Fiche 2 : limites en un réel

Question 1

Quand $x\to2^+$, $x>2$, donc $x-2$ tend vers $0$ par valeurs strictement positives : $x-2\to0^+$. Par quotient :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to2^+}\frac1{x-2}=+\infty$

Quand $x\to2^-$, $x<2$, donc $x-2\to0^-$ (valeurs strictement négatives). Par quotient :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to2^-}\frac1{x-2}=-\infty$

Les deux limites sont différentes : la limite en $2$ n'existe pas.

Question 2

Pour tout $x\neq2$, $(x-2)^2>0$ (c'est un carré), et $(x-2)^2$ tend vers $0$ : on a donc $(x-2)^2\to0^+$ des deux côtés. Par quotient :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to2}\frac1{(x-2)^2}=+\infty$

Sans avoir besoin de séparer les côtés.

Quand $x\to1$, le numérateur $3x+1$ tend vers $4$, un réel strictement positif.

En $1^+$ : $x>1$, donc $x-1\to0^+$ ; par quotient :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to1^+}f(x)=+\infty$

En $1^-$ : $x<1$, donc $x-1\to0^-$ ; par quotient :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to1^-}f(x)=-\infty$

Conséquence : comme la limite en $1$ (à droite comme à gauche) est infinie, la droite d'équation $x=1$ est asymptote verticale à la courbe.

Méthode. Dans chaque cas, le numérateur et le dénominateur tendent vers $0$ : c'est la forme indéterminée « $\frac00$ ». On factorise par $(x-a)$ pour simplifier, avec $x\neq a$.

Question 1

Pour $x\neq1$ :

✅ $\lim_{x\to1}=2$

Question 2

$x^2-4=(x-2)(x+2)$ et $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$ (racines $1$ et $2$). Pour $x\neq2$ et $x\neq1$, le quotient vaut $\dfrac{x+2}{x-1}$. Par quotient (dénominateur de limite $1$, non nulle) :

✅ $\lim_{x\to2}=\dfrac41=4$

Question 3

Pour $x\neq3$ et $x\neq-3$ :

Par quotient :

✅ $\lim_{x\to3}=\dfrac16$

Question 4

$x^2-x-2=(x-2)(x+1)$. Pour $x\neq-1$, le quotient vaut $x-2$.

✅ $\lim_{x\to-1}=-3$

Astuce : pour factoriser $x^2-3x+2$, cherche les racines : ici $1$ et $2$, dont la somme est $3$ et le produit est $2$.

Le dénominateur. On factorise : $x^2-4=(x-2)(x+2)$.

En $2$. Le numérateur tend vers $3>0$.

En $2^+$ : $x-2>0$ et $x+2>0$, donc $x^2-4>0$ et $x^2-4\to0^+$ ; par quotient :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to2^+}f=+\infty$

En $2^-$ : $x-2<0$ et $x+2>0$, donc $x^2-4<0$ et $x^2-4\to0^-$ ; par quotient :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to2^-}f=-\infty$

En $-2$. Le numérateur tend vers $-5<0$.

En $-2^+$ : $x-2<0$ et $x+2>0$, donc $x^2-4\to0^-$ ; par quotient, $\dfrac{-5}{0^-}$ donne :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to-2^+}f=+\infty$

En $-2^-$ : $x-2<0$ et $x+2<0$, donc $x^2-4>0$ et $x^2-4\to0^+$ ; par quotient, $\dfrac{-5}{0^+}$ donne :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to-2^-}f=-\infty$

Conclusion. Les limites en $2$ et en $-2$ sont infinies, donc la courbe admet deux asymptotes verticales.

✅ Les droites d'équations $x=2$ et $x=-2$.

Méthode : ce qui rapporte des points, c'est le tableau de signes du dénominateur, dessiné à côté.

Méthode. Dans chaque cas, on est dans la forme « $\frac00$ ». On multiplie le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée du numérateur (strictement positive).

Question 1

Pour $x\ge0$, $x\neq4$, $x-4=(\sqrt x-2)(\sqrt x+2)$. Donc :

Quand $x\to4$, $\sqrt x\to2$ (continuité de la racine), donc, par quotient :

✅ $\lim=\dfrac14$

Question 2

Pour $x>-1$, $x\neq0$ :

Quand $x\to0$, $\sqrt{x+1}\to1$, donc, par quotient :

✅ $\lim=\dfrac12$

Question 3

Pour $x>-9$, $x\neq0$ :

Quand $x\to0$, $\sqrt{x+9}\to3$, donc, par quotient :

✅ $\lim=\dfrac16$

Lien avec la dérivation : la première limite est le nombre dérivé de $x\mapsto\sqrt x$ en $4$. Les deux autres sont les nombres dérivés de $x\mapsto\sqrt{x+1}$ et de $x\mapsto\sqrt{x+9}$ en $0$.

