif. Donc $u_{n+1}-u_n\ge0$.

✅ $(u_n)$ est croissante.

Question 3

La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $2$. D'après le théorème de convergence monotone :

✅ elle converge vers un réel $\ell$, avec $1\le\ell\le2$ (passage à la limite dans l'encadrement).

Justification de l'égalité $\ell=f(\ell)$. Soit $f:x\mapsto\sqrt{2x}$, continue sur $[0\,;+\infty[$ (composée de $x\mapsto2x$ et de la racine carrée).

Comme $u_n\to\ell$ avec $\ell\in[1\,;2]\subset[0\,;+\infty[$ et que $f$ est continue en $\ell$, $f(u_n)\to f(\ell)$.

Or $f(u_n)=u_{n+1}\to\ell$.

Par unicité de la limite, $\ell=f(\ell)=\sqrt{2\ell}$.

Comme $\ell\ge0$, cela entraîne $\ell^2=2\ell$, soit $\ell(\ell-2)=0$, donc $\ell=0$ ou $\ell=2$. Comme $\ell\ge1$, $\ell=0$ est exclu.

✅ Donc $\lim u_n=2$.