Terminale Spé Maths / Chapitre 1 : Suites

Fiche 4 : suites arithmético-géométriques

Huit exercices sur les suites du type $u_{n+1}=a\,u_n+b$ , les suites « auxiliaires » et les problèmes de modélisation (population, placement, évolution en pourcentage).

C'est un classique du bac : le sujet te donne presque toujours la suite auxiliaire, à toi de la traiter proprement.

Toutes les corrections sont rédigées comme on l'attend au bac : calcul de $v_{n+1}$ écrit en entier, raison et premier terme énoncés, conclusion.

💡 La méthode en cinq étapes

Trouve le point fixe $\ell$ en résolvant $\ell=a\ell+b$ , soit $\ell=\dfrac b{1-a}$ (avec $a\neq1$ ).
Pose $v_n=u_n-\ell$ (ou utilise la suite auxiliaire donnée par l'énoncé).
Montre que $(v_n)$ est géométrique de raison $a$ : $v_{n+1}=a\,u_n+b-\ell=a(u_n-\ell)=a\,v_n$ .
Écris $v_n=v_0\times a^n$ , puis $u_n=\ell+(u_0-\ell)a^n$ .
Conclus sur la limite : si $-1<a<1$ , $u_n\to\ell$ . Si $a>1$ , la suite diverge.

⚠️ Les pièges classiques

Se tromper de raison : la raison de $(v_n)$ est $a$ , pas $\ell$ , pas $b$ .
Oublier de calculer $v_0$ : $v_0=u_0-\ell$ , pas $u_0$ .
Un signe faux dans $v_n=u_n-\ell$ (ou $u_n+\ell$ ) : vérifie en calculant $v_1$ à la main.
Traduire mal l'énoncé : « baisse de 10 % » se traduit par « $\times0{,}9$ », « augmente de 5 % » par « $\times1{,}05$ ».
Dire que la suite converge alors que $a>1$ .

Astuce : calcule toujours $u_1$ à la main, puis vérifie ta formule finale avec $n=1$ . Si elle ne colle pas, tu as trouvé ton erreur avant le correcteur. 😄

Exercice 1 (★) : le cas standard

On définit $u_0=1$ et, pour tout $n\in\N$ , $u_{n+1}=0{,}5\,u_n+3$ .

1. Montrer que la suite $(v_n)$ définie par $v_n=u_n-6$ est géométrique.

2. Exprimer $v_n$ , puis $u_n$ , en fonction de $n$ .

3. Déterminer la limite de $(u_n)$ .

✏️ Correction de l'exercice 1

Question 1

Pour tout $n\in\N$ :

v_{n+1}=u_{n+1}-6=0{,}5\,u_n+3-6=0{,}5\,u_n-3=0{,}5(u_n-6)=0{,}5\,v_n

✅ Donc $(v_n)$ est géométrique de raison $0{,}5$ et de premier terme $v_0=u_0-6=-5$ .

Question 2

Pour tout $n\in\N$ , $v_n=v_0\times0{,}5^n=-5\times0{,}5^n$ . Comme $u_n=v_n+6$ :

✅ $u_n=6-5\times0{,}5^n$

Question 3

Comme $-1<0{,}5<1$ , $0{,}5^n\to0$ . Par produit puis par somme :

✅ $\lim u_n=6$

Vérification : $u_1=0{,}5\times1+3=3{,}5$ et $6-5\times0{,}5=3{,}5$ ✓

Exercice 2 (★★) : une raison supérieure à 1

On définit $u_0=5$ et $u_{n+1}=3u_n-4$ . Trouver le nombre $\ell$ tel que $\ell=3\ell-4$ , puis exprimer $u_n$ en fonction de $n$ et étudier sa limite.

✏️ Correction de l'exercice 2

Le point fixe

L'équation $\ell=3\ell-4$ équivaut à $2\ell=4$ , donc $\ell=2$ . On pose $v_n=u_n-2$ .

La suite auxiliaire

Pour tout $n\in\N$ :

v_{n+1}=u_{n+1}-2=3u_n-4-2=3u_n-6=3(u_n-2)=3v_n

Donc $(v_n)$ est géométrique de raison $3$ et de premier terme $v_0=5-2=3$ .

