Fiche 1 : limites en l'infini

Question 1

Forme indéterminée « $+\infty-\infty$ ». Pour tout $x\neq0$, $f(x)=x^3\left(1-\dfrac2x+\dfrac1{x^3}\right)$. Quand $x\to+\infty$ ou $x\to-\infty$, $\dfrac2x\to0$ et $\dfrac1{x^3}\to0$, donc, par somme, $1-\dfrac2x+\dfrac1{x^3}\to1$. Or $x^3\to+\infty$ en $+\infty$ et $x^3\to-\infty$ en $-\infty$. Par produit :

✅ $\lim_{x\to+\infty}f=+\infty$ et $\lim_{x\to-\infty}f=-\infty$

Question 2

Pour tout $x\neq0$, $g(x)=x^4\left(-3+\dfrac1{x^3}\right)$. Comme $\dfrac1{x^3}\to0$, par somme $-3+\dfrac1{x^3}\to-3$. Comme $x^4\to+\infty$ des deux côtés (exposant pair), par produit :

✅ $\lim g=-\infty$ en $+\infty$ comme en $-\infty$

Question 3

En $+\infty$, $-2x\to-\infty$, donc par somme $h(x)\to-\infty$. En $-\infty$, $-2x\to+\infty$, donc $h(x)\to+\infty$.

✅ $\lim_{x\to+\infty}h=-\infty$ et $\lim_{x\to-\infty}h=+\infty$

À retenir : pour un polynôme, la limite en $\pm\infty$ est celle de son terme de plus haut degré.

Méthode. Dans chaque cas, on met en facteur le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur (pour $x$ assez grand en valeur absolue, pour que les dénominateurs soient non nuls).

Question 1

Quand $x\to\pm\infty$, $\dfrac1x\to0$, donc le numérateur tend vers $2$ et le dénominateur vers $1$ (non nul). Par quotient :

✅ $\lim f=2$ en $+\infty$ et en $-\infty$

Question 2

Le numérateur tend vers $1$ et le dénominateur vers $3$. Par quotient :

✅ $\lim g=\dfrac13$ en $+\infty$ et en $-\infty$

Question 3

Le quotient $\dfrac{1+\frac1{x^3}}{1+\frac1x}$ tend vers $1$ (par quotient). Par produit avec $x$ :

✅ $\lim_{x\to+\infty}h=+\infty$

✅ $\lim_{x\to-\infty}h=-\infty$

Question 4

Le numérateur tend vers $1$ et le dénominateur tend vers $\pm\infty$. Par quotient :

✅ $\lim k=0$ en $+\infty$ et en $-\infty$

Règle : degré du numérateur plus petit : limite $0$ ; degrés égaux : quotient des coefficients dominants ; degré du numérateur plus grand : $\pm\infty$ (avec la règle des signes).

Méthode. Dans les quatre cas, on est dans la forme indéterminée « $+\infty-\infty$ ». On multiplie et on divise par la quantité conjuguée (strictement positive dans chaque cas au voisinage de l'infini considéré).

Question 1

Pour tout $x>0$ :

Le dénominateur tend vers $+\infty$, donc, par quotient :

✅ $\lim f=0$

Question 2

Pour tout $x>0$ :

Comme $x>0$, on divise le numérateur et le dénominateur par $x=\sqrt{x^2}$ :

Quand $x\to+\infty$, $\dfrac1x\to0$, donc $\sqrt{1+\frac1x}\to1$ par composition. Par somme et quotient :

✅ $\lim g=\dfrac12$

Question 3

Pour tout $x>0$ :

Le dénominateur tend vers $+\infty$, donc :

✅ $\lim h=0$

Question 4

Pour tout $x<0$ :

Quand $x\to-\infty$, $-x\to+\infty$ et $\sqrt{x^2+1}\to+\infty$, donc par somme le dénominateur tend vers $+\infty$. Par quotient :

✅ $\lim k=0$

À retenir : la conjuguée de $a-b$ est $a+b$, et leur produit vaut $a^2-b^2$. C'est ce qui fait disparaître les racines carrées.

