Fiche 2 : sommes de variables aléatoires et indépendance

Question 1

Comme $X$ et $Y$ sont indépendantes, $P(X=x\text{ et }Y=y)=P(X=x)P(Y=y)$.

$P(S=1)$ : $(X=0,Y=1)$, donc $0{,}5\times0{,}2=0{,}1$.

$P(S=2)$ : $(0{,}2)$ ou $(1{,}1)$, donc $0{,}5\times0{,}5+0{,}5\times0{,}2=0{,}35$.

$P(S=3)$ : $(0{,}3)$ ou $(1{,}2)$, donc $0{,}5\times0{,}3+0{,}5\times0{,}5=0{,}40$.

$P(S=4)$ : $(1{,}3)$, donc $0{,}5\times0{,}3=0{,}15$.

$s_i$	$1$	$2$	$3$	$4$
$P(S=s_i)$	$0{,}1$	$0{,}35$	$0{,}4$	$0{,}15$

La somme des probabilités vaut $1$ ✓.

Question 2

$E(S)=1\times0{,}1+2\times0{,}35+3\times0{,}4+4\times0{,}15=0{,}1+0{,}7+1{,}2+0{,}6$

✅ $E(S)=2{,}6$

$E\left(S^2\right)=1\times0{,}1+4\times0{,}35+9\times0{,}4+16\times0{,}15=0{,}1+1{,}4+3{,}6+2{,}4=7{,}5$

$V(S)=7{,}5-2{,}6^2=7{,}5-6{,}76$

✅ $V(S)=0{,}74$

Question 3

$E(X)=0{,}5$ et $E(Y)=0{,}2+1+0{,}9=2{,}1$. Par linéarité : $E(S)=E(X)+E(Y)=2{,}6$ ✓.

$V(X)=0{,}5\times0{,}5=0{,}25$. $E\left(Y^2\right)=0{,}2+2+2{,}7=4{,}9$ donc $V(Y)=4{,}9-2{,}1^2=0{,}49$.

Par indépendance : $V(S)=V(X)+V(Y)=0{,}25+0{,}49=0{,}74$ ✓.

Soient $X_1$ et $X_2$ les résultats des deux dés. Ils sont indépendants (lancers indépendants), et chacun a pour espérance $\dfrac72$ et pour variance $\dfrac{35}{12}$ (fiche 1).

Par linéarité : $E(S)=E(X_1)+E(X_2)=\dfrac72+\dfrac72$

✅ $E(S)=7$

Par indépendance : $V(S)=V(X_1)+V(X_2)=2\times\dfrac{35}{12}$

✅ $V(S)=\dfrac{35}6\approx5{,}83$

✅ $\sigma(S)=\sqrt{\dfrac{35}6}\approx2{,}42$

Question 1

$X$ compte les succès dans $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Soit $X_i$ la variable qui vaut $1$ si la $i$-ème épreuve est un succès, $0$ sinon.

Les $X_i$ sont de Bernoulli de paramètre $p$, et indépendantes (les épreuves sont indépendantes). Alors :

✅ $X=X_1+X_2+\dots+X_n$

Question 2

$E(X_i)=p$ et $V(X_i)=p(1-p)$. Par linéarité : $E(X)=n\,p$. Par indépendance : $V(X)=n\,p(1-p)$.

✅ $E(X)=np$ et $V(X)=np(1-p)$

Question 3

$E(X)=50\times0{,}2$

✅ $E(X)=10$

$V(X)=50\times0{,}2\times0{,}8$

✅ $V(X)=8$

✅ $\sigma(X)=\sqrt8=2\sqrt2\approx2{,}83$

Question 1

$E(X)=\dfrac12$ et $E(Y)=1-\dfrac12=\dfrac12$. Par linéarité : $E(X+Y)=\dfrac12+\dfrac12=1$.

Directement : $X+Y=X+(1-X)=1$ est constante, donc $E(X+Y)=1$ ✓.

