Fiche 5 : suites récurrentes uₙ₊₁ = f(uₙ)

Question 1

Soit $P(n)$ la propriété : « $0\le u_n\le3$ ».

Initialisation. $u_0=0$, donc $0\le u_0\le3$ : $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k\in\N$ fixé tel que $0\le u_k\le3$ (hypothèse de récurrence).

Alors $6\le u_k+6\le9$, donc $u_k+6\ge0$ et $u_{k+1}=\sqrt{u_k+6}$ est bien défini.

La racine carrée étant strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$ : $\sqrt6\le u_{k+1}\le\sqrt9=3$.

Comme $\sqrt6\ge0$, on a $0\le u_{k+1}\le3$ : $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire.

✅ Donc $0\le u_n\le3$ pour tout $n\in\N$.

Question 2

Pour tout $n\in\N$, en multipliant par la quantité conjuguée (strictement positive car $\sqrt{u_n+6}>0$ et $u_n\ge0$) :

Or $(u_n+6)-u_n^2=-(u_n^2-u_n-6)=-(u_n-3)(u_n+2)=(3-u_n)(u_n+2)$. D'après la question 1, $3-u_n\ge0$ et $u_n+2>0$, donc le numérateur est positif, et le dénominateur est strictement positif. Donc $u_{n+1}-u_n\ge0$ :

✅ la suite $(u_n)$ est croissante.

Question 3

La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $3$. D'après le théorème de convergence monotone :

✅ elle converge vers un réel $\ell$, avec $0\le\ell\le3$ (passage à la limite dans l'encadrement de la question 1).

La fonction $f:x\mapsto\sqrt{x+6}$ est continue sur $[0\,;3]$, et $\ell\in[0\,;3]$.

En passant à la limite dans $u_{n+1}=f(u_n)$, on obtient $\ell=f(\ell)$, soit $\ell=\sqrt{\ell+6}$.

Comme $\ell\ge0$, cela entraîne $\ell^2=\ell+6$, soit $\ell^2-\ell-6=0$, c'est-à-dire $(\ell-3)(\ell+2)=0$.

Donc $\ell=3$ ou $\ell=-2$.

Comme $\ell\ge0$, $\ell=-2$ est exclu.

✅ Donc $\lim u_n=3$.

Astuce : pour la monotonie, tu peux aussi faire une récurrence : $u_0\le u_1$, puis « si $u_k\le u_{k+1}$ alors, la racine étant croissante, $\sqrt{u_k+6}\le\sqrt{u_{k+1}+6}$ ».

Question 1

La fonction $f$ est dérivable sur $[0\,;+\infty[$ comme quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur $x+2$ ne s'annule pas. Pour tout $x\ge0$ :

✅ Donc $f$ est strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$.

Question 2

Soit $P(n)$ la propriété : « $1\le u_n\le2$ ».

Initialisation. $u_0=1$, donc $1\le u_0\le2$ : $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k\in\N$ fixé tel que $1\le u_k\le2$ (hypothèse de récurrence). Comme $f$ est croissante sur $[0\,;+\infty[$, $f(1)\le f(u_k)\le f(2)$, c'est-à-dire $\dfrac53\le u_{k+1}\le\dfrac84=2$. Comme $1\le\dfrac53$, on a $1\le u_{k+1}\le2$ : $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire.

✅ Donc $1\le u_n\le2$ pour tout $n\in\N$.

Question 3

Pour tout $n\in\N$ :

D'après la question 2, $2-u_n\ge0$, et $u_n+1>0$, $u_n+2>0$. Donc $u_{n+1}-u_n\ge0$ :

✅ $(u_n)$ est croissante.

Question 4

La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $2$. D'après le théorème de convergence monotone :

✅ elle converge vers un réel $\ell$, avec $1\le\ell\le2$.

La fonction $f$ est continue sur $[1\,;2]$ (dérivable), et $\ell\in[1\,;2]$. En passant à la limite dans $u_{n+1}=f(u_n)$, $\ell=\dfrac{3\ell+2}{\ell+2}$, donc $\ell(\ell+2)=3\ell+2$, soit $\ell^2-\ell-2=0$, c'est-à-dire $(\ell-2)(\ell+1)=0$. Comme $\ell\ge1$, $\ell=-1$ est exclu.