L'expression de $u_n$

Pour tout $n\in\N$ , $v_n=3\times3^n=3^{n+1}$ .

✅ $u_n=2+3^{n+1}$

La limite

Comme $3>1$ , $3^{n+1}\to+\infty$ . Par somme :

✅ $\lim u_n=+\infty$

Ici la raison est supérieure à $1$ : la suite diverge.

Vérification : $u_1=3\times5-4=11$ et $2+3^2=11$ ✓

Exercice 3 (★★) : une raison négative

On définit $u_0=10$ et $u_{n+1}=-0{,}5\,u_n+6$ .

1. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ .

2. Déterminer la limite de $(u_n)$ .

3. La suite $(u_n)$ est-elle monotone ?

✏️ Correction de l'exercice 3

Question 1

L'équation $\ell=-0{,}5\ell+6$ équivaut à $1{,}5\ell=6$ , donc $\ell=4$ . On pose $v_n=u_n-4$ . Pour tout $n\in\N$ :

v_{n+1}=-0{,}5\,u_n+6-4=-0{,}5\,u_n+2=-0{,}5(u_n-4)=-0{,}5\,v_n

Donc $(v_n)$ est géométrique de raison $-0{,}5$ et de premier terme $v_0=10-4=6$ . Pour tout $n\in\N$ , $v_n=6\times(-0{,}5)^n$ , donc :

✅ $u_n=4+6\times(-0{,}5)^n$

Question 2

Comme $-1<-0{,}5<1$ , $(-0{,}5)^n\to0$ . Par produit et par somme :

✅ $\lim u_n=4$

Question 3

On a $u_0=10$ , $u_1=-0{,}5\times10+6=1$ et $u_2=-0{,}5\times1+6=5{,}5$ . Comme $u_1<u_0$ et $u_1<u_2$ , la suite n'est ni croissante ni décroissante :

❌ elle n'est pas monotone.

Elle converge pourtant : la raison négative fait osciller la suite autour de sa limite.

Exercice 4 (★★) : évolution d'une population

Un parc animalier compte 800 animaux au 1er janvier 2026.

Chaque année, 10 % des animaux quittent le parc, et 60 nouveaux animaux arrivent.

On note $u_n$ le nombre d'animaux au 1er janvier de l'année $2026+n$ , donc $u_0=800$ .

1. Justifier que $u_{n+1}=0{,}9\,u_n+60$ .

2. On pose $v_n=u_n-600$ . Montrer que $(v_n)$ est géométrique.

3. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ .

4. Déterminer la limite de $(u_n)$ et l'interpréter.

5. À partir de quelle année le parc compte-t-il moins de 650 animaux ?

✏️ Correction de l'exercice 4

Question 1

Si $10\,\%$ des animaux quittent le parc, il en reste $90\,\%$ , soit $0{,}9\,u_n$ . On ajoute les $60$ arrivées.

✅ Donc, pour tout $n\in\N$ , $u_{n+1}=0{,}9\,u_n+60$ .

Question 2

Pour tout $n\in\N$ :

v_{n+1}=u_{n+1}-600=0{,}9\,u_n+60-600=0{,}9\,u_n-540=0{,}9(u_n-600)=0{,}9\,v_n

✅ Donc $(v_n)$ est géométrique de raison $0{,}9$ et de premier terme $v_0=800-600=200$ .

Question 3

Pour tout $n\in\N$ , $v_n=200\times0{,}9^n$ .

✅ $u_n=600+200\times0{,}9^n$

Question 4

Comme $-1<0{,}9<1$ , $0{,}9^n\to0$ . Par produit et par somme :

✅ $\lim u_n=600$

Interprétation : à long terme, le nombre d'animaux se stabilise autour de $600$ .

Question 5

On cherche le plus petit entier $n$ tel que $u_n<650$ , c'est-à-dire $200\times0{,}9^n<50$ , soit $0{,}9^n<0{,}25$ . La suite $(0{,}9^n)$ est strictement décroissante. À la calculatrice :

$0{,}9^{13}\approx0{,}254\ge0{,}25$

$0{,}9^{14}\approx0{,}229<0{,}25$

Donc $n=14$ .

