Fiche 1 : produit scalaire, norme et angles

Question 1

Dans un repère orthonormé, $\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'+zz'$.

$\vec u\cdot\vec v=1\times4+2\times(-1)+3\times0=4-2+0$

✅ $\vec u\cdot\vec v=2$

Question 2

$\|\vec a\|=\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{4+1+4}=\sqrt9$

✅ $\|\vec a\|=3$

$\|\vec u\|=\sqrt{1+4+9}$

✅ $\|\vec u\|=\sqrt{14}$

Question 3

$\vec p\cdot\vec q=1\times2+(-2)\times1+3\times0=2-2+0=0$

✅ Les vecteurs $\vec p$ et $\vec q$ sont orthogonaux.

Question 4

$\vec u\cdot\vec v=m\times1+2\times(-3)+1\times4=m-6+4=m-2$

Les vecteurs sont orthogonaux si et seulement si $m-2=0$.

✅ $m=2$

Méthode

$\cos\theta=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}$ avec $\theta\in[0\,;\pi]$.

Question 1

$\vec u\cdot\vec v=1\times0+1\times1+0\times1=1$

$\|\vec u\|=\sqrt{1+1+0}=\sqrt2$ et $\|\vec v\|=\sqrt{0+1+1}=\sqrt2$

$\cos\theta=\dfrac1{\sqrt2\times\sqrt2}=\dfrac12$

✅ $\theta=\dfrac\pi3$, soit $60^\circ$

Question 2

$\vec a\cdot\vec b=1\times2+2\times(-3)+2\times6=2-6+12=8$

$\|\vec a\|=\sqrt{1+4+4}=3$ et $\|\vec b\|=\sqrt{4+9+36}=\sqrt{49}=7$

$\cos\theta=\dfrac8{3\times7}=\dfrac8{21}$

✅ $\theta=\arccos\dfrac8{21}\approx67{,}6^\circ$

Question 1

$\overrightarrow{AB}(2\,;-1\,;-1)$, $\overrightarrow{AC}(1\,;2\,;1)$, $\overrightarrow{BC}(-1\,;3\,;2)$.

$AB=\sqrt{4+1+1}$

✅ $AB=\sqrt6$

$AC=\sqrt{1+4+1}$

✅ $AC=\sqrt6$

$BC=\sqrt{1+9+4}$

✅ $BC=\sqrt{14}$

Question 2

$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2\times1+(-1)\times2+(-1)\times1=2-2-1$

✅ $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-1$

$\cos\widehat{BAC}=\dfrac{-1}{\sqrt6\times\sqrt6}=-\dfrac16$

✅ $\widehat{BAC}\approx99{,}6^\circ$

Contrôle : $BC^2=AB^2+AC^2-2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=6+6+2=14$ ✓

Question 3

$AB=AC$ : le triangle est isocèle en $A$.

De plus $BC^2=14>12=AB^2+AC^2$ : le plus grand côté est $[BC]$ et il n'y a pas égalité dans la relation de Pythagore.

Le produit scalaire $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-1$ est négatif : l'angle en $A$ est obtus.

Les angles en $B$ et en $C$ sont donc aigus, et aucun angle n'est droit.

✅ $ABC$ est isocèle en $A$, avec un angle obtus en $A$ : il n'est pas rectangle.

Coordonnées : $A(0\,;0\,;0)$, $B(1\,;0\,;0)$, $D(0\,;1\,;0)$, $E(0\,;0\,;1)$, $F(1\,;0\,;1)$, $G(1\,;1\,;1)$, $H(0\,;1\,;1)$.

Question 1

$\overrightarrow{AG}(1\,;1\,;1)$ et $\overrightarrow{AB}(1\,;0\,;0)$. $\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{AB}=1$. $\|\overrightarrow{AG}\|=\sqrt3$ et $\|\overrightarrow{AB}\|=1$.

$\cos\theta=\dfrac1{\sqrt3}$

✅ $\theta\approx54{,}7^\circ$

Question 2

$\overrightarrow{AF}(1\,;0\,;1)$ et $\overrightarrow{AH}(0\,;1\,;1)$. $\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{AH}=0+0+1=1$. $\|\overrightarrow{AF}\|=\|\overrightarrow{AH}\|=\sqrt2$.

$\cos\widehat{FAH}=\dfrac1{\sqrt2\times\sqrt2}=\dfrac12$

✅ $\widehat{FAH}=60^\circ$

(Le triangle $AFH$ est équilatéral : ses côtés sont des diagonales de faces.)

Question 3

$\overrightarrow{BD}(-1\,;1\,;0)$ et $\overrightarrow{BE}(-1\,;0\,;1)$.