✅ Donc $\lim u_n=2$.

Question 1

Soit $P(n)$ la propriété : « $u_n\ge3$ ».

Initialisation. $u_0=5\ge3$ : $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k\in\N$ fixé tel que $u_k\ge3$ (hypothèse de récurrence). Alors $2u_k+3\ge9>0$, donc $u_{k+1}=\sqrt{2u_k+3}$ est bien défini, et, la racine carrée étant croissante sur $[0\,;+\infty[$, $u_{k+1}\ge\sqrt9=3$ : $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire.

✅ Donc $u_n\ge3$ pour tout $n\in\N$.

Question 2

Pour tout $n\in\N$ (quantité conjuguée strictement positive) :

Or $(2u_n+3)-u_n^2=-(u_n^2-2u_n-3)=-(u_n-3)(u_n+1)$. D'après la question 1, $u_n-3\ge0$ et $u_n+1>0$, donc le numérateur est négatif ou nul, et le dénominateur est strictement positif. Donc $u_{n+1}-u_n\le0$ :

✅ la suite $(u_n)$ est décroissante.

Question 3

La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par $3$. D'après le théorème de convergence monotone :

✅ elle converge vers un réel $\ell$, avec $\ell\ge3$.

La fonction $x\mapsto\sqrt{2x+3}$ est continue sur $[3\,;+\infty[$, et $\ell\in[3\,;+\infty[$. En passant à la limite dans $u_{n+1}=\sqrt{2u_n+3}$, $\ell=\sqrt{2\ell+3}$. Cela entraîne $\ell^2=2\ell+3$, soit $\ell^2-2\ell-3=0$, c'est-à-dire $(\ell-3)(\ell+1)=0$. Comme $\ell\ge3$, $\ell=-1$ est exclu.

✅ Donc $\lim u_n=3$.

Piège évité : ici la suite décroît vers $3$ : le nombre $3$ est un minorant, pas un majorant. Regarde bien le sens.

Question 1

Soit $P(n)$ la propriété : « $u_n>0$ ».

Initialisation. $u_0=2>0$.

Hérédité. Soit $k\in\N$ fixé tel que $u_k>0$. Alors $\dfrac2{u_k}>0$, donc $u_k+\dfrac2{u_k}>0$ et $u_{k+1}>0$ : $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion.

✅ $u_n>0$ pour tout $n\in\N$ (la suite est bien définie).

Question 2

Pour tout $n\in\N$ :

Ce quotient est positif (un carré divisé par $2u_n>0$). Donc $u_{n+1}\ge\sqrt2$ pour tout $n\in\N$. Comme de plus $u_0=2\ge\sqrt2$ :

✅ $u_n\ge\sqrt2$ pour tout $n\in\N$.

Question 3

Pour tout $n\in\N$ :

D'après la question 2, $u_n\ge\sqrt2>0$, donc $u_n^2\ge2$ et $2-u_n^2\le0$. Comme $2u_n>0$, $u_{n+1}-u_n\le0$ :

✅ la suite $(u_n)$ est décroissante.

Question 4

La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par $\sqrt2$. D'après le théorème de convergence monotone :

✅ elle converge vers un réel $\ell$, avec $\ell\ge\sqrt2>0$.

La fonction $x\mapsto\dfrac12\left(x+\dfrac2x\right)$ est continue sur $[\sqrt2\,;+\infty[$, et $\ell\in[\sqrt2\,;+\infty[$. En passant à la limite dans $u_{n+1}=\dfrac12\left(u_n+\dfrac2{u_n}\right)$, $\ell=\dfrac12\left(\ell+\dfrac2\ell\right)$, donc $2\ell=\ell+\dfrac2\ell$, soit $\ell=\dfrac2\ell$, donc $\ell^2=2$. Comme $\ell>0$ :

✅ $\lim u_n=\sqrt2$

Pour info : $u_1=\dfrac32$ et $u_2=\dfrac{17}{12}\approx1{,}41667$. En deux étapes, on approche $\sqrt2\approx1{,}41421$ à $0{,}003$ près.

Question 1

$u_1=\dfrac1{1+0}=1$, $u_2=\dfrac12$, $u_3=\dfrac1{3/2}=\dfrac23$, $u_4=\dfrac1{5/3}=\dfrac35$.

