Guide de rédaction : vecteurs, droites et plans de l'espace

🎯 Le principe du chapitre

En géométrie dans l'espace, un correcteur regarde surtout cinq choses :

• la relation vectorielle exhibée ($\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$, $\vec w=a\vec u+b\vec v$) ;
• la non-colinéarité justifiée avant d'utiliser un théorème ;
• le système avec ses trois équations, dont la troisième est vérifiée ;
• les deux paramètres différents ($t$ et $s$) pour deux droites ;
• la conclusion nommée : alignés, coplanaires, sécantes, parallèles, non coplanaires.

Situation 1 : décomposer un vecteur avec Chasles.

« D'après la relation de Chasles, $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IF}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{BJ}$. Or $I$ est le milieu de $[EF]$, donc $\overrightarrow{IF}=\dfrac12\overrightarrow{AB}$. De plus $\overrightarrow{FB}=-\overrightarrow{AE}$ et $\overrightarrow{BJ}=\dfrac12\overrightarrow{AD}$. Donc $\overrightarrow{IJ}=\dfrac12\overrightarrow{AB}+\dfrac12\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AE}$. »

💡 Insère des points pour retomber sur les arêtes, et justifie chaque vecteur (milieu, arête égale).

Situation 2 : montrer un alignement avec des vecteurs.

« On a $\overrightarrow{AJ}=\dfrac13\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$ et $\overrightarrow{AI}=\dfrac12\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$ car $I$ est le milieu de $[BC]$. Donc $\overrightarrow{AJ}=\dfrac23\overrightarrow{AI}$. Les vecteurs $\overrightarrow{AJ}$ et $\overrightarrow{AI}$ sont colinéaires : les points $A$, $J$, $I$ sont alignés. »

⚠️ Écris la relation $\overrightarrow{AJ}=k\overrightarrow{AI}$, pas seulement « ça se voit ».

Situation 3 : montrer un alignement avec des coordonnées.

« $\overrightarrow{AB}(2\,;3\,;6)$ et $\overrightarrow{AC}(-2\,;-3\,;-6)$. Donc $\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AB}$. Les vecteurs sont colinéaires : $A$, $B$, $C$ sont alignés. »

Pour un paramètre $m$ : « $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$ donne $m-1=k$, $3=k$, $-6=-2k$. La deuxième donne $k=3$, la troisième est vérifiée, la première donne $m=4$. »

Situation 4 : un parallélogramme, donc des points coplanaires.

« $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{EB}$. Donc $EIJB$ est un parallélogramme. Un parallélogramme est plan : les points $E$, $I$, $J$, $B$ sont coplanaires, et $(IJ)\parallel(EB)$. »

Situation 5 : montrer que trois vecteurs sont coplanaires.

« $\vec u$ et $\vec v$ ne sont pas colinéaires (leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles).

On cherche $a$, $b$ tels que $\vec w=a\vec u+b\vec v$ : $2=a$, $5=2a+b$, $1=b$.

La première donne $a=2$, la troisième $b=1$.

La deuxième est vérifiée.

Donc $\vec w=2\vec u+\vec v$ : les vecteurs $\vec u$, $\vec v$, $\vec w$ sont coplanaires. »

💡 Trois équations, deux pour résoudre, une pour vérifier.

Situation 6 : montrer que trois vecteurs ne sont pas coplanaires.

« $\vec u$ et $\vec v$ ne sont pas colinéaires.

Supposons $\vec w=a\vec u+b\vec v$ : $1=a$, $1=b$, $1=a+b$.

Les deux premières donnent $a=b=1$, donc $a+b=2\neq1$ : la troisième est fausse.

Le système n'a pas de solution.

Donc $\vec u$, $\vec v$, $\vec w$ ne sont pas coplanaires. »

⚠️ Conclus « non coplanaires » seulement après avoir montré que le système est impossible.

Situation 7 : quatre points sont-ils coplanaires ?

« $\overrightarrow{AB}(-1\,;1\,;0)$ et $\overrightarrow{AC}(-1\,;0\,;1)$ ne sont pas colinéaires : $A$, $B$, $C$ définissent un plan. $\overrightarrow{AD}(0\,;1\,;-1)$.

On cherche $a$, $b$ avec $\overrightarrow{AD}=a\overrightarrow{AB}+b\overrightarrow{AC}$ : $0=-a-b$, $1=a$, $-1=b$.

Les deux dernières donnent $a=1$, $b=-1$ ; la première est vérifiée.

Donc $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$ : $A$, $B$, $C$, $D$ sont coplanaires. »

Situation 8 : justifier qu'on a une base de l'espace.

« $ABCD$ est un tétraèdre : $A$, $B$, $C$, $D$ ne sont pas coplanaires.

Donc $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AD}$ ne sont pas coplanaires : ils forment une base de l'espace.

Tout vecteur s'écrit de manière unique $x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}+z\overrightarrow{AD}$. »

Avec des coordonnées : montre que $\vec w$ n'est pas combinaison linéaire de $\vec u$ et $\vec v$ (système impossible).

Situation 9 : donner une représentation paramétrique.

« La droite $(AB)$ passe par $A(1\,;0\,;2)$ et a pour vecteur directeur $\overrightarrow{AB}(2\,;4\,;-4)$, ou $\vec u(1\,;2\,;-2)$. Une représentation paramétrique est :

$x=1+t$, $y=2t$, $z=2-2t$, avec $t\in\R$. »

Situation 10 : un point appartient-il à une droite ?

