Fiche 3 : inégalité de Bienaymé-Tchebychev

On a $\mu=E(X)=10$ et $V(X)=4$. D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, pour tout $\delta>0$ : $P\big(|X-\mu|\ge\delta\big)\le\dfrac{V(X)}{\delta^2}$.

Question 1

Avec $\delta=5$ :

$P\big(|X-10|\ge5\big)\le\dfrac4{25}$

✅ $P\big(|X-10|\ge5\big)\le0{,}16$

Question 2

Avec $\delta=4$ : $P\big(|X-10|\ge4\big)\le\dfrac4{16}=0{,}25$. Par événement contraire :

$P\big(|X-10|<4\big)\ge1-0{,}25$

✅ $P\big(|X-10|<4\big)\ge0{,}75$

Question 3

Avec $\delta=1$ : $P\big(|X-10|\ge1\big)\le\dfrac41=4$.

❌ L'inégalité est vraie mais sans intérêt : une probabilité est toujours inférieure ou égale à $1$. Elle n'apprend rien quand $\dfrac{V(X)}{\delta^2}\ge1$.

Question 1

$E(X)=100\times\dfrac12$

✅ $E(X)=50$

$V(X)=100\times\dfrac12\times\dfrac12$

✅ $V(X)=25$

Question 2

D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $\delta=10$ :

$P\big(|X-50|\ge10\big)\le\dfrac{25}{100}$

✅ $P\big(|X-50|\ge10\big)\le0{,}25$

Par événement contraire :

✅ $P(40<X<60)\ge0{,}75$

Question 3

La valeur exacte $0{,}057$ est bien inférieure à la majoration $0{,}25$ : l'inégalité est vraie, mais large. Elle a l'avantage de s'appliquer à toute variable, sans connaître la loi complète.

Question 1

Soit $X_n\sim\mathcal B\left(n\,;\dfrac12\right)$ le nombre de « pile ». $F_n=\dfrac{X_n}n$.

$E(F_n)=\dfrac{np}n$

✅ $E(F_n)=0{,}5$

$V(F_n)=\dfrac{V(X_n)}{n^2}=\dfrac{n\times0{,}5\times0{,}5}{n^2}$

✅ $V(F_n)=\dfrac{0{,}25}n$

Question 2

D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $\delta=0{,}05$ :

$P\big(|F_{400}-0{,}5|\ge0{,}05\big)\le\dfrac{0{,}25/400}{0{,}05^2}=\dfrac{0{,}000625}{0{,}0025}$

✅ $P\big(|F_{400}-0{,}5|\ge0{,}05\big)\le0{,}25$

Question 3

On veut $\dfrac{0{,}25}{n\times0{,}0025}\le0{,}05\iff n\ge\dfrac{0{,}25}{0{,}0025\times0{,}05}=2\,000$.

✅ Il suffit de $n=2\,000$ lancers pour garantir une probabilité d'au plus $0{,}05$ que la fréquence s'écarte de $0{,}5$ d'au moins $0{,}05$.

$X_n\sim\mathcal B(n,p)$ compte les personnes favorables, et $F_n=\dfrac{X_n}n$ vérifie $E(F_n)=p$ et $V(F_n)=\dfrac{p(1-p)}n$.

D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $\delta=0{,}03$ :

$P\big(|F_n-p|\ge0{,}03\big)\le\dfrac{p(1-p)}{n\times0{,}03^2}$

Or $p(1-p)\le\dfrac14$ pour tout $p\in[0\,;1]$. Donc :

$P\big(|F_n-p|\ge0{,}03\big)\le\dfrac1{4n\times0{,}0009}$

On veut ce majorant inférieur ou égal à $0{,}05$ :

$\dfrac1{0{,}0036\,n}\le0{,}05\iff n\ge\dfrac1{0{,}0036\times0{,}05}=\dfrac1{0{,}00018}\approx5\,555{,}6$

✅ Il suffit d'interroger $n=5\,556$ personnes.

Alors $P\big(|F_n-p|<0{,}03\big)\ge0{,}95$ quelle que soit la valeur de $p$.

Question 1

Pour un lancer : $E(X)=\dfrac72$ et $V(X)=\dfrac{35}{12}$.