✅ C'est en $2026+14=2040$ que le parc compte moins de 650 animaux.

Exercice 5 (★★) : un placement avec versements

Léa place 1 000 € à intérêts composés au taux de 5 % par an.

Chaque année, juste après le calcul des intérêts, elle ajoute 100 €.

On note $u_n$ le capital, en euros, au bout de $n$ années, avec $u_0=1000$ .

1. Justifier que $u_{n+1}=1{,}05\,u_n+100$ .

2. On pose $v_n=u_n+2000$ . Montrer que $(v_n)$ est géométrique.

3. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ , puis déterminer la limite de $(u_n)$ .

4. Au bout de combien d'années Léa dépasse-t-elle 5 000 € ?

✏️ Correction de l'exercice 5

Question 1

Une augmentation de $5\,\%$ correspond à une multiplication par $1{,}05$ . On ajoute ensuite $100$ €.

✅ Donc, pour tout $n\in\N$ , $u_{n+1}=1{,}05\,u_n+100$ .

Question 2

Pour tout $n\in\N$ :

v_{n+1}=u_{n+1}+2000=1{,}05\,u_n+100+2000=1{,}05\,u_n+2100=1{,}05(u_n+2000)=1{,}05\,v_n

✅ Donc $(v_n)$ est géométrique de raison $1{,}05$ et de premier terme $v_0=1000+2000=3000$ .

Question 3

Pour tout $n\in\N$ , $v_n=3000\times1{,}05^n$ .

✅ $u_n=3000\times1{,}05^n-2000$

Comme $1{,}05>1$ , $1{,}05^n\to+\infty$ . Par produit et par somme :

✅ $\lim u_n=+\infty$

Question 4

On cherche le plus petit entier $n$ tel que $u_n\ge5000$ , soit $1{,}05^n\ge\dfrac{7000}{3000}\approx2{,}333$ . La suite $(1{,}05^n)$ est strictement croissante. À la calculatrice :

$1{,}05^{17}\approx2{,}292<2{,}333$

$1{,}05^{18}\approx2{,}407\ge2{,}333$

Donc $n=18$ .

✅ Léa dépasse 5 000 € au bout de 18 ans.

Astuce : le nombre $-2000$ vient de $\ell=\dfrac{100}{1-1{,}05}=-2000$ . Quand la raison est supérieure à $1$ , $\ell$ n'est plus une limite, mais il reste utile pour poser $v_n$ .

Exercice 6 (★★★) : une suite auxiliaire avec « $n$ »

On définit $u_0=2$ et, pour tout $n\in\N$ , $u_{n+1}=\dfrac23u_n+\dfrac13n+1$ . On pose $v_n=u_n-n$ .

1. Calculer $u_1$ et $u_2$ .

2. Montrer que $(v_n)$ est géométrique de raison $\dfrac23$ .

3. Exprimer $v_n$ , puis $u_n$ , en fonction de $n$ .

4. Déterminer la limite de $(u_n)$ .

5. Étudier le sens de variation de $(u_n)$ .

✏️ Correction de l'exercice 6

Question 1

u_1=\frac23\times2+\frac13\times0+1=\frac73

u_2=\frac23\times\frac73+\frac13\times1+1=\frac{14}9+\frac39+\frac99=\frac{26}9

Question 2

Pour tout $n\in\N$ :

v_{n+1}=u_{n+1}-(n+1)=\frac23u_n+\frac n3+1-n-1=\frac23u_n-\frac23n=\frac23(u_n-n)=\frac23v_n

✅ Donc $(v_n)$ est géométrique de raison $\dfrac23$ , de premier terme $v_0=u_0-0=2$ .

Question 3

Pour tout $n\in\N$ , $v_n=2\times\left(\dfrac23\right)^n$ .