« Pour $C(4\,;6\,;-4)$, la première coordonnée donne $4=1+t$, soit $t=3$. On vérifie : $y=2\times3=6$ et $z=2-2\times3=-4$. Les trois coordonnées sont bonnes : $C\in(AB)$. »

Sinon : « pour $t=\dfrac12$, $y=-\dfrac32\neq0$ : $C\notin d$. »

Situation 11 : deux droites parallèles ou confondues.

« $\vec u_2(2\,;-2\,;4)=2\,\vec u_1$ : les vecteurs directeurs sont colinéaires, les droites sont parallèles.

Le point $B(3\,;0\,;4)$ de $d_2$ est sur $d_1$ (pour $t=2$ : $y=0$, $z=4$).

Donc $d_1$ et $d_2$ sont confondues. »

Sinon : « $(2\,;1\,;1)$ n'est pas sur $d_1$ : les droites sont strictement parallèles. »

Situation 12 : deux droites sécantes.

« Les vecteurs directeurs $(1\,;-1\,;2)$ et $(1\,;0\,;1)$ ne sont pas colinéaires.

On résout $1+t=2+s$, $2-t=1$, $2t=2+s$.

La deuxième donne $t=1$, la première $s=0$.

La troisième est vérifiée.

Les droites sont sécantes au point $(2\,;1\,;2)$. »

⚠️ Deux paramètres différents ($t$ et $s$). Donne le point à la fin.

Situation 13 : deux droites non coplanaires.

« Les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires.

On résout $1+t=s$, $2-t=0$, $2t=1$.

La deuxième donne $t=2$ et la troisième $t=\dfrac12$ : contradiction.

Le système n'a pas de solution.

Les droites ne sont ni parallèles ni sécantes : elles sont non coplanaires. »

Situation 14 : position d'une droite et d'un plan.

« Le plan $P$ est dirigé par $\vec u$ et $\vec v$ (non colinéaires).

Le vecteur directeur $\vec w$ de la droite $\Delta$ vérifie $\vec w=\vec u+2\vec v$ : $\Delta$ est parallèle à $P$.

Le point $M(2\,;1\,;1)$ de $\Delta$ n'est pas dans $P$ (système impossible).

Donc $\Delta$ est strictement parallèle à $P$. »

Si $\vec w$ n'est pas coplanaire avec $\vec u$, $\vec v$ : « $\Delta$ et $P$ sont sécants. On écrit $\overrightarrow{AM}=a\vec u+b\vec v$ avec $M$ sur $\Delta$, on résout et on donne le point. »

Situation 15 : plans parallèles, théorème du toit.

Plans parallèles : « $\vec u'=2\vec u+\vec v$ et $\vec v'=\vec u-\vec v$ : les vecteurs de $P'$ sont des combinaisons linéaires de ceux de $P$. Donc $P\parallel P'$. Comme $A'\notin P$, ils sont strictement parallèles. »

Théorème du toit : « Les plans $(SAB)$ et $(SCD)$ sont sécants (ils ont $S$ en commun et ne sont pas confondus). $(AB)\subset(SAB)$, $(CD)\subset(SCD)$ et $(AB)\parallel(CD)$. D'après le théorème du toit, leur intersection est la droite passant par $S$ parallèle à $(AB)$. »

a) La coplanarité.

❌ « Les quatre points sont dans un même plan car la figure le montre. »

✅ « $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$, avec $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ non colinéaires. Donc $A$, $B$, $C$, $D$ sont coplanaires. »

b) Deux droites sécantes.

❌ « Les droites ne sont pas parallèles, donc elles sont sécantes. »

✅ « Les droites ne sont pas parallèles. Le système $1+t=2+s$, $2-t=1$, $2t=2+s$ admet la solution $(t\,;s)=(1\,;0)$. Elles sont sécantes en $(2\,;1\,;2)$. »

Dans l'espace, des droites non parallèles peuvent être non coplanaires.

c) Un point sur une droite.

❌ « Pour $t=2$, on trouve $x=5$, donc $B\in d$. »

✅ « Pour $t=2$, $x=5$ ; on vérifie $y=-2+2=0$ et $z=3-2=1$. Les trois coordonnées de $B$ sont obtenues : $B\in d$. »

d) Une droite parallèle à un plan.

❌ « La droite $(BD)$ est parallèle au plan car elle a l'air parallèle à $(FH)$. »

✅ « $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AH}-\overrightarrow{AF}$ : $\overrightarrow{BD}$ est combinaison linéaire de la base $\left(\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AH}\right)$ du plan $(AFH)$. Donc $(BD)$ est parallèle à $(AFH)$. »

• J'ai écrit la relation vectorielle (colinéarité ou combinaison linéaire), pas seulement « on voit ».
• J'ai justifié la non-colinéarité avant d'utiliser le théorème de coplanarité.
• Mon système comporte trois équations, j'en ai résolu deux et vérifié la troisième.
• Pour deux droites, j'ai utilisé deux paramètres différents et donné le point d'intersection.
• Pour une droite et un plan, j'ai distingué sécants, incluse, strictement parallèle.
• Pour des plans parallèles, j'ai montré que les vecteurs de l'un sont des combinaisons linéaires de ceux de l'autre, et que les plans ne sont pas confondus.
• Mes coordonnées de vecteurs suivent « arrivée moins départ ».
• Ma conclusion nomme la position relative ou la propriété.

😄 Une figure en perspective, c'est un bon plan pour se perdre. Un système écrit et vérifié, c'est une carte.