Continuité et TVI : exercices type bac

En $-\infty$. Quand $x\to-\infty$, $e^x\to0$ et $-x-2\to+\infty$. Par somme :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}g(x)=+\infty$

En $+\infty$. Pour tout $x$, $g(x)=e^x\left(1-xe^{-x}-2e^{-x}\right)$. Par croissances comparées, $xe^{-x}\to0$, et $e^{-x}\to0$. Par somme, le facteur entre parenthèses tend vers $1$. Comme $e^x\to+\infty$, par produit :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty$

La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ comme somme de fonctions dérivables. Pour tout $x\in\R$ :

✅ $g'(x)=e^x-1$

La fonction exponentielle est strictement croissante et $e^0=1$. Donc $g'(x)>0\iff e^x>1\iff x>0$, $g'(0)=0$ et $g'(x)<0$ pour $x<0$.

Tableau de variations. $g$ est strictement décroissante sur $]-\infty\,;0]$, de la limite $+\infty$ à $g(0)=e^0-0-2=-1$. Puis $g$ est strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$, de $-1$ à la limite $+\infty$.

Sur $]-\infty\,;0]$. La fonction $g$ est continue (dérivable) et strictement décroissante, de $+\infty$ à $g(0)=-1$.

Le nombre $0$ est compris entre $-1$ et $+\infty$.

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]-\infty\,;0]$.

Comme $g(0)=-1\neq0$, $\alpha<0$.

Sur $[0\,;+\infty[$. La fonction $g$ est continue et strictement croissante, de $-1$ à $+\infty$.

Le nombre $0$ est compris entre ces valeurs.

D'après le corollaire, l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\beta$ dans $[0\,;+\infty[$, et $\beta>0$ car $g(0)\neq0$.

Conclusion. Les deux intervalles couvrent $\R$, et $\alpha<0<\beta$.

✅ L'équation $g(x)=0$ admet donc exactement deux solutions $\alpha$ et $\beta$.

Pour $\alpha$.

$g(-1{,}9)=e^{-1{,}9}+1{,}9-2\approx0{,}0496>0$

$g(-1{,}8)=e^{-1{,}8}+1{,}8-2\approx-0{,}0347<0$

Comme $g$ est continue et strictement décroissante sur $]-\infty\,;0]$ :

✅ $\alpha\in\,]-1{,}9\,;-1{,}8[$

Pour $\beta$.

$g(1{,}1)=e^{1{,}1}-1{,}1-2\approx-0{,}0958<0$

$g(1{,}2)=e^{1{,}2}-1{,}2-2\approx0{,}1201>0$

Comme $g$ est continue et strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$ :

✅ $\beta\in\,]1{,}1\,;1{,}2[$

D'après le tableau de variations et les valeurs de $\alpha$ et $\beta$ :

• sur $]-\infty\,;\alpha[$, $g$ est strictement décroissante et $g(\alpha)=0$, donc $g(x)>0$ ;

• sur $]\alpha\,;\beta[$, $g(x)<0$ ($g$ reste entre $0$ et son minimum $-1$) ;

• sur $]\beta\,;+\infty[$, $g$ est strictement croissante et $g(\beta)=0$, donc $g(x)>0$.

✅ Donc $g(x)>0$ pour $x<\alpha$ ou $x>\beta$, $g(x)<0$ pour $\alpha<x<\beta$, et $g(x)=0$ pour $x=\alpha$ ou $x=\beta$.

• Q1 : les deux limites sont justifiées (somme ; croissances comparées puis produit).

• Q2 : dérivabilité, signe de $g'$ justifié par $e^0=1$ et la croissance de l'exponentielle, valeur du minimum $g(0)=-1$ dans le tableau.

• Q3 : le corollaire est appliqué sur chaque intervalle, avec continuité, stricte monotonie, $k$ compris entre les valeurs, et le nombre total de solutions est conclu.

• Q4 : les valeurs numériques de $g$ aux bornes sont données avec leur signe, avec le sens de variation rappelé.

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ (polynôme), donc continue. Pour tout $x$, $f'(x)=3x^2+1>0$ : $f$ est strictement croissante sur $[0\,;1]$. De plus $f(0)=-1<0$ et $f(1)=1>0$.

