Guide de rédaction : succession d'épreuves et loi binomiale

🎯 Le principe du chapitre

En probabilités, un correcteur regarde surtout cinq choses :

• les événements définis par des lettres, avec les données de l'énoncé traduites ;
• la formule citée (composées, totales, conditionnelle, loi binomiale) ;
• l'indépendance justifiée (tirage avec remise, énoncé, épreuves distinctes) ;
• la loi binomiale justifiée avec $n$, $p$ et le succès ;
• la conclusion en contexte avec la valeur exacte ou approchée.

Situation 1 : traduire l'énoncé.

« On note $M$ l'événement « la personne est malade » et $T$ l'événement « le test est positif ». D'après l'énoncé, $P(M)=0{,}02$, $P_M(T)=0{,}95$ et $P_{\overline M}\left(\overline T\right)=0{,}90$, donc $P_{\overline M}(T)=0{,}10$. »

💡 Définis tes événements avant tout calcul. « Sachant que » signale une probabilité conditionnelle.

Situation 2 : probabilités composées.

« D'après la formule des probabilités composées, $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)=0{,}4\times0{,}7=0{,}28$. »

Situation 3 : formule des probabilités totales.

« $\left(M,\overline M\right)$ est une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales, $P(T)=P(M)P_M(T)+P\left(\overline M\right)P_{\overline M}(T)=0{,}02\times0{,}95+0{,}98\times0{,}10=0{,}117$. »

⚠️ Vérifie que les événements forment une partition (incompatibles, réunion égale à $\Omega$) et n'oublie aucun chemin.

Situation 4 : inverser le conditionnement.

« $P_T(M)=\dfrac{P(M\cap T)}{P(T)}=\dfrac{0{,}019}{0{,}117}=\dfrac{19}{117}\approx0{,}162$. »

💡 Numérateur : un chemin de l'arbre. Dénominateur : tous les chemins qui mènent à l'événement conditionnant.

Situation 5 : tester l'indépendance.

« $P(A\cap B)=0{,}5+0{,}4-0{,}7=0{,}2$ et $P(A)P(B)=0{,}5\times0{,}4=0{,}2$. Donc $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ : les événements $A$ et $B$ sont indépendants. »

Sinon : « $P(C\cap D)=0{,}05\neq0{,}15=P(C)P(D)$ : les événements ne sont pas indépendants. »

Situation 6 : justifier l'indépendance de tirages.

« Le tirage est avec remise : la composition de l'urne est la même à chaque tirage. Les tirages sont donc identiques et indépendants, avec $P(R)=0{,}4$ à chaque tirage. »

⚠️ Sans remise, les tirages ne sont pas indépendants.

Situation 7 : une succession d'épreuves indépendantes.

« Les lancers sont indépendants, avec $P(\text{P})=0{,}3$ et $P(\text{F})=0{,}7$. Donc $P(\text{PPF})=0{,}3\times0{,}3\times0{,}7=0{,}063$. Les trois suites contenant deux piles ont la même probabilité, donc $P(\text{exactement deux piles})=3\times0{,}063=0{,}189$. »

💡 Multiplie le long d'un chemin, compte les chemins.

Situation 8 : « au moins un ».

« L'événement contraire de « au moins une boule rouge » est « aucune boule rouge », de probabilité $0{,}6^3=0{,}216$. Donc $P(\text{au moins une rouge})=1-0{,}216=0{,}784$. »

Situation 9 : justifier une loi binomiale.

« On répète $10$ fois, de façon identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli de paramètre $p=0{,}3$ (succès : « la pièce est défectueuse »).

Soit $X$ le nombre de succès.

Donc $X$ suit la loi binomiale $\mathcal B(10\,;0{,}3)$. »

⚠️ Les quatre éléments : répétition identique, indépendance, succès défini, paramètres $n$ et $p$.

Situation 10 : calculer $P(X=k)$.

« Pour tout $k$ entier de $0$ à $10$, $P(X=k)=\dbinom{10}k\,0{,}3^k\,0{,}7^{10-k}$. Donc $P(X=3)=\dbinom{10}3\times0{,}3^3\times0{,}7^7\approx0{,}267$. »

Situation 11 : $P(X\le k)$ et $P(X\ge k)$.