Pour $f$. $x^2+x-2=(x-1)(x+2)$. Donc, pour $x\neq1$, $f(x)=x+2$.

✅ $\displaystyle\lim_{x\to1}f(x)=3$

La limite est finie : il n'y a pas d'asymptote verticale en $x=1$. La courbe de $f$ coïncide avec la droite d'équation $y=x+2$, privée du point d'abscisse $1$ (un « trou »).

Pour $g$. Quand $x\to1$, le numérateur tend vers $1+1+1=3>0$.

En $1^+$, $x-1\to0^+$ ; par quotient :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to1^+}g=+\infty$

En $1^-$, $x-1\to0^-$ ; par quotient :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to1^-}g=-\infty$

Les limites sont infinies : la courbe de $g$ admet la droite d'équation $x=1$ comme asymptote verticale.

Conclusion.

✅ Seule la courbe de $g$ admet une asymptote verticale.

À retenir : un dénominateur qui s'annule ne suffit pas à créer une asymptote. Il faut regarder le numérateur : s'il s'annule aussi, on factorise.

Question 1

En $0^+$, $\dfrac1x\to+\infty$, et $\displaystyle\lim_{y\to+\infty}e^y=+\infty$. Par composition :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to0^+}f=+\infty$

En $0^-$, $\dfrac1x\to-\infty$, et $\displaystyle\lim_{y\to-\infty}e^y=0$. Par composition :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to0^-}f=0$

Les limites à droite et à gauche sont différentes.

❌ $f$ n'a pas de limite en $0$.

Question 2

Pour $x\neq0$, $x^2>0$ et $x^2\to0^+$, donc $\dfrac1{x^2}\to+\infty$ et $-\dfrac1{x^2}\to-\infty$ des deux côtés. Comme $\displaystyle\lim_{y\to-\infty}e^y=0$, par composition :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to0}g=0$

Question 3

En $0^+$, $e^{1/x}\to+\infty$ (question 1), donc $1+e^{1/x}\to+\infty$ et, par quotient :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to0^+}h=0$

En $0^-$, $e^{1/x}\to0$, donc $1+e^{1/x}\to1$ et, par quotient :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to0^-}h=1$

Les limites à droite et à gauche sont différentes.

❌ $h$ n'a pas de limite en $0$.

Question 1

Le numérateur a pour racines $\dfrac12$ et $1$ : $2x^2-3x+1=2\left(x-\dfrac12\right)(x-1)=(2x-1)(x-1)$. Le dénominateur vaut $x^2-x=x(x-1)$. Donc, pour tout $x\in\R\setminus\{0\,;1\}$ :

✅ $f(x)=\dfrac{2x-1}x$

Question 2

En $0$. Le numérateur $2x-1$ tend vers $-1<0$.

En $0^+$, $x\to0^+$, donc, par quotient :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to0^+}f=-\infty$

En $0^-$, $x\to0^-$, donc, par quotient :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to0^-}f=+\infty$

En $1$. $f(x)=\dfrac{2x-1}x$, et par quotient (dénominateur de limite $1$, non nulle) :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to1}f=1$

La limite est finie : pas d'asymptote verticale en $1$ (la courbe a un « trou » au point d'abscisse $1$).

Question 3

Pour tout $x\in\R\setminus\{0\,;1\}$, $f(x)=2-\dfrac1x$. Comme $\dfrac1x\to0$ en $+\infty$ et en $-\infty$, par somme :

✅ $\lim f=2$ en $+\infty$ et en $-\infty$

Question 4

Comme les limites de $f$ en $0^+$ et en $0^-$ sont infinies :

✅ la droite d'équation $x=0$ est asymptote verticale à la courbe.

Comme $\lim f=2$ en $+\infty$ et en $-\infty$ :

✅ la droite d'équation $y=2$ est asymptote horizontale à la courbe en $+\infty$ et en $-\infty$.

Position. Pour tout $x\in\R\setminus\{0\,;1\}$, $f(x)-2=-\dfrac1x$. Pour $x>0$ ($x\neq1$), $f(x)-2<0$ : la courbe est en dessous de l'asymptote horizontale. Pour $x<0$, $f(x)-2>0$ : elle est au-dessus.

Pépite : la simplification par $(x-1)$ supprime une fausse alerte : il n'y a pas d'asymptote verticale en $x=1$.