Terminale Spé Maths / Chapitre 1 : Suites

Fiche 2 : les limites

Dix exercices, des limites « faciles » aux formes indéterminées les plus vicieuses. Dans toute la fiche, les limites sont prises quand $n\to+\infty$ .

Bonne nouvelle : 90 % des limites du bac se règlent avec trois réflexes, et tu vas les répéter jusqu'à ce qu'ils deviennent automatiques.

Toutes les corrections sont rédigées comme on l'attend au bac : transformation écrite, règle nommée, conclusion.

💡 L'ordre de bataille pour toute limite

Repère le terme dominant : la plus grande puissance de $n$ (ou la plus grande base pour les $q^n$ ).
Regarde si la limite est directe. Si oui, applique les règles et conclus.
Si c'est une forme indéterminée ( $+\infty-\infty$ , $\frac\infty\infty$ , $0\times\infty$ , $\frac00$ ), on transforme : on factorise par le terme dominant, on multiplie par la quantité conjuguée, ou on divise par la plus grande puissance.
Conclus en nommant ce que tu utilises : « par somme », « par produit », « par quotient ».

⚠️ Les pièges classiques

Écrire « $+\infty-\infty=0$ ». Non : c'est une forme indéterminée, il faut transformer l'écriture.
Traiter $\dfrac1{u_n}$ comme « $\dfrac10=+\infty$ » sans regarder le signe de $u_n$ .
Oublier qu'une suite alternée comme $(-2)^n$ n'a pas de limite.
Écrire « $\dfrac nn\to+\infty$ » parce qu'il y a du « $\infty$ ». Ici $\dfrac nn=1$ .
Une limite avec une racine : ne jamais écrire $\sqrt{\infty-\infty}$ sans conjuguer.

😄 Un « $\infty-\infty$ » qu'on ne transforme pas, c'est comme un exercice sans conclusion : il manque quelque chose, et le correcteur le voit.

Exercice 1 (★) : polynômes

Déterminer la limite de chaque suite :

1. $u_n=3n^2-5n+2$

2. $v_n=-2n^3+n$

3. $w_n=n-\sqrt n$

4. $x_n=5+\dfrac1{n^2}$

✏️ Correction de l'exercice 1

Question 1

Forme indéterminée « $+\infty-\infty$ ». Pour tout $n\ge 1$ , $u_n=n^2\left(3-\dfrac5n+\dfrac2{n^2}\right)$ . Comme $\dfrac5n\to0$ et $\dfrac2{n^2}\to0$ , par somme le facteur tend vers $3$ . Comme $n^2\to+\infty$ , par produit :

✅ $\lim u_n=+\infty$

Question 2

Pour tout $n\ge 1$ , $v_n=n^3\left(-2+\dfrac1{n^2}\right)$ . Comme $\dfrac1{n^2}\to0$ , par somme le facteur tend vers $-2$ . Comme $n^3\to+\infty$ , par produit :

✅ $\lim v_n=-\infty$

Question 3

Forme indéterminée « $+\infty-\infty$ ». Pour tout $n\ge 1$ , $w_n=n-\sqrt n=n\left(1-\dfrac1{\sqrt n}\right)$ . Comme $\dfrac1{\sqrt n}\to0$ , le facteur tend vers $1$ . Comme $n\to+\infty$ , par produit :

✅ $\lim w_n=+\infty$

Question 4

Comme $\dfrac1{n^2}\to0$ , par somme :

✅ $\lim x_n=5$

Il n'y a pas de forme indéterminée.

À retenir : pour un polynôme, la limite est celle de son terme de plus haut degré.