$\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{BD}=-1+1+0=0$

$\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{BE}=-1+0+1=0$

✅ $(AG)$ est orthogonale à $(BD)$ et à $(BE)$.

Les droites $(BD)$ et $(BE)$ sont sécantes en $B$ et contenues dans le plan $(BDE)$.

✅ $(AG)$ est orthogonale au plan $(BDE)$, et $\overrightarrow{AG}$ est un vecteur normal à ce plan.

Méthode

On développe avec la bilinéarité : $\|\vec a+\vec b\|^2=\|\vec a\|^2+2\,\vec a\cdot\vec b+\|\vec b\|^2$.

$\|\vec u+\vec v\|^2=\|\vec u\|^2+2\,\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2=4-2+9$

✅ $\|\vec u+\vec v\|^2=11$

$\|\vec u-\vec v\|^2=\|\vec u\|^2-2\,\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2=4+2+9$

✅ $\|\vec u-\vec v\|^2=15$

$(\vec u+\vec v)\cdot(\vec u-\vec v)=\|\vec u\|^2-\|\vec v\|^2=4-9$

✅ $(\vec u+\vec v)\cdot(\vec u-\vec v)=-5$

$\|2\vec u-\vec v\|^2=4\|\vec u\|^2-4\,\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2=16+4+9$

✅ $\|2\vec u-\vec v\|^2=29$

L'angle. $\cos\theta=\dfrac{-1}{2\times3}=-\dfrac16$

✅ $\theta\approx99{,}6^\circ$

Contrôle : $\|\vec u+\vec v\|^2+\|\vec u-\vec v\|^2=26=2\left(\|\vec u\|^2+\|\vec v\|^2\right)=2\times13$ ✓ (identité du parallélogramme)

Question 1

Les faces sont des triangles équilatéraux : $\widehat{BAC}=\widehat{BAD}=60^\circ$.

$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times\cos60^\circ=a\times a\times\dfrac12$

✅ $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac{a^2}2$

De même :

✅ $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=\dfrac{a^2}2$

Question 2

D'après Chasles, $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}$. Donc, par bilinéarité :

$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac{a^2}2-\dfrac{a^2}2$

✅ $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=0$

Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont orthogonaux.

✅ Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont orthogonales.

Elles ne sont pas coplanaires (les sommets du tétraèdre ne le sont pas) : elles sont orthogonales sans être sécantes. Le même raisonnement vaut pour les autres couples d'arêtes opposées.

Question 1

Le projeté orthogonal de $G$ sur $(AB)$ est $B$ : en effet $\overrightarrow{BG}(0\,;1\,;1)$ est orthogonal à $\overrightarrow{AB}(1\,;0\,;0)$. Donc :

$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}=AB^2$

✅ $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AG}=1$

Question 2

Le projeté orthogonal de $G$ sur $(AC)$ est $C$ : en effet $\overrightarrow{CG}(0\,;0\,;1)$ est orthogonal à $\overrightarrow{AC}(1\,;1\,;0)$. Donc :

$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AC}=AC^2=2$

✅ $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AG}=2$

Question 3

$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AG}=1\times1+0\times1+0\times1=1$ ✓

$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AG}=1\times1+1\times1+0\times1=2$ ✓

Affirmation 1

Contre-exemple : $\vec u(1\,;0\,;0)$, $\vec v(0\,;1\,;0)$, $\vec w(0\,;0\,;1)$. $\vec u\cdot\vec v=0=\vec u\cdot\vec w$ mais $\vec v\neq\vec w$.

❌ Faux. On ne « simplifie » pas un produit scalaire.

Affirmation 2

Par bilinéarité : $(\vec u+\vec v)\cdot(\vec u-\vec v)=\vec u\cdot\vec u-\vec u\cdot\vec v+\vec v\cdot\vec u-\vec v\cdot\vec v=\|\vec u\|^2-\|\vec v\|^2$.

✅ Vrai.

Affirmation 3

Contre-exemple : $(AB)$ et $(CG)$ dans un cube sont orthogonales et non coplanaires.

❌ Faux.

Affirmation 4

Contre-exemple : $\vec i\cdot\vec j=0$ avec $\vec i\neq\vec0$ et $\vec j\neq\vec0$.

❌ Faux.

Affirmation 5

Contre-exemple : $\vec u=\vec i$ et $\vec v=\vec j$ : $\|\vec i+\vec j\|=\sqrt2\neq2$. L'égalité n'a lieu que si les vecteurs sont colinéaires de même sens.

❌ Faux.