Fiche 4 : problèmes classiques avec la loi binomiale

Question 1

Soit $X$ le nombre de pièces défectueuses parmi les $n$ : $X$ suit $\mathcal B(n\,;0{,}05)$ (épreuves identiques et indépendantes).

$q_n=P(X\ge1)=1-P(X=0)$

✅ $q_n=1-0{,}95^n$

Question 2

Le sens de l'inégalité est renversé car $\ln0{,}95<0$.

$\dfrac{\ln0{,}1}{\ln0{,}95}\approx44{,}9$

✅ Il faut contrôler au moins $45$ pièces.

Vérification : $1-0{,}95^{44}\approx0{,}8953<0{,}9$ et $1-0{,}95^{45}\approx0{,}9006\ge0{,}9$ ✓

Question 1

On répète $52$ fois, de façon identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli de succès « le passager se présente », de probabilité $0{,}9$.

✅ $X$ suit $\mathcal B(52\,;0{,}9)$.

Question 2

Au moins un passager ne peut pas embarquer si $X\ge51$.

$P(X\ge51)=P(X=51)+P(X=52)=52\times0{,}9^{51}\times0{,}1+0{,}9^{52}$

$P(X=51)\approx0{,}0241$ et $P(X=52)\approx0{,}0042$.

✅ $P(X\ge51)\approx0{,}0283$

Question 3

$E(X)=52\times0{,}9$

✅ $E(X)=46{,}8$

Interprétation : en moyenne $46{,}8$ passagers se présentent, et le risque de refuser l'embarquement est d'environ $2{,}8\,\%$.

On note $T$ : « la pièce est truquée » et $E$ : « la pièce est équilibrée ». $P(T)=P(E)=\dfrac12$.

Question 1

Sachant $T$, les trois lancers sont indépendants avec $P(\text{pile})=0{,}8$ : $P_T(A)=0{,}8^3=0{,}512$.

Sachant $E$ : $P_E(A)=0{,}5^3=0{,}125$.

$(T,E)$ est une partition. D'après la formule des probabilités totales :

$P(A)=\dfrac12\times0{,}512+\dfrac12\times0{,}125=0{,}256+0{,}0625$

✅ $P(A)=0{,}3185$

Question 2

$P_A(T)=\dfrac{P(T\cap A)}{P(A)}=\dfrac{0{,}256}{0{,}3185}$

✅ $P_A(T)=\dfrac{512}{637}\approx0{,}804$

Interprétation : trois piles de suite rendent la pièce truquée environ quatre fois plus vraisemblable que la pièce équilibrée.

Soit $X$ le nombre de pièces défectueuses dans l'échantillon. $X$ suit $\mathcal B(50\,;p)$. Le lot est accepté si $X\le2$.

Question 1

Pour $p=0{,}04$ :

$P(X=0)=0{,}96^{50}\approx0{,}1299$

$P(X=1)=50\times0{,}04\times0{,}96^{49}\approx0{,}2706$

$P(X=2)=1\,225\times0{,}04^2\times0{,}96^{48}\approx0{,}2762$

✅ $P(X\le2)\approx0{,}677$

Question 2

Pour $p=0{,}10$, avec la calculatrice :

✅ $P(X\le2)\approx0{,}112$

Question 3

Un lot à $4\,\%$ de défectueuses est accepté dans environ $68\,\%$ des cas, un lot à $10\,\%$ dans environ $11\,\%$ des cas. La règle discrimine bien les lots, mais elle refuse aussi environ un lot sur trois parmi les bons lots (à $4\,\%$).

Question 1

La boucle while augmente $n$ tant que $1-(1-p)^n<a$. Elle s'arrête au premier entier $n$ tel que $1-(1-p)^n\ge a$.

✅ seuil(0.05, 0.9) renvoie le plus petit $n$ tel que $P(X\ge1)\ge0{,}9$ pour $X\sim\mathcal B(n\,;0{,}05)$, soit $45$ (exercice 1).

Question 2

Par la méthode des logarithmes : $n\ge\dfrac{\ln0{,}01}{\ln0{,}98}\approx227{,}9$.

✅ Le plus petit entier est $228$ : seuil(0.02, 0.99) renvoie 228.

Vérification : $1-0{,}98^{227}\approx0{,}9898<0{,}99$ et $1-0{,}98^{228}\approx0{,}9900\ge0{,}99$ ✓

Affirmation 1

$P(X\ge1)=1-0{,}95^n$ est une fonction croissante de $n$, car $0{,}95^n$ décroît.

✅ Vrai.

Affirmation 2

Contre-exemple : pour $p=0{,}05$, $n=45$ donne $0{,}9006$ ; $n=90$ donne $1-0{,}95^{90}\approx0{,}990$, pas $1{,}8$. Une probabilité ne dépasse jamais $1$.

❌ Faux.

Affirmation 3

La probabilité de « pile » dépend de la pièce choisie : le nombre de piles suit une loi binomiale conditionnellement à la pièce, mais pas globalement (la loi globale est un mélange de deux lois binomiales).

❌ Faux.