Fiche 3 : comparaison et croissances comparées

Question 1

Pour tout $x$, $\sin x\ge-1$, donc $f(x)=x+\sin x\ge x-1$. Or $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(x-1)=+\infty$. D'après le théorème de comparaison :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f=+\infty$

Question 2

Pour tout $x$, $\cos x\le1$, donc $-\cos x\ge-1$ et $g(x)\ge x^2-1$. Or $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(x^2-1)=+\infty$. D'après le théorème de comparaison :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g=+\infty$

Question 3

Pour tout $x$, $\cos x\le1$, donc $h(x)=-x+\cos x\le-x+1$. Or $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(-x+1)=-\infty$. D'après le théorème de comparaison :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}h=-\infty$

Astuce : on minore pour montrer $+\infty$, on majore pour montrer $-\infty$.

Question 1

Pour tout $x>0$, $-1\le\sin x\le1$. En divisant par $x>0$ : $-\dfrac1x\le f(x)\le\dfrac1x$. Or $\lim\left(-\dfrac1x\right)=\lim\dfrac1x=0$ en $+\infty$. D'après le théorème des gendarmes :

✅ $\lim f=0$

Question 2

Pour tout $x>0$, $g(x)=1+\dfrac{\cos x}x$. Comme $-1\le\cos x\le1$, en divisant par $x>0$ : $-\dfrac1x\le\dfrac{\cos x}x\le\dfrac1x$. Par gendarmes, $\dfrac{\cos x}x\to0$, donc, par somme :

✅ $\lim g=1$

Question 3

Pour tout $x>0$, $-1\le\sin x\le1$, donc $2x-1\le2x+\sin x\le2x+1$. En divisant par $x+1>0$ :

Or $\dfrac{2x\pm1}{x+1}=\dfrac{2\pm\frac1x}{1+\frac1x}$ tend vers $2$ par somme et quotient. D'après le théorème des gendarmes :

✅ $\lim h=2$

Question 1

Pour tout $x\neq0$, $-1\le\sin\dfrac1x\le1$. Donc $\left|x\sin\dfrac1x\right|\le|x|$, c'est-à-dire $-|x|\le x\sin\dfrac1x\le|x|$. Or $\displaystyle\lim_{x\to0}|x|=0$. D'après le théorème des gendarmes :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to0}x\sin\frac1x=0$

Question 2

Pour tout $x\neq0$, $-1\le\cos\dfrac1x\le1$ et $x^2>0$, donc $-x^2\le x^2\cos\dfrac1x\le x^2$. Or $\displaystyle\lim_{x\to0}x^2=0$. D'après le théorème des gendarmes :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to0}x^2\cos\frac1x=0$

Question 3

Pour tout $x>0$, $-1\le\sin x\le1$. En divisant par $x^2>0$ : $-\dfrac1{x^2}\le\dfrac{\sin x}{x^2}\le\dfrac1{x^2}$. Or $\lim\left(-\dfrac1{x^2}\right)=\lim\dfrac1{x^2}=0$ en $+\infty$. D'après le théorème des gendarmes :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\sin x}{x^2}=0$

À retenir : « (quelque chose qui tend vers $0$) $\times$ (quelque chose de borné) » tend vers $0$. Ici, $x\to0$ et $\sin\dfrac1x$ est bornée par $1$, même si elle oscille de façon folle.

Méthode. On utilise les croissances comparées : pour tout entier $n\ge1$, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^ne^{-x}=0$, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^n}=+\infty$, et $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^ne^x=0$.

Question 1

Par croissances comparées ($n=2$) :

✅ $\lim x^2e^{-x}=0$

Question 2

Par croissances comparées ($n=1$) :

✅ $\lim\dfrac{e^x}x=+\infty$

Question 3

Par croissances comparées en $-\infty$ ($n=1$) :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}xe^x=0$

Question 4

Pour tout $x$, $e^x-x^2=e^x\left(1-x^2e^{-x}\right)$. Par croissances comparées, $x^2e^{-x}\to0$, donc, par somme, $1-x^2e^{-x}\to1$. Comme $e^x\to+\infty$, par produit :

✅ $\lim(e^x-x^2)=+\infty$

Question 5

Pour tout $x$, on divise le numérateur et le dénominateur par $e^x>0$ :

Par croissances comparées, $x^2e^{-x}\to0$, donc, par somme et quotient :

✅ $\lim=1$

Question 6

Pour tout $x$, $(x^3-5x)e^{-x}=x^3e^{-x}-5xe^{-x}$. Par croissances comparées, $x^3e^{-x}\to0$ et $xe^{-x}\to0$. Par somme :

✅ $\lim=0$

Pépite : pour les questions 4 et 5, on met en facteur $e^x$ pour « écraser » les puissances de $x$.

