Fiche 4 : problèmes classiques de géométrie dans l'espace

Question 1

Les plans sont sécants. Ils ont le point $S$ en commun. Ils ne sont pas confondus : sinon $S$, $A$, $B$, $C$, $D$ seraient coplanaires, ce qui est exclu.

Donc les plans $(SAB)$ et $(SCD)$ sont sécants suivant une droite $\Delta$ passant par $S$.

L'intersection. La droite $(AB)$ est dans le plan $(SAB)$ et la droite $(CD)$ est dans le plan $(SCD)$. Comme $ABCD$ est un parallélogramme, $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.

D'après le théorème du toit, l'intersection $\Delta$ est parallèle à $(AB)$ et à $(CD)$.

✅ L'intersection de $(SAB)$ et $(SCD)$ est la droite passant par $S$ et parallèle à $(AB)$.

Question 2

Les plans $(SAD)$ et $(SBC)$ ont le point $S$ en commun et ne sont pas confondus (sinon $S$, $A$, $B$, $C$, $D$ seraient coplanaires). Ils sont sécants suivant une droite passant par $S$.

La droite $(AD)$ est dans $(SAD)$, la droite $(BC)$ est dans $(SBC)$, et $(AD)\parallel(BC)$ puisque $ABCD$ est un parallélogramme. D'après le théorème du toit :

✅ L'intersection de $(SAD)$ et $(SBC)$ est la droite passant par $S$ et parallèle à $(AD)$.

Méthode

On compare les bases des deux plans : on montre que les vecteurs de l'un sont des combinaisons linéaires des vecteurs de l'autre.

Le plan $(BDE)$. Les points $B$, $D$, $E$ ne sont pas alignés : $(BDE)$ est dirigé par $\left(\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BE}\right)$.

Le plan $(CFH)$. Les points $C$, $F$, $H$ ne sont pas alignés : $(CFH)$ est dirigé par $\left(\overrightarrow{FH},\overrightarrow{FC}\right)$.

Les vecteurs.

• $BDHF$ est un rectangle ($\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{DH}$), donc $\overrightarrow{FH}=\overrightarrow{BD}$.
• D'après Chasles : $\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{BC}$.

Or $\overrightarrow{FB}=-\overrightarrow{AE}$ et $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$. Et $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}$. Donc :

$\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AE}$

Et $\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AE}$. Donc :

$\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BE}$

Les vecteurs $\overrightarrow{FH}$ et $\overrightarrow{FC}$ sont des combinaisons linéaires de $\overrightarrow{BD}$ et $\overrightarrow{BE}$.

✅ Les plans $(BDE)$ et $(CFH)$ sont parallèles.

Ils ne sont pas confondus. Dans le repère $\left(A\,;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right)$, $\overrightarrow{BC}(0\,;1\,;0)$. Supposons $C\in(BDE)$ : $\overrightarrow{BC}=a\overrightarrow{BD}+b\overrightarrow{BE}$, avec $\overrightarrow{BD}(-1\,;1\,;0)$ et $\overrightarrow{BE}(-1\,;0\,;1)$ :

$0=-a-b$, $1=a$, $0=b$

Les deux dernières équations donnent $a+b=1\neq0$ : contradiction. Donc $C\notin(BDE)$.

✅ Les plans $(BDE)$ et $(CFH)$ sont strictement parallèles.

Question 1

$I$ est le milieu de $[AB]$ : $\overrightarrow{AI}=\dfrac12\overrightarrow{AB}$.

$J$ est le milieu de $[CD]$ : $\overrightarrow{AJ}=\dfrac12\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right)$.

$P$ est le milieu de $[IJ]$ : $\overrightarrow{AP}=\dfrac12\left(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AJ}\right)$.

✅ $\overrightarrow{AP}=\dfrac14\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right)$

Question 2

Le segment $[KL]$. $\overrightarrow{AK}=\dfrac12\overrightarrow{AC}$. Pour $L$, milieu de $[BD]$ : $\overrightarrow{AL}=\dfrac12\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)$. Le milieu $Q$ de $[KL]$ vérifie :

✅ $\overrightarrow{AQ}=\dfrac12\left(\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{AL}\right)=\dfrac14\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right)$

Le segment $[MN]$. $\overrightarrow{AM}=\dfrac12\overrightarrow{AD}$ et, pour $N$ milieu de $[BC]$, $\overrightarrow{AN}=\dfrac12\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$. Le milieu $R$ de $[MN]$ vérifie :

✅ $\overrightarrow{AR}=\dfrac12\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}\right)=\dfrac14\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right)$

Question 3

Les trois vecteurs $\overrightarrow{AP}$, $\overrightarrow{AQ}$, $\overrightarrow{AR}$ sont égaux. Donc $P=Q=R$.

✅ Les trois segments $[IJ]$, $[KL]$, $[MN]$ ont le même milieu $G$, avec $\overrightarrow{AG}=\dfrac14\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right)$. C'est le centre de gravité du tétraèdre.