Exercice 2 (★) : fractions rationnelles

1. $u_n=\dfrac{3n+1}{n+4}$

2. $v_n=\dfrac{2n^2+n}{n^3+1}$

3. $w_n=\dfrac{n^3-1}{2n^2+3}$

4. $x_n=\dfrac{-4n^2+1}{n^2-n}$

✏️ Correction de l'exercice 2

Question 1

Forme « $\frac\infty\infty$ ». Pour tout $n\ge 1$ :

u_n=\frac{n\left(3+\frac1n\right)}{n\left(1+\frac4n\right)}=\frac{3+\frac1n}{1+\frac4n}

Le numérateur tend vers $3$ et le dénominateur vers $1$ (non nul). Par quotient :

✅ $\lim u_n=3$

Question 2

Pour tout $n\ge 1$ :

v_n=\frac{n^2\left(2+\frac1n\right)}{n^3\left(1+\frac1{n^3}\right)}=\frac{2+\frac1n}{n\left(1+\frac1{n^3}\right)}

Le numérateur tend vers $2$ , et le dénominateur tend vers $+\infty$ . Par quotient :

✅ $\lim v_n=0$

Question 3

Pour tout $n\ge 1$ :

w_n=\frac{n^3\left(1-\frac1{n^3}\right)}{n^2\left(2+\frac3{n^2}\right)}=n\times\frac{1-\frac1{n^3}}{2+\frac3{n^2}}

Le facteur $\dfrac{1-\frac1{n^3}}{2+\frac3{n^2}}$ tend vers $\dfrac12$ (quotient), et $n\to+\infty$ . Par produit :

✅ $\lim w_n=+\infty$

Question 4

Pour tout $n\ge 2$ :

x_n=\frac{n^2\left(-4+\frac1{n^2}\right)}{n^2\left(1-\frac1n\right)}=\frac{-4+\frac1{n^2}}{1-\frac1n}

Le numérateur tend vers $-4$ et le dénominateur vers $1$ (non nul). Par quotient :

✅ $\lim x_n=-4$

Règle utile : degré du numérateur plus petit : limite $0$ ; degrés égaux : quotient des coefficients dominants ; degré du numérateur plus grand : $\pm\infty$ (avec la règle des signes).

Exercice 3 (★★) : les racines carrées

1. $u_n=\sqrt{n^2+1}-n$

2. $v_n=\sqrt{n+3}-\sqrt{n-1}$ , pour $n\ge 1$

3. $w_n=\sqrt{4n^2+n}-2n$

4. $x_n=\sqrt{n^2+n}-n$

✏️ Correction de l'exercice 3

Méthode. Dans les quatre cas, on est dans la forme « $+\infty-\infty$ ». On multiplie et on divise par la quantité conjuguée (strictement positive), avec $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ .

Question 1

Pour tout $n\in\N$ :

u_n=\frac{(n^2+1)-n^2}{\sqrt{n^2+1}+n}=\frac1{\sqrt{n^2+1}+n}

Le dénominateur tend vers $+\infty$ , donc :

✅ $\lim u_n=0$

Question 2

Pour tout $n\ge 1$ :

v_n=\frac{(n+3)-(n-1)}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n-1}}=\frac4{\sqrt{n+3}+\sqrt{n-1}}

Le dénominateur tend vers $+\infty$ , donc :

✅ $\lim v_n=0$

Question 3

Pour tout $n\ge 1$ :

w_n=\frac{(4n^2+n)-4n^2}{\sqrt{4n^2+n}+2n}=\frac{n}{\sqrt{4n^2+n}+2n}

On divise le numérateur et le dénominateur par $n>0$ (avec $n=\sqrt{n^2}$ ) :

w_n=\frac1{\sqrt{4+\frac1n}+2}

Comme $\dfrac1n\to0$ , $\sqrt{4+\frac1n}\to2$ par composition. Par somme et quotient :

✅ $\lim w_n=\dfrac14$

Question 4

Pour tout $n\ge 1$ :

x_n=\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}=\frac1{\sqrt{1+\frac1n}+1}

Comme $\dfrac1n\to0$ , $\sqrt{1+\frac1n}\to1$ par composition. Par somme et quotient :

✅ $\lim x_n=\dfrac12$

Piège évité : $\sqrt{n^2+n}-n$ ne tend pas vers $0$ , mais vers $\dfrac12$ . Le calcul « $\sqrt{n^2}-n=0$ » est faux ici.