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :

✅ l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[0\,;1]$.

On a $f(0{,}68)\approx-0{,}0056<0$ et $f(0{,}69)\approx0{,}0185>0$. Comme $f$ est strictement croissante :

✅ $0{,}68<\alpha<0{,}69$

Soit $P(n)$ la propriété : « $\dfrac12\le u_n\le1$ ».

Initialisation. $u_0=1$, donc $\dfrac12\le u_0\le1$ : $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k\in\N$ fixé tel que $\dfrac12\le u_k\le1$ (hypothèse de récurrence).

Les nombres étant positifs, en élevant au carré (la fonction carré est croissante sur $[0\,;+\infty[$) : $\dfrac14\le u_k^2\le1$.

En ajoutant $1$ : $\dfrac54\le1+u_k^2\le2$.

La fonction inverse est strictement décroissante sur $]0\,;+\infty[$ : elle retourne les inégalités, donc $\dfrac12\le\dfrac1{1+u_k^2}\le\dfrac45$.

Ainsi $\dfrac12\le u_{k+1}\le\dfrac45\le1$ : $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire.

✅ Donc $\dfrac12\le u_n\le1$ pour tout $n\in\N$.

$u_1=\dfrac1{1+1}=\dfrac12$

$u_2=\dfrac1{1+\frac14}=\dfrac45=0{,}8$

$u_3=\dfrac1{1+0{,}64}\approx0{,}6098$

On a $u_1<u_0$, puis $u_1<u_2$, puis $u_3<u_2$ : la suite descend, monte, puis descend.

❌ La suite $(u_n)$ n'est pas monotone.

C'est normal : la fonction $x\mapsto\dfrac1{1+x^2}$ est décroissante sur $[0\,;+\infty[$.

La suite $(u_n)$ converge vers $\ell$, et, d'après la question 2, $\dfrac12\le\ell\le1$ (passage à la limite dans l'encadrement).

La fonction $\varphi:x\mapsto\dfrac1{1+x^2}$ est continue sur $\R$, comme quotient de fonctions continues dont le dénominateur $1+x^2$ ne s'annule pas. En passant à la limite dans $u_{n+1}=\varphi(u_n)$, on obtient $\ell=\dfrac1{1+\ell^2}$.

Comme $1+\ell^2>0$, cela équivaut à $\ell(1+\ell^2)=1$, c'est-à-dire $\ell^3+\ell-1=0$, soit $f(\ell)=0$. De plus $\ell\in\left[\dfrac12\,;1\right]\subset[0\,;1]$.

D'après la question 1, $\alpha$ est l'unique solution de $f(x)=0$ dans $[0\,;1]$.

✅ Donc $\ell=\alpha$.

Le script

u = 1
for n in range(1, 9):
    u = 1/(1 + u**2)
    print(n, u)

Les valeurs. Valeurs approchées : $u_1=0{,}5$ ; $u_2=0{,}8$ ; $u_3\approx0{,}6098$ ; $u_4\approx0{,}7290$ ; $u_5\approx0{,}6530$ ; $u_6\approx0{,}7011$ ; $u_7\approx0{,}6705$ ; $u_8\approx0{,}6899$.

Interprétation. Les termes alternent au-dessus et en dessous de $\alpha\approx0{,}682$ en s'en rapprochant. C'est cohérent avec le fait que la suite converge vers $\alpha$, sans être monotone.

• Q1 : les quatre étapes du corollaire, et l'encadrement justifié par deux valeurs de $f$.

• Q2 : hypothèse de récurrence utilisée, décroissance de la fonction inverse citée (les inégalités se retournent).

• Q3 : trois termes calculés et la conclusion « non monotone », avec la raison.

• Q4 : continuité de $\varphi$ justifiée, $\ell$ dans $[0\,;1]$, équivalence avec $f(\ell)=0$, et unicité de la solution invoquée pour conclure $\ell=\alpha$.