Question 1

✅ $A(0\,;0\,;0)$, $B(1\,;0\,;0)$, $D(0\,;1\,;0)$, $E(0\,;0\,;1)$, $C(1\,;1\,;0)$, $F(1\,;0\,;1)$, $G(1\,;1\,;1)$, $H(0\,;1\,;1)$

Question 2

La droite $(AG)$ est dirigée par $\overrightarrow{AG}(1\,;1\,;1)$ : ses points sont $M(t\,;t\,;t)$. Le plan $(BDE)$ est dirigé par $\overrightarrow{BD}(-1\,;1\,;0)$ et $\overrightarrow{BE}(-1\,;0\,;1)$ : $M\in(BDE)$ si $\overrightarrow{BM}=a\overrightarrow{BD}+b\overrightarrow{BE}$.

$\overrightarrow{BM}(t-1\,;t\,;t)$, donc :

$t-1=-a-b$, $t=a$, $t=b$

Les deux dernières donnent $a=b=t$. La première devient $t-1=-2t$, donc $t=\dfrac13$.

✅ $M_1\left(\dfrac13\,;\dfrac13\,;\dfrac13\right)$

Question 3

Le plan $(CFH)$ est dirigé par $\overrightarrow{FH}(-1\,;1\,;0)$ et $\overrightarrow{FC}(0\,;1\,;-1)$ : $M\in(CFH)$ si $\overrightarrow{FM}=a\overrightarrow{FH}+b\overrightarrow{FC}$.

$\overrightarrow{FM}(t-1\,;t\,;t-1)$, donc :

$t-1=-a$, $t=a+b$, $t-1=-b$

La première et la troisième donnent $a=b=1-t$. La deuxième devient $t=2(1-t)$, donc $t=\dfrac23$.

✅ $M_2\left(\dfrac23\,;\dfrac23\,;\dfrac23\right)$

Question 4

$\overrightarrow{AM_1}=\dfrac13\overrightarrow{AG}$, $\overrightarrow{AM_2}=\dfrac23\overrightarrow{AG}$. Donc $\overrightarrow{M_1M_2}=\dfrac13\overrightarrow{AG}$ et $\overrightarrow{M_2G}=\dfrac13\overrightarrow{AG}$.

✅ Les plans $(BDE)$ et $(CFH)$ coupent la diagonale $[AG]$ en trois segments de même longueur.

Question 1

Pour le premier appel : $\overrightarrow{AB}(2\,;3\,;6)$ et $\overrightarrow{AC}(-2\,;-3\,;-6)$. Les trois produits en croix sont nuls, donc les vecteurs sont colinéaires.

✅ Le premier appel renvoie True.

Pour le second : $\overrightarrow{AB}(2\,;3\,;6)$ et $\overrightarrow{AD}(1\,;1\,;2)$. Par exemple $u_1v_2-u_2v_1=2\times1-3\times1=-1\neq0$.

✅ Le second appel renvoie False.

Les deux résultats sont cohérents avec les calculs de la fiche 2.

Question 2

from itertools import combinations

points = {
    "O": (0, 0, 0), "A": (1, 2, 3), "B": (2, 4, 6),
    "C": (1, 0, 0), "D": (3, 6, 9), "E": (0, 1, 0),
}

compteur = 0
for trio in combinations(points, 3):
    P, Q, R = (points[nom] for nom in trio)
    if alignes(P, Q, R):
        compteur = compteur + 1
        print(trio)
print(compteur)

La fonction combinations parcourt les $\dbinom63=20$ triplets, chacun une seule fois.

✅ Le script affiche $4$. Les triplets alignés sont $(O,A,B)$, $(O,A,D)$, $(O,B,D)$, $(A,B,D)$.

En effet $O$, $A$, $B$, $D$ sont sur la droite de vecteur directeur $(1\,;2\,;3)$ (car $B=2A$ et $D=3A$). Les points $C$ et $E$ n'en font partie d'aucun triplet aligné.

Affirmation 1

Contre-exemple : dans la pyramide de l'exercice 1, $(SAB)$ et $(SCD)$ contiennent les droites parallèles $(AB)$ et $(CD)$, mais les plans sont sécants.

❌ Faux. Il faudrait deux droites sécantes de chaque plan, parallèles deux à deux.

Affirmation 2

Si $d$ est parallèle à une droite $\delta$ du plan $P$, le vecteur directeur de $d$ est colinéaire à celui de $\delta$, donc combinaison linéaire de la base de $P$.

✅ Vrai.

Affirmation 3

C'est le résultat de l'exercice 3 : les trois segments ont le même milieu.

✅ Vrai.

Affirmation 4

$\overrightarrow{AD}$ est une combinaison linéaire de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$. Si $A$, $B$, $C$ sont alignés, les quatre points sont alignés donc coplanaires. Sinon, $D$ est dans le plan $(ABC)$.

✅ Vrai.