On a $u_0<u_1$, puis $u_1>u_2$, puis $u_2<u_3$.

❌ La suite n'est pas monotone.

Question 2

Soit $P(n)$ la propriété : « $0\le u_n\le1$ ».

Initialisation. $u_0=0$, donc $0\le u_0\le1$ : $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k\in\N$ fixé tel que $0\le u_k\le1$ (hypothèse de récurrence).

Alors $1\le1+u_k\le2$.

La fonction inverse est strictement décroissante sur $]0\,;+\infty[$ : elle retourne les inégalités.

Donc $\dfrac12\le\dfrac1{1+u_k}\le1$, c'est-à-dire $\dfrac12\le u_{k+1}\le1$.

En particulier $0\le u_{k+1}\le1$ : $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire.

✅ Donc $0\le u_n\le1$ pour tout $n\in\N$.

Question 3

On admet que $(u_n)$ converge vers $\ell$, avec $0\le\ell\le1$. La fonction $x\mapsto\dfrac1{1+x}$ est continue sur $[0\,;1]$, et $\ell\in[0\,;1]$.

En passant à la limite, $\ell=\dfrac1{1+\ell}$, donc $\ell(1+\ell)=1$, soit $\ell^2+\ell-1=0$. Le discriminant vaut $\Delta=5$, donc $\ell=\dfrac{-1+\sqrt5}2$ ou $\ell=\dfrac{-1-\sqrt5}2$. Comme $\ell\ge0$, la seconde solution est exclue.

✅ Donc $\ell=\dfrac{\sqrt5-1}2\approx0{,}618$.

À retenir : quand $f$ est décroissante, la suite n'est pas monotone. Le bac dit alors « on admet que $(u_n)$ converge » et te demande seulement la limite.

Question 1

Soit $P(n)$ la propriété : « $u_n>0$ ».

Initialisation. $u_0=1>0$ : $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k\in\N$ fixé tel que $u_k>0$. Alors $1+u_k>0$ et $u_{k+1}=\dfrac{u_k}{1+u_k}>0$ : $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion.

✅ $u_n>0$ pour tout $n\in\N$, donc $v_n=\dfrac1{u_n}$ est bien défini.

Question 2

Pour tout $n\in\N$ :

✅ Donc $(v_n)$ est arithmétique de raison $1$ et de premier terme $v_0=\dfrac1{u_0}=1$.

Question 3

Pour tout $n\in\N$, $v_n=v_0+n\times1=n+1$.

✅ $u_n=\dfrac1{n+1}$

Comme $n+1\to+\infty$, par quotient :

✅ $\lim u_n=0$

Question 1

Soit $P(n)$ la propriété : « $0\le u_n\le1$ ».

Initialisation. $u_0=\dfrac14\in[0\,;1]$ : $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k\in\N$ fixé tel que $0\le u_k\le1$. La racine carrée étant croissante sur $[0\,;+\infty[$, $0\le\sqrt{u_k}\le1$, c'est-à-dire $0\le u_{k+1}\le1$ : $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion.

✅ $0\le u_n\le1$ pour tout $n\in\N$.

Question 2

Pour tout $n\in\N$ :

D'après la question 1, $0\le u_n\le1$, donc $0\le\sqrt{u_n}\le1$ : les deux facteurs sont positifs. Donc $u_{n+1}-u_n\ge0$ :

✅ $(u_n)$ est croissante.

Question 3

La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $1$.

D'après le théorème de convergence monotone, elle converge vers un réel $\ell$, avec $\ell\le1$.

Comme $(u_n)$ est croissante, $\ell\ge u_0=\dfrac14>0$.

La fonction racine carrée est continue sur $[0\,;1]$, et $\ell\in\left[\dfrac14\,;1\right]$. En passant à la limite dans $u_{n+1}=\sqrt{u_n}$, $\ell=\sqrt\ell$, donc $\ell^2=\ell$, soit $\ell(\ell-1)=0$ : $\ell=0$ ou $\ell=1$. Comme $\ell\ge\dfrac14$, $\ell=0$ est exclu.

✅ Donc $\lim u_n=1$.

Astuce : une suite croissante ne peut pas avoir une limite plus petite que son premier terme. C'est une manière très propre d'éliminer une solution.