Terminale Spé Maths / Chapitre 10 : Vecteurs, droites et plans de l'espace

Vecteurs, droites et plans de l'espace : le cours

La géométrie dans l'espace, c'est la géométrie plane… avec une dimension en plus, et la difficulté de faire un dessin lisible. Heureusement, les vecteurs et les coordonnées remplacent le dessin : un calcul ne se trompe pas de perspective.

Ce chapitre répond à des questions très classiques du bac :

• ces trois points sont-ils alignés ?
• ces quatre points sont-ils dans un même plan ?
• ces deux droites se coupent-elles ?
• cette droite est-elle parallèle à ce plan ?

Dans tout le cours, tu verras des astuces 💡, des pièges ⚠️ et un peu d'humour 😄.

1. Les vecteurs de l'espace

Les vecteurs de l'espace se manipulent exactement comme dans le plan.

• Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est associé à la translation qui transforme $A$ en $B$.
• Relation de Chasles : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.
• $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ si et seulement si $ABDC$ est un parallélogramme (éventuellement aplati).
• $I$ est le milieu de $[AB]$ si et seulement si $\overrightarrow{AI}=\dfrac12\overrightarrow{AB}$.
• On peut additionner deux vecteurs, multiplier un vecteur par un réel, et les règles de calcul sont les mêmes qu'en seconde.

Dans un parallélépipède $ABCDEFGH$ (dont le cube), on a :

2. Colinéarité, droites de l'espace

Deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires si l'un est un multiple de l'autre. Si $\vec v\neq\vec0$ :

Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.

• Points alignés : $A$, $B$, $C$ sont alignés $\iff$ $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
• Droite : la droite passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec u\neq\vec0$ est l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}=t\,\vec u$, avec $t\in\R$.
• Droites parallèles : deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

3. Plans de l'espace

Soit $A$ un point, et $\vec u$, $\vec v$ deux vecteurs non colinéaires. L'ensemble des points $M$ tels que :

est un plan, noté $(A\,;\vec u,\vec v)$. On dit que $(\vec u,\vec v)$ est une base de ce plan.

• Trois points non alignés $A$, $B$, $C$ définissent un plan $(ABC)=(A\,;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$.
• Plans parallèles : deux plans sont parallèles si et seulement si leurs bases engendrent les mêmes vecteurs, c'est-à-dire si les vecteurs de l'un s'écrivent comme combinaisons linéaires de ceux de l'autre.

4. Coplanarité et base de l'espace

Trois vecteurs $\vec u$, $\vec v$, $\vec w$ sont coplanaires si, en les représentant avec la même origine $O$ par $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$, les points $O$, $A$, $B$, $C$ sont dans un même plan.

Base de l'espace. Trois vecteurs non coplanaires $(\vec i,\vec j,\vec k)$ forment une base de l'espace. Tout vecteur $\vec w$ s'écrit alors de manière unique :

Les réels $(x\,;y\,;z)$ sont les coordonnées de $\vec w$ dans cette base. Dans un tétraèdre $ABCD$ (quatre points non coplanaires), $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right)$ est une base de l'espace.

5. Repère et coordonnées

Un repère de l'espace est $(O\,;\vec i,\vec j,\vec k)$ où $(\vec i,\vec j,\vec k)$ est une base. Le point $M$ a pour coordonnées $(x\,;y\,;z)$ si $\overrightarrow{OM}=x\,\vec i+y\,\vec j+z\,\vec k$.

Pour $A(x_A\,;y_A\,;z_A)$ et $B(x_B\,;y_B\,;z_B)$ :

• Vecteur : $\overrightarrow{AB}(x_B-x_A\,;\ y_B-y_A\,;\ z_B-z_A)$.
• Milieu de $[AB]$ : $\left(\dfrac{x_A+x_B}2\,;\ \dfrac{y_A+y_B}2\,;\ \dfrac{z_A+z_B}2\right)$.
• Combinaison linéaire : $\alpha\vec u+\beta\vec v$ a pour coordonnées $(\alpha x+\beta x'\,;\ \alpha y+\beta y'\,;\ \alpha z+\beta z')$.
• Colinéarité : $\vec u(x\,;y\,;z)$ et $\vec v(x'\,;y'\,;z')$ ($\vec v\neq\vec0$) sont colinéaires $\iff$ leurs coordonnées sont proportionnelles : il existe $k$ avec $x=kx'$, $y=ky'$, $z=kz'$.