Question 2

$V(X)=\dfrac12\times\dfrac12=\dfrac14$. $V(Y)=V(1-X)=(-1)^2V(X)=\dfrac14$.

$X+Y=1$ est constante : $V(X+Y)=0$.

✅ $V(X+Y)=0\neq V(X)+V(Y)=\dfrac12$

Explication : $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes ($Y$ est déterminée par $X$).

L'égalité $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$ n'est valable que pour des variables indépendantes.

L'espérance, elle, s'additionne toujours.

Question 1

On répète $100$ fois, de façon identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli de paramètre $\dfrac12$.

✅ $X$ suit $\mathcal B\left(100\,;\dfrac12\right)$.

$E(X)=100\times\dfrac12=50$, $V(X)=100\times\dfrac12\times\dfrac12=25$, $\sigma(X)=5$.

Question 2

$F=\dfrac1{100}X$ est une transformation linéaire de $X$.

$E(F)=\dfrac1{100}E(X)$

✅ $E(F)=0{,}5$

$V(F)=\left(\dfrac1{100}\right)^2V(X)=\dfrac{25}{10\,000}$

✅ $V(F)=0{,}0025$

✅ $\sigma(F)=0{,}05$

Question 3

La fréquence de « pile » est en moyenne $0{,}5$, avec un écart typique de $0{,}05$ : sur $100$ lancers, la fréquence observée est le plus souvent comprise entre $0{,}45$ et $0{,}55$.

On a $\sigma(M_n)=\dfrac{\sigma}{\sqrt n}$.

Question 1

$\sigma(M_{25})=\dfrac3{\sqrt{25}}=\dfrac35$

✅ $\sigma(M_{25})=0{,}6$

Question 2

$\dfrac3{\sqrt n}=0{,}3\iff\sqrt n=10\iff n=100$

✅ Il faut $n=100$.

À retenir : pour diviser l'écart-type de la moyenne par $2$, il faut multiplier la taille de l'échantillon par $4$ (ici de $25$ à $100$).

Méthode

On calcule les lois marginales (sommes des lignes et des colonnes), puis on compare $P(X=x,Y=y)$ à $P(X=x)P(Y=y)$ pour les quatre cases.

Loi A

$P(X=0)=0{,}6$, $P(X=1)=0{,}4$, $P(Y=0)=0{,}5$, $P(Y=1)=0{,}5$.

$P(X=0)P(Y=0)=0{,}3=P(X=0,Y=0)$ ✓

$P(X=0)P(Y=1)=0{,}3=P(X=0,Y=1)$ ✓

$P(X=1)P(Y=0)=0{,}2=P(X=1,Y=0)$ ✓

$P(X=1)P(Y=1)=0{,}2=P(X=1,Y=1)$ ✓

✅ Loi A : $X$ et $Y$ sont indépendantes.

Loi B

$P(X=0)=0{,}6$ et $P(Y=0)=0{,}5$, donc $P(X=0)P(Y=0)=0{,}3$. Or $P(X=0,Y=0)=0{,}4\neq0{,}3$.

❌ Loi B : $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes.

Affirmation 1

C'est la linéarité de l'espérance, valable sans hypothèse d'indépendance.

✅ Vrai.

Affirmation 2

Pour des variables indépendantes, $V(X-Y)=V(X)+V(-Y)=V(X)+(-1)^2V(Y)=V(X)+V(Y)$.

❌ Faux.

Affirmation 3

Ce sont les variances qui s'additionnent, pas les écarts-types. Contre-exemple : deux dés, $\sigma(S)=\sqrt{\dfrac{35}6}\approx2{,}42$ alors que $\sigma(X_1)+\sigma(X_2)\approx3{,}42$.

❌ Faux.

Affirmation 4

$V(M_n)=\dfrac1{n^2}V(S_n)=\dfrac1{n^2}\times n\,V(X)=\dfrac{V(X)}n$.

✅ Vrai.