✅ $u_n=n+2\times\left(\dfrac23\right)^n$

Vérification : $u_1=1+\dfrac43=\dfrac73$ ✓ et $u_2=2+\dfrac89=\dfrac{26}9$ ✓

Question 4

Pour tout $n$ , $\left(\dfrac23\right)^n>0$ , donc $u_n\ge n$ . Comme $\lim n=+\infty$ , d'après le théorème de comparaison :

✅ $\lim u_n=+\infty$

Question 5

Pour tout $n\in\N$ :

u_{n+1}-u_n=(n+1)+2\left(\frac23\right)^{n+1}-n-2\left(\frac23\right)^n=1+2\left(\frac23\right)^n\left(\frac23-1\right)=1-\left(\frac23\right)^{n+1}

Comme $0<\left(\dfrac23\right)^{n+1}<1$ , cette différence est strictement positive.

✅ La suite $(u_n)$ est strictement croissante.

Exercice 7 (★★★) : une suite homographique

On définit $u_0=\dfrac12$ et, pour tout $n\in\N$ , $u_{n+1}=\dfrac{2u_n}{u_n+1}$ .

1. Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in\N$ , $0<u_n<1$ .

2. On pose $w_n=\dfrac1{u_n}-1$ . Montrer que $(w_n)$ est géométrique.

3. En déduire $u_n$ en fonction de $n$ , puis la limite de $(u_n)$ .

✏️ Correction de l'exercice 7

Question 1

Soit $P(n)$ la propriété : « $0<u_n<1$ ».

Initialisation. $u_0=\dfrac12$ , donc $0<u_0<1$ : $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k\in\N$ fixé tel que $0<u_k<1$ (hypothèse de récurrence). Alors $u_k+1>0$ , donc $u_{k+1}=\dfrac{2u_k}{u_k+1}$ est bien défini et strictement positif. De plus, comme $u_k+1>0$ :

u_{k+1}<1\iff2u_k<u_k+1\iff u_k<1

ce qui est vrai par hypothèse de récurrence. Donc $0<u_{k+1}<1$ : $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire.

✅ Donc $0<u_n<1$ pour tout $n\in\N$ .

En particulier, $u_n\neq0$ , donc $w_n$ est bien défini.

Question 2

Pour tout $n\in\N$ :

w_{n+1}=\frac1{u_{n+1}}-1=\frac{u_n+1}{2u_n}-1=\frac{u_n+1-2u_n}{2u_n}=\frac{1-u_n}{2u_n}=\frac12\left(\frac1{u_n}-1\right)=\frac12w_n

✅ Donc $(w_n)$ est géométrique de raison $\dfrac12$ et de premier terme $w_0=\dfrac1{u_0}-1=2-1=1$ .

Question 3

Pour tout $n\in\N$ , $w_n=\left(\dfrac12\right)^n$ . Donc $\dfrac1{u_n}=1+\left(\dfrac12\right)^n$ .

✅ $u_n=\dfrac1{1+\left(\frac12\right)^n}=\dfrac{2^n}{2^n+1}$

Comme $-1<\dfrac12<1$ , $\left(\dfrac12\right)^n\to0$ . Par somme et quotient :

✅ $\lim u_n=1$

Vérification : $u_1=\dfrac{2\times\frac12}{\frac32}=\dfrac23$ et $\dfrac2{2+1}=\dfrac23$ ✓

Exercice 8 (★★) : le sens de variation dépend de $u_0$

On considère $u_{n+1}=0{,}8\,u_n+4$ , avec un premier terme $u_0$ quelconque.

1. Montrer que $u_n=20+(u_0-20)\times0{,}8^n$ .

2. Étudier le sens de variation de $(u_n)$ selon la valeur de $u_0$ (avec $u_0<20$ , $u_0=20$ ou $u_0>20$ ).

3. Que peut-on dire de la limite ?

✏️ Correction de l'exercice 8

Question 1

L'équation $\ell=0{,}8\ell+4$ équivaut à $0{,}2\ell=4$ , donc $\ell=20$ . On pose $v_n=u_n-20$ . Pour tout $n\in\N$ :

v_{n+1}=0{,}8\,u_n+4-20=0{,}8\,u_n-16=0{,}8(u_n-20)=0{,}8\,v_n

La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $0{,}8$ , donc $v_n=v_0\times0{,}8^n=(u_0-20)\times0{,}8^n$ .