6. Représentation paramétrique d'une droite

La droite $d$ passant par $A(x_A\,;y_A\,;z_A)$ et de vecteur directeur $\vec u(a\,;b\,;c)$ est l'ensemble des points $M(x\,;y\,;z)$ tels que $\overrightarrow{AM}=t\vec u$, c'est-à-dire :

C'est une représentation paramétrique de $d$. À chaque valeur de $t$ correspond un point de $d$.

• Un point est-il sur la droite ? On cherche $t$ à partir d'une coordonnée, puis on vérifie les deux autres.
• Droite $(AB)$ : on prend $A$ comme point et $\overrightarrow{AB}$ (ou un multiple simplifié) comme vecteur directeur.
• Une droite a une infinité de représentations paramétriques : on peut changer de point et de vecteur directeur.

7. Positions relatives

Deux droites

$d$ passe par $A$ avec $\vec u$, et $d'$ passe par $A'$ avec $\vec u'$.

• Si $\vec u$ et $\vec u'$ sont colinéaires : les droites sont parallèles. Elles sont confondues si $A'\in d$, sinon strictement parallèles.
• Sinon : on résout le système obtenu en égalant les coordonnées (paramètres $t$ et $s$).
  • une solution unique : sécantes en un point ;
  • aucune solution : non coplanaires.

Une droite et un plan

$d$ passe par $A$ avec $\vec u$ ; $P=(B\,;\vec v,\vec w)$.

• $\vec u$, $\vec v$, $\vec w$ non coplanaires : $d$ et $P$ sont sécants en un unique point.
• $\vec u$, $\vec v$, $\vec w$ coplanaires : $d$ est parallèle à $P$. Elle est incluse dans $P$ si $A\in P$, sinon strictement parallèle.

Pour trouver le point d'intersection : on écrit $\overrightarrow{BM}=x\vec v+y\vec w$ avec $M=A+t\vec u$, ce qui donne un système de trois équations à trois inconnues $(t,x,y)$.

Deux plans

$P=(A\,;\vec u,\vec v)$ et $P'=(A'\,;\vec u',\vec v')$.

• $\vec u'$ et $\vec v'$ sont des combinaisons linéaires de $\vec u$ et $\vec v$ : les plans sont parallèles. Confondus si $A'\in P$, sinon strictement parallèles.
• Sinon : les plans sont sécants suivant une droite.

8. Les propriétés de parallélisme

Ces résultats servent à justifier une intersection sans calcul.

• Plans parallèles : si deux plans sont parallèles, tout plan qui coupe l'un coupe l'autre suivant deux droites parallèles.
• Droite parallèle à un plan : si une droite $d$ est parallèle à une droite de $P$, alors $d$ est parallèle à $P$ (ou incluse dans $P$).
• Théorème du toit : soient deux plans $P_1$ et $P_2$ sécants suivant une droite $\Delta$. Si une droite $d_1$ de $P_1$ est parallèle à une droite $d_2$ de $P_2$, alors $\Delta$ est parallèle à $d_1$ et à $d_2$.

Pourquoi le toit ? Soit $\vec u$ le vecteur directeur commun à $d_1$ et $d_2$.

Il est dans la direction de $P_1$ et de $P_2$.

Si $\Delta$ n'était pas dirigée par $\vec u$, les deux plans auraient la même direction, donc seraient parallèles : contradiction avec « sécants ».

9. Python

def vecteur(A, B):
    return (B[0] - A[0], B[1] - A[1], B[2] - A[2])

def colineaires(u, v):
    return (u[1]*v[2] - u[2]*v[1] == 0
            and u[2]*v[0] - u[0]*v[2] == 0
            and u[0]*v[1] - u[1]*v[0] == 0)

def alignes(A, B, C):
    return colineaires(vecteur(A, B), vecteur(A, C))

def point(A, u, t):
    return (A[0] + t*u[0], A[1] + t*u[1], A[2] + t*u[2])

10. Les 10 pépites du chapitre

11. Ce qui peut tomber au bac

• Des vecteurs exprimés avec Chasles, avec alignement et coplanarité (fiche 1).
• Des coordonnées : alignement, coplanarité, décomposition dans une base (fiche 2).
• Des représentations paramétriques, positions relatives de droites et de plans (fiche 3).
• Des problèmes de solides : tétraèdre, cube, pyramide, avec Python (fiche 4 et exercices type bac).

Tu as maintenant le cours. Passe aux quatre fiches, aux exercices type bac, puis au Guide de rédaction du chapitre.