Fiche 3 : la loi binomiale

Cas a

On répète $10$ fois, de façon identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli de succès « obtenir $6$ », de probabilité $\dfrac16$.

✅ $X$ suit $\mathcal B\left(10\,;\dfrac16\right)$.

Cas b

Le tirage est simultané, donc sans remise : les tirages successifs ne sont pas indépendants.

❌ $X$ ne suit pas une loi binomiale. (Elle suit une loi hypergéométrique, hors programme.)

Cas c

Chacune des $20$ questions est une épreuve de Bernoulli indépendante, de succès « bonne réponse », de probabilité $\dfrac14$.

✅ $X$ suit $\mathcal B(20\,;0{,}25)$.

Cas d

Le nombre d'épreuves n'est pas fixé à l'avance : $X$ est un rang, pas un nombre de succès.

❌ $X$ ne suit pas une loi binomiale (c'est le rang du premier succès).

Question 1

$P(X=k)=\dbinom5k\,0{,}4^k\,0{,}6^{5-k}$.

$P(X=0)=0{,}6^5=0{,}07776$

$P(X=1)=5\times0{,}4\times0{,}6^4=0{,}2592$

$P(X=2)=10\times0{,}4^2\times0{,}6^3=0{,}3456$

$P(X=3)=10\times0{,}4^3\times0{,}6^2=0{,}2304$

$P(X=4)=5\times0{,}4^4\times0{,}6=0{,}0768$

$P(X=5)=0{,}4^5=0{,}01024$

La somme est $0{,}07776+0{,}2592+0{,}3456+0{,}2304+0{,}0768+0{,}01024=1$ ✓

Question 2

$E(X)=np=5\times0{,}4$

✅ $E(X)=2$

$V(X)=np(1-p)=5\times0{,}4\times0{,}6$

✅ $V(X)=1{,}2$

✅ $\sigma(X)=\sqrt{1{,}2}\approx1{,}095$

Question 3

$P(X\ge3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=0{,}2304+0{,}0768+0{,}01024$

✅ $P(X\ge3)=0{,}31744$

Question 1

On répète $10$ fois, de façon identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli de succès « la pièce est défectueuse », de probabilité $0{,}3$.

✅ $X$ suit la loi binomiale $\mathcal B(10\,;0{,}3)$.

Question 2

$P(X=3)=\dbinom{10}3\times0{,}3^3\times0{,}7^7=120\times0{,}027\times0{,}0823543$

✅ $P(X=3)\approx0{,}267$

Question 3

$P(X\le2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)$

$P(X=0)=0{,}7^{10}\approx0{,}0282$, $P(X=1)=10\times0{,}3\times0{,}7^9\approx0{,}1211$, $P(X=2)=45\times0{,}3^2\times0{,}7^8\approx0{,}2335$

✅ $P(X\le2)\approx0{,}383$

(Avec la calculatrice : fonction de répartition binomiale.)

Question 4

$P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-0{,}7^{10}$

✅ $P(X\ge1)\approx0{,}972$

Question 1

Les $20$ réponses sont indépendantes, avec la probabilité de succès $0{,}25$.

✅ $X$ suit $\mathcal B(20\,;0{,}25)$.

Question 2

$E(X)=20\times0{,}25$

✅ $E(X)=5$

$V(X)=20\times0{,}25\times0{,}75=3{,}75$

✅ $\sigma(X)=\sqrt{3{,}75}\approx1{,}94$

Question 3

$P(X=10)=\dbinom{20}{10}\times0{,}25^{10}\times0{,}75^{10}$

✅ $P(X=10)\approx0{,}0099$

$P(X\ge10)=1-P(X\le9)$

✅ $P(X\ge10)\approx0{,}0139$

Commentaire : en répondant au hasard, l'élève a environ $1{,}4\,\%$ de chances d'obtenir la moyenne ou plus. La note attendue est $5$ bonnes réponses sur $20$.

Question 1

Or $\dfrac{\dbinom n{k+1}}{\dbinom nk}=\dfrac{n!}{(k+1)!\,(n-k-1)!}\times\dfrac{k!\,(n-k)!}{n!}=\dfrac{n-k}{k+1}$.