✅ $u_n=20+(u_0-20)\times0{,}8^n$

Question 2

Pour tout $n\in\N$ :

u_{n+1}-u_n=(u_0-20)\times0{,}8^n\times(0{,}8-1)=-0{,}2\times(u_0-20)\times0{,}8^n

Comme $0{,}8^n>0$ , le signe de cette différence est celui de $-(u_0-20)$ :

• si $u_0<20$ , $u_{n+1}-u_n>0$ :

✅ $(u_n)$ est strictement croissante.

• si $u_0=20$ , $u_{n+1}-u_n=0$ :

✅ $(u_n)$ est constante.

• si $u_0>20$ , $u_{n+1}-u_n<0$ :

✅ $(u_n)$ est strictement décroissante.

Question 3

Comme $-1<0{,}8<1$ , $0{,}8^n\to0$ . Par produit et par somme :

✅ $\lim u_n=20$ dans tous les cas.

🎯 Ce qui peut tomber au bac

Une suite $u_{n+1}=a\,u_n+b$ avec une suite auxiliaire donnée (exercices 1 à 3, 5).
Un problème de modélisation avec pourcentages et ajouts (exercices 4 et 5).
Une suite auxiliaire qui dépend de $n$ (exercice 6) ou qui utilise l'inverse (exercice 7).
Un seuil à trouver à la calculatrice ou avec Python (exercices 4 et 5).

QCM : vérifie tes acquis

10 questions, une seule bonne réponse chacune. Choisis une réponse : la correction s'affiche tout de suite. Ton score est enregistré dans Mon espace.

Question 1 sur 10

Pour $u_{n+1}=0{,}5\,u_n+3$ , quel réel $\ell$ vérifie $\ell=0{,}5\,\ell+3$ ?

Question 2 sur 10

Avec $\ell=6$ , la suite $v_n=u_n-6$ est :

Question 3 sur 10

Avec $u_0=10$ , on a $u_n=6+4\times0{,}5^n$ . Quelle est la limite de $(u_n)$ ?

Question 4 sur 10

Pour $u_{n+1}=3u_n-4$ , quel réel $\ell$ vérifie $\ell=3\ell-4$ ?

Question 5 sur 10

Pour $u_0=5$ et $u_{n+1}=3u_n-4$ , on trouve $u_n=2+3^{n+1}$ . Quelle est la limite ?

Question 6 sur 10

Dans l'exercice 1, avec $u_0=1$ et $u_{n+1}=0{,}5\,u_n+3$ , quelle est la raison de la suite auxiliaire $v_n=u_n-6$ ?

Question 7 sur 10

Dans l'exercice 2, avec $u_0=5$ et $u_{n+1}=3u_n-4$ , quelle est la limite de $(u_n)$ ?

Question 8 sur 10

Dans l'exercice 4 (le parc animalier), quelle est la limite du nombre d'animaux $u_n$ ?

Question 9 sur 10

Dans l'exercice 5 (le placement de Léa), au bout de combien d'années son capital dépasse-t-il $5\,000$ € ?

Question 10 sur 10

Dans l'exercice 7 (suite homographique), avec $w_n=\dfrac1{u_n}-1$ , quelle est la limite de $(u_n)$ ?

Un doute sur ce chapitre ? On en parle ensemble, sans engagement.

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Fiche 4 : suites arithmético-géométriques

Exercice 1 (★) : le cas standard

Exercice 2 (★★) : une raison supérieure à 1

Exercice 3 (★★) : une raison négative

Exercice 4 (★★) : évolution d'une population

Exercice 5 (★★) : un placement avec versements

Exercice 6 (★★★) : une suite auxiliaire avec « nnn »

Exercice 7 (★★★) : une suite homographique

Exercice 8 (★★) : le sens de variation dépend de u0u_0u0​

QCM : vérifie tes acquis

Exercice 6 (★★★) : une suite auxiliaire avec « $n$ »

Exercice 8 (★★) : le sens de variation dépend de $u_0$