✅ $E(M_n)=\dfrac72$ et $V(M_n)=\dfrac{V(X)}n=\dfrac{35}{12\,n}$

Question 2

D'après l'inégalité de concentration avec $\delta=0{,}5$ :

$P\big(|M_n-3{,}5|\ge0{,}5\big)\le\dfrac{35/12}{n\times0{,}25}=\dfrac{35}{3n}$

Pour $n=100$ :

✅ $P\big(|M_{100}-3{,}5|\ge0{,}5\big)\le\dfrac{35}{300}\approx0{,}117$

Question 3

$\dfrac{35}{3n}\le0{,}01\iff n\ge\dfrac{35}{0{,}03}\approx1\,166{,}7$

✅ Il suffit de $n=1\,167$ lancers.

Par définition, $V=\displaystyle\sum_{i=1}^rp_i\,(x_i-\mu)^2$, avec des termes tous positifs.

On ne garde que les indices $i$ tels que $|x_i-\mu|\ge\delta$. Pour ces indices, $(x_i-\mu)^2\ge\delta^2$. Comme on retire des termes positifs :

En divisant par $\delta^2>0$ :

✅ $P\big(|X-\mu|\ge\delta\big)\le\dfrac V{\delta^2}$ ∎

Question 1

exacte(400, 0.5, 20) calcule $P\big(|X-200|\ge20\big)$ pour $X\sim\mathcal B(400\,;0{,}5)$. Cela revient à $P\big(|F_{400}-0{,}5|\ge0{,}05\big)$ pour la fréquence.

Avec $V(X)=100$ et $\delta=20$, la borne est :

✅ $\dfrac{100}{400}=0{,}25$ (même valeur que l'exercice 3, question 2)

Question 2

La valeur exacte $\approx0{,}051$ est beaucoup plus petite que la borne $0{,}25$ : l'inégalité est vraie mais très large. Elle reste utile car elle est valable pour toutes les lois et permet de dimensionner un échantillon.

Affirmation 1

C'est une majoration : la probabilité exacte peut être beaucoup plus petite (exercices 2 et 7).

❌ Faux.

Affirmation 2

Une probabilité est toujours inférieure ou égale à $1$ : une majoration par un nombre supérieur ou égal à $1$ est automatiquement vraie.

✅ Vrai.

Affirmation 3

C'est la forme complémentaire de l'inégalité, obtenue avec l'événement contraire.

✅ Vrai.

Affirmation 4

L'inégalité vaut pour toute variable aléatoire d'espérance et de variance connues.

❌ Faux.

Question 1

$E(X_i)=\dfrac12\times1+\dfrac12\times(-1)=0$ et $V(X_i)=E(X_i^2)-0=1$.

Les pas sont indépendants : $E(S)=0$ et $V(S)=100\times1=100$.

✅ $E(S)=0$, $V(S)=100$ et $\sigma(S)=10$.

Question 2

$P(|S-E(S)|\geqslant20)\leqslant\dfrac{V(S)}{20^2}=\dfrac{100}{400}$.

✅ $P(|S|\geqslant20)\leqslant0{,}25$.

Question 3

✅ La simulation affiche une fréquence voisine de $0{,}057$.

Question 4

La majoration $0{,}25$ est vraie mais grossière : elle vaut plus de quatre fois la valeur exacte.

C'est normal : l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev s'applique à toute variable aléatoire, donc elle ne peut pas être précise pour une loi particulière.

Question 1

$E(X)=0{,}3+1{,}4=1{,}7$ et $E(Y)=0+2=2$, donc $E(X)E(Y)=3{,}4$.

$XY$ vaut $0$ (si $Y=0$, probabilité $0{,}5$), $4$ (probabilité $0{,}3\times0{,}5=0{,}15$) ou $8$ (probabilité $0{,}7\times0{,}5=0{,}35$).

$E(XY)=4\times0{,}15+8\times0{,}35=0{,}6+2{,}8=3{,}4$.

✅ $E(XY)=E(X)E(Y)=3{,}4$, comme prévu pour des variables indépendantes.

Question 2

$E(X)=0$ donc $E(X)E(Y)=0$. $XY=X^3$ vaut $-1$, $0$, $1$ : $E(XY)=\dfrac13(-1+0+1)=0$.

Mais $P(X=1\text{ et }Y=0)=0\neq P(X=1)P(Y=0)=\dfrac13\times\dfrac13$.

✅ Les deux nombres sont égaux, mais $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes : la réciproque est fausse.