« $P(X\le2)$ se calcule avec la fonction de répartition de la calculatrice : $\approx0{,}383$. $P(X\ge3)=1-P(X\le2)\approx0{,}617$. »

⚠️ $P(X\ge k)=1-P(X\le\mathbf{k-1})$. Écris l'événement contraire.

Situation 12 : espérance, variance, écart-type.

« $X$ suit $\mathcal B(20\,;0{,}038)$, donc $E(X)=np=0{,}76$, $V(X)=np(1-p)\approx0{,}731$ et $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}\approx0{,}855$. Interprétation : sur $20$ pièces, on observe en moyenne $0{,}76$ pièce défectueuse. »

Situation 13 : un seuil avec les logarithmes.

« $1-0{,}962^n\ge0{,}95\iff0{,}962^n\le0{,}05\iff n\ln0{,}962\le\ln0{,}05$. Comme $\ln0{,}962<0$, on divise en renversant l'inégalité : $n\ge\dfrac{\ln0{,}05}{\ln0{,}962}\approx77{,}3$. Donc $n\ge78$. »

⚠️ Renverse l'inégalité et arrondis à l'entier supérieur.

Situation 14 : arbre et loi binomiale mêlés (choix préalable).

« Sachant $U_2$, on répète $4$ fois, de façon identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli de paramètre $0{,}75$ : $Y$ suit $\mathcal B(4\,;0{,}75)$ conditionnellement à $U_2$. $\left(U_1,U_2\right)$ est une partition : $P(Y=3)=P(U_1)P_{U_1}(Y=3)+P(U_2)P_{U_2}(Y=3)=\dfrac{15}{64}$. Donc $P_{(Y=3)}(U_2)=\dfrac{27/128}{15/64}=\dfrac9{10}$. »

💡 La loi binomiale est conditionnelle au choix préalable ; on combine avec les probabilités totales.

a) Une loi binomiale.

❌ « $X$ suit une loi binomiale, donc $P(X=3)=\dbinom{10}3\times0{,}3^3\times0{,}7^7$. »

✅ « On répète $10$ fois, de façon identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli de succès « la pièce est défectueuse », $p=0{,}3$. Donc $X\sim\mathcal B(10\,;0{,}3)$ et $P(X=3)=\dbinom{10}3\,0{,}3^3\,0{,}7^7\approx0{,}267$. »

b) Un seuil.

❌ « $0{,}95^n\le0{,}1$ donc $n\le\dfrac{\ln0{,}1}{\ln0{,}95}$, soit $n\le44$. »

✅ « $0{,}95^n\le0{,}1\iff n\ln0{,}95\le\ln0{,}1\iff n\ge\dfrac{\ln0{,}1}{\ln0{,}95}\approx44{,}9$, car $\ln0{,}95<0$. Donc $n\ge45$. »

La première n'a pas renversé l'inégalité.

c) Une probabilité conditionnelle.

❌ « $P(T\mid M)=\dfrac{P(M)}{P(T)}$. »

✅ « $P_T(M)=\dfrac{P(M\cap T)}{P(T)}$ avec $P(M\cap T)=P(M)P_M(T)$. »

d) L'indépendance.

❌ « Les événements sont incompatibles, donc indépendants. »

✅ « $P(E\cap F)=0\neq0{,}15=P(E)P(F)$ : les événements $E$ et $F$ ne sont pas indépendants. »

• J'ai défini les événements et traduit les données de l'énoncé.
• J'ai cité la formule utilisée (composées, totales, conditionnelle).
• J'ai vérifié qu'il s'agit bien d'une partition et pris tous les chemins.
• J'ai justifié l'indépendance (avec remise, énoncé).
• Pour une loi binomiale, j'ai écrit identique, indépendant, succès, $n$, $p$.
• Pour « au moins un » et $P(X\ge k)$, j'ai écrit l'événement contraire avec le bon indice.
• Pour un seuil, j'ai renversé l'inégalité et arrondi à l'entier supérieur.
• Ma conclusion est en contexte, avec la valeur exacte ou approchée.

😄 Une probabilité supérieure à $1$, ça n'existe pas. Si tu en trouves une, c'est que tu as oublié un « $1-$ » quelque part, ou que tu joues au loto avec un budget infini.