Question 1

Pour tout $x\neq0$ :

En $+\infty$, $x>0$ donc $|x|=x$, et $f(x)=\sqrt{1+\frac1{x^2}}$. Comme $\dfrac1{x^2}\to0$, par composition :

✅ $\lim_{x\to+\infty}f=1$

En $-\infty$, $x<0$ donc $|x|=-x$, et $f(x)=\dfrac{-x\sqrt{1+\frac1{x^2}}}x=-\sqrt{1+\frac1{x^2}}$. Par composition et par produit :

✅ $\lim_{x\to-\infty}f=-1$

Question 2

La fonction $g$ est définie au voisinage de $+\infty$ et de $-\infty$ : $x^2+4x\ge0$ pour $x\ge0$ et pour $x\le-4$. Pour $x$ assez grand en valeur absolue :

En $+\infty$ : $|x|=x$ et

Par composition, le numérateur tend vers $1$, le dénominateur vers $1$. Par quotient :

✅ $\lim_{x\to+\infty}g=1$

En $-\infty$ : $|x|=-x$ et

Par quotient :

✅ $\lim_{x\to-\infty}g=-1$

À retenir : quand on sort un $x$ de sous la racine, on sort $|x|$. En $-\infty$, $|x|=-x$, et le signe de la limite change.

Question 1

La fonction $f$ est définie pour $x\neq0$.

En $+\infty$ : pour $x>0$, on divise le numérateur et le dénominateur par $e^x>0$ :

Comme $e^{-x}\to0$ (composition), le numérateur tend vers $1$ et le dénominateur vers $1$ (non nul). Par quotient :

✅ $\lim_{x\to+\infty}f=1$

En $-\infty$ : $e^x\to0$, donc le numérateur tend vers $1$ et le dénominateur vers $-1$ (non nul). Par quotient :

✅ $\lim_{x\to-\infty}f=-1$

Question 2

En $+\infty$ : $g(x)=\dfrac{2+e^{-x}}{1+3e^{-x}}$. Comme $e^{-x}\to0$, le numérateur tend vers $2$ et le dénominateur vers $1$. Par quotient :

✅ $\lim_{x\to+\infty}g=2$

En $-\infty$ : $e^x\to0$, donc le numérateur tend vers $1$ et le dénominateur vers $3$. Par quotient :

✅ $\lim_{x\to-\infty}g=\dfrac13$

Question 3

En $+\infty$ : $e^{-x}\to0$, donc, par somme :

✅ $\lim_{x\to+\infty}h=3$

En $-\infty$ : $-x\to+\infty$, donc $e^{-x}\to+\infty$ (composition), et par somme :

✅ $\lim_{x\to-\infty}h=-\infty$

Astuce : en $+\infty$, on divise « en haut et en bas » par $e^x$ pour faire apparaître $e^{-x}$, qui tend vers $0$.

Question 1

La fonction $f$ est définie sur $\R$ car $x^2+2>0$. Pour tout $x\neq0$ :

Quand $x\to\pm\infty$, $\dfrac1{x^2}\to0$, donc le numérateur tend vers $3$ et le dénominateur vers $1$. Par quotient :

✅ $\lim f=3$ en $+\infty$ et en $-\infty$

Conséquence : la droite d'équation $y=3$ est asymptote horizontale à la courbe, en $+\infty$ et en $-\infty$.

Question 2

Pour tout $x\in\R$ :

Comme $x^2+2>0$, on a $f(x)-3<0$ pour tout $x$.

✅ La courbe est strictement en dessous de son asymptote.

Question 1

Quand $x\to+\infty$, $-x^2\to-\infty$. Comme $\displaystyle\lim_{y\to-\infty}e^y=0$, par composition :

✅ $\lim e^{-x^2}=0$

Question 2

Quand $x\to+\infty$, $\dfrac1x\to0$, donc $1+\dfrac1x\to1$. Comme $\displaystyle\lim_{y\to1}\sqrt y=1$, par composition :

✅ $\lim\sqrt{1+\frac1x}=1$

Question 3

Quand $x\to-\infty$, $\dfrac1x\to0$. Comme $\displaystyle\lim_{y\to0}e^y=e^0=1$, par composition :

✅ $\lim e^{1/x}=1$

Question 4

Quand $x\to+\infty$, $e^x\to+\infty$, donc $1+e^x\to+\infty$. Par quotient :

✅ $\lim\dfrac1{1+e^x}=0$

Question 1

Pour tout $x$, $f(x)=x(x-3)$. Soit $x\ge1003$. Alors $x\ge1003$ et $x-3\ge1000$, ces nombres étant positifs, donc :

On peut donc prendre $A_0=1003$. Le même raisonnement fonctionne pour n'importe quel seuil : $f(x)$ devient aussi grand qu'on veut.

✅ Donc $\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.

Question 2

Pour $x>0$, $|g(x)-2|=\left|\dfrac1x\right|=\dfrac1x$.

On a $\dfrac1x<10^{-3}\iff x>1000$.

On peut donc prendre $B_0=1001$ : pour tout $x\ge1001$, $|g(x)-2|<10^{-3}$.

Le raisonnement fonctionne pour n'importe quelle précision : $g(x)$ se rapproche de $2$ autant qu'on veut.

✅ Donc $\lim_{x\to+\infty}g(x)=2$.