✅ $\dfrac{P(X=k+1)}{P(X=k)}=\dfrac{(n-k)\,p}{(k+1)(1-p)}$

Question 2

Comme toutes les probabilités sont strictement positives, $P(X=k+1)>P(X=k)$ équivaut à un rapport supérieur à $1$ :

$(n-k)\,p>(k+1)(1-p)\iff np-kp>k+1-kp-p\iff(n+1)p>k+1$

✅ $P(X=k+1)>P(X=k)\iff k+1<(n+1)p$

Question 3

Pour $n=10$ et $p=0{,}3$ : $(n+1)p=3{,}3$. La suite $P(X=k)$ croît tant que $k+1<3{,}3$, c'est-à-dire pour $k=0{,}1{,}2$, puis décroît.

Donc $P(X=3)$ est la plus grande probabilité.

✅ La valeur la plus probable est $3$ ($P(X=3)\approx0{,}267$).

Question 1

$X$ suit $\mathcal B(10\,;0{,}6)$. Il y a $X$ piles et $10-X$ faces :

✅ $G=3X-2(10-X)=5X-20$

Question 2

$E(X)=10\times0{,}6=6$ et $V(X)=10\times0{,}6\times0{,}4=2{,}4$.

$E(G)=5E(X)-20=30-20$

✅ $E(G)=10$

$V(G)=5^2\,V(X)=25\times2{,}4$

✅ $V(G)=60$

✅ $\sigma(G)=\sqrt{60}\approx7{,}75$

Interprétation : en moyenne, le joueur gagne $10$ € sur $10$ lancers, avec un écart-type d'environ $7{,}75$ €.

Question 1

binomiale(5, 0.4, 2) renvoie 0.3456 : c'est $P(X=2)$ de l'exercice 2.

repartition(10, 0.3, 2) renvoie environ 0.3828 : c'est $P(X\le2)$ de l'exercice 3.

✅ Les valeurs coïncident avec les calculs.

Question 2

def loi(n, p):
    return [binomiale(n, p, k) for k in range(n + 1)]

L = loi(20, 0.25)
print(abs(sum(L) - 1) < 1e-12)

Le script affiche True : la somme des probabilités est $\left(0{,}25+0{,}75\right)^{20}=1$ (formule du binôme), aux erreurs d'arrondi près.

Affirmation 1

$P(X=0)=\dbinom n0\,p^0(1-p)^n=(1-p)^n$.

✅ Vrai.

Affirmation 2

Contre-exemple : $n=5$ et $p=0{,}4$ donnent $E(X)=2$, mais avec $p=0{,}3$, $E(X)=1{,}5$.

❌ Faux.

Affirmation 3

$n-X$ est le nombre d'échecs, chaque épreuve étant un échec avec la probabilité $1-p$.

✅ Vrai.

Affirmation 4

$1-P(X\le k)=P(X>k)=P(X\ge k+1)$, différent de $P(X\ge k)$.

❌ Faux. Il faut $P(X\ge k)=1-P(X\le k-1)$.

Affirmation 5

$P(X=n-k)=\dbinom n{n-k}\left(\dfrac12\right)^{n-k}\left(\dfrac12\right)^k=\dbinom nk\left(\dfrac12\right)^n=P(X=k)$.

✅ Vrai.

Question 1

Dix épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, de probabilité de succès « droite » égale à $\dfrac12$.

✅ $K$ suit la loi binomiale $\mathcal B\left(10\,;\,\dfrac12\right)$.

Question 2

$P(K=k)=\dbinom{10}k\dfrac1{2^{10}}=\dfrac{\binom{10}k}{1024}$.

$P(K=5)=\dfrac{252}{1024}\approx0{,}246$.

$P(4\leqslant K\leqslant6)=\dfrac{210+252+210}{1024}=\dfrac{672}{1024}\approx0{,}656$.

✅ $P(K=5)\approx0{,}246$ et $P(4\leqslant K\leqslant6)\approx0{,}656$.

Question 3

$E(K)=np=10\times\dfrac12=5$.

✅ L'histogramme est symétrique autour de $5$ et en forme de cloche : les billes se concentrent au centre.