Question 1

Pour tout $x$, $-1\le\sin x\le1$ et $e^{-x}>0$, donc $-e^{-x}\le f(x)\le e^{-x}$. Or $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^{-x}=0$. D'après le théorème des gendarmes :

✅ $\lim f=0$

Question 2

Pour tout $x$, $-1\le\cos x\le1$ et $x^2+1>0$, donc $-\dfrac1{x^2+1}\le g(x)\le\dfrac1{x^2+1}$. Les deux bornes tendent vers $0$. D'après le théorème des gendarmes :

✅ $\lim g=0$

Question 3

Pour tout $x>0$, $|x\sin x|\le x$, donc $|h(x)|\le\dfrac x{x^2+1}$, c'est-à-dire :

Or $\dfrac x{x^2+1}=\dfrac{\frac1x}{1+\frac1{x^2}}\to0$ par quotient. D'après le théorème des gendarmes :

✅ $\lim h=0$

La transformation. La fonction est définie pour $x^2-x\ge0$, donc en particulier pour $x\ge1$.

On est dans la forme « $+\infty-\infty$ ».

Pour tout $x\ge1$, on multiplie par la quantité conjuguée (strictement positive) :

Comme $x>0$, on divise le numérateur et le dénominateur par $x=\sqrt{x^2}$ :

La limite. Quand $x\to+\infty$, $\dfrac1x\to0$, donc $\sqrt{1-\frac1x}\to1$ par composition. Par somme et quotient :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(x-\sqrt{x^2-x}\right)=\dfrac1{1+1}=\dfrac12$

Question 1

Par croissances comparées, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^2e^{-x}=0$. Donc la suite $(n^2e^{-n})$ tend vers $0$ :

✅ $\lim u_n=0$

Question 2

Par croissances comparées, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^3}=+\infty$. Donc :

✅ $\lim v_n=+\infty$

Question 3

Pour tout $n\ge1$, $f(n)=\dfrac{3n+1}{n+2}=\dfrac{3+\frac1n}{1+\frac2n}$. Par somme et quotient :

✅ $\lim f(n)=3$

De même $f\left(\dfrac1n\right)=\dfrac{\frac3n+1}{\frac1n+2}$. Quand $n\to+\infty$, $\dfrac1n\to0$, donc, par somme et quotient :

✅ $\lim f\left(\dfrac1n\right)=\dfrac12$, c'est-à-dire $f(0)$.

À retenir : si $f(x)\to\ell$ quand $x\to+\infty$, alors la suite $f(n)$ tend vers $\ell$. C'est le pont entre le chapitre des suites et celui-ci.

Affirmation 1

Contre-exemple : $f(x)=x+2\sin x$.

Comme $\sin x\ge-1$, $f(x)\ge x-2$, donc par comparaison $f(x)\to+\infty$.

Pourtant $f$ est dérivable, avec $f'(x)=1+2\cos x$, et $f'(x)<0$ dès que $\cos x<-\dfrac12$ : $f$ est décroissante sur des intervalles arbitrairement loin.

Elle n'est donc croissante sur aucun intervalle $[A\,;+\infty[$.

❌ Faux.

Affirmation 2

Soit $M$ tel que $|g(x)|\le M$ pour tout $x$. Alors $|f(x)g(x)|\le M|f(x)|$, c'est-à-dire $-M|f(x)|\le f(x)g(x)\le M|f(x)|$. Comme $f(x)\to0$, $|f(x)|\to0$, donc $M|f(x)|\to0$. D'après le théorème des gendarmes, $f(x)g(x)\to0$.

✅ Vrai.

Affirmation 3

C'est une forme indéterminée « $+\infty-\infty$ ». Contre-exemple : $f(x)=x^2$ et $g(x)=-x$ donnent $f(x)+g(x)=x^2-x\to+\infty$. Autre exemple : $f(x)=x+1$ et $g(x)=-x$ donnent $f(x)+g(x)=1\to1$.

❌ Faux.

Affirmation 4

Si $f(x)\to B$, il existe $A$ tel que, pour tout $x\ge A$, $B-1<f(x)<B+1$. Donc $f$ est bornée sur $[A\,;+\infty[$.

✅ Vrai.

Affirmation 5

Contre-exemple : $f(x)=\dfrac{\sin x}x$ tend vers $0$ en $+\infty$ (exercice 2), donc l'axe des abscisses est asymptote horizontale. Et pourtant la courbe coupe cet axe en chaque multiple non nul de $\pi$ (car $\sin x=0$).

❌ Faux.

Affirmation 6

Une droite d'équation $x=a$ est asymptote verticale dès que la limite en $a$ est infinie d'au moins un côté (à droite ou à gauche). Ici $\displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x)=+\infty$ suffit.

✅ Vrai.