En $-\infty$. Quand $x\to-\infty$, $x+1\to-\infty$ et $e^{-x}\to+\infty$ (car $-x\to+\infty$). Par produit :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}h(x)=-\infty$

En $+\infty$. Pour tout $x$, $h(x)=xe^{-x}+e^{-x}$. Par croissances comparées, $xe^{-x}\to0$, et $e^{-x}\to0$. Par somme :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}h(x)=0$

Conséquence. Comme $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}h(x)=0$, la droite d'équation $y=0$ (l'axe des abscisses) est asymptote horizontale à $\mathcal C$ en $+\infty$.

La fonction $h$ est dérivable sur $\R$ comme produit de $x\mapsto x+1$ et de $x\mapsto e^{-x}$, dérivables sur $\R$. On applique $(uv)'=u'v+uv'$ avec $u(x)=x+1$, $v(x)=e^{-x}$, $u'(x)=1$ et $v'(x)=-e^{-x}$.

Pour tout $x\in\R$ :

✅ $h'(x)=-xe^{-x}$

Comme $e^{-x}>0$, $h'(x)$ est du signe de $-x$ : $h'(x)>0$ si $x<0$, $h'(0)=0$ et $h'(x)<0$ si $x>0$.

Tableau de variations. $h$ est strictement croissante sur $]-\infty\,;0]$, de la limite $-\infty$ à $h(0)=1$. Puis $h$ est strictement décroissante sur $[0\,;+\infty[$, de $1$ à la limite $0$.

Sur $]-\infty\,;0]$. La fonction $h$ est continue et strictement croissante, de $-\infty$ à $h(0)=1$.

Le nombre $\dfrac12$ est compris entre $-\infty$ et $1$.

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $h(x)=\dfrac12$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]-\infty\,;0]$.

Comme $h(0)=1\neq\dfrac12$, $\alpha<0$.

Sur $[0\,;+\infty[$. La fonction $h$ est continue et strictement décroissante, de $1$ à la limite $0$.

Le nombre $\dfrac12$ est strictement compris entre $0$ et $1$.

D'après le corollaire, l'équation $h(x)=\dfrac12$ admet une unique solution $\beta$ dans $[0\,;+\infty[$, et $\beta>0$.

Conclusion. Les deux intervalles couvrent $\R$ et $\alpha<0<\beta$.

✅ L'équation $h(x)=\dfrac12$ admet donc exactement deux solutions $\alpha$ et $\beta$.

Pour $\alpha$.

$h(-1)=0\times e^1=0<\dfrac12$

$h(-0{,}5)=0{,}5\times e^{0{,}5}\approx0{,}824>\dfrac12$

Comme $h$ est continue et strictement croissante sur $]-\infty\,;0]$ :

✅ $\alpha\in\,]-1\,;-0{,}5[$

Pour $\beta$.

$h(1)=2e^{-1}\approx0{,}736>\dfrac12$

$h(2)=3e^{-2}\approx0{,}406<\dfrac12$

Comme $h$ est continue et strictement décroissante sur $[0\,;+\infty[$ :

✅ $\beta\in\,]1\,;2[$

D'après le tableau de variations :

• sur $]-\infty\,;\alpha[$, $h(x)<\dfrac12$ ($h$ est strictement croissante et $h(\alpha)=\dfrac12$) ;

• sur $[\alpha\,;0]$, $h(x)\ge\dfrac12$ ;

• sur $[0\,;\beta]$, $h(x)\ge\dfrac12$ ($h$ est décroissante de $1$ à $\dfrac12$) ;

• sur $]\beta\,;+\infty[$, $h(x)<\dfrac12$.

✅ L'ensemble des solutions de $h(x)\ge\dfrac12$ est l'intervalle $[\alpha\,;\beta]$.

• Q1 : croissances comparées citées, asymptote justifiée par la limite.

• Q2 : dérivabilité justifiée, formule $(uv)'$ citée, factorisation par $e^{-x}$, signe justifié ($e^{-x}>0$), tableau avec limites et valeur du maximum.

• Q3 : le corollaire est appliqué deux fois, sur deux intervalles de stricte monotonie, avec $\dfrac12$ compris entre les valeurs aux bornes.

• Q4 : valeurs numériques de $h$ avec leur signe par rapport à $\dfrac12$.

• Q5 : lecture correcte du tableau, conclusion sous forme d'intervalle.