Exercice 4 (★★) : les puissances

1. $u_n=2^n-5^n$

2. $v_n=\dfrac{3^n+2^n}{3^n-2^n}$

3. $w_n=\dfrac{2^{n+1}+3^n}{4^n}$

4. $x_n=0{,}9^n+\dfrac1n$

✏️ Correction de l'exercice 4

Question 1

Pour tout $n\in\N$ , $u_n=5^n\left(\left(\dfrac25\right)^n-1\right)$ . Comme $-1<\dfrac25<1$ , $\left(\dfrac25\right)^n\to0$ , donc le facteur tend vers $-1$ . Comme $5>1$ , $5^n\to+\infty$ . Par produit :

✅ $\lim u_n=-\infty$

Question 2

Pour tout $n\ge 1$ , on divise le numérateur et le dénominateur par $3^n\neq0$ :

v_n=\frac{1+\left(\frac23\right)^n}{1-\left(\frac23\right)^n}

Comme $-1<\dfrac23<1$ , $\left(\dfrac23\right)^n\to0$ . Le numérateur tend vers $1$ et le dénominateur vers $1$ (non nul). Par quotient :

✅ $\lim v_n=1$

Question 3

Pour tout $n\in\N$ :

w_n=2\times\frac{2^n}{4^n}+\frac{3^n}{4^n}=2\left(\frac12\right)^n+\left(\frac34\right)^n

Comme $-1<\dfrac12<1$ et $-1<\dfrac34<1$ , $\left(\dfrac12\right)^n\to0$ et $\left(\dfrac34\right)^n\to0$ . Par produit et par somme :

✅ $\lim w_n=0$

Question 4

Comme $-1<0{,}9<1$ , $0{,}9^n\to0$ , et $\dfrac1n\to0$ . Par somme :

✅ $\lim x_n=0$

Astuce : avec des puissances, la plus grande base « écrase » les autres. On factorise par elle, ou on divise par elle.

Exercice 5 (★★) : sommes géométriques

Rappel : pour $q\neq1$ , $1+q+q^2+\dots+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$ .

1. $S_n=1+\dfrac12+\dfrac14+\dots+\dfrac1{2^n}$ . Déterminer la limite de $(S_n)$ .

2. $T_n=1+3+9+\dots+3^n$ . Déterminer la limite de $(T_n)$ .

✏️ Correction de l'exercice 5

Question 1

La somme $S_n$ est celle de $n+1$ termes d'une suite géométrique de raison $q=\dfrac12\neq1$ . Donc :

S_n=\frac{1-\left(\frac12\right)^{n+1}}{1-\frac12}=2\left(1-\left(\frac12\right)^{n+1}\right)=2-\left(\frac12\right)^n

Comme $-1<\dfrac12<1$ , $\left(\dfrac12\right)^n\to0$ . Par somme :

✅ $\lim S_n=2$

Question 2

La somme $T_n$ est celle de $n+1$ termes d'une suite géométrique de raison $q=3\neq1$ . Donc :

T_n=\frac{1-3^{n+1}}{1-3}=\frac{3^{n+1}-1}{2}

Comme $3>1$ , $3^{n+1}\to+\infty$ . Par somme et produit :

✅ $\lim T_n=+\infty$

À retenir : si $|q|<1$ , la somme converge vers $\dfrac1{1-q}$ . Sinon ( $q\ge1$ ), elle diverge.

Exercice 6 (★★) : la définition d'une limite infinie

Soit $u_n=n^2-3n$ . Déterminer un entier $n_0$ tel que, pour tout $n\ge n_0$ , $u_n\ge 1000$ . Que peut-on en déduire pour $(u_n)$ ?

✏️ Correction de l'exercice 6

Pour tout $n\in\N$ , $u_n=n(n-3)$ .

Soit $n\ge 34$ . Alors $n\ge34$ et $n-3\ge31$ , donc, tous ces nombres étant positifs :

u_n=n(n-3)\ge 34\times31=1054\ge1000

Vérification que $34$ est le plus petit entier convenable :

$u_{33}=33\times30=990<1000$

$u_{34}=34\times31=1054\ge1000$

✅ On peut donc prendre $n_0=34$ .

Conclusion. Le même raisonnement fonctionne pour n'importe quel seuil $A$ : à partir d'un certain rang, $u_n\ge A$ . C'est la définition de :

✅ $\lim u_n=+\infty$

Exercice 7 (★★) : la définition d'une limite finie

Soit $u_n=\dfrac{2n+3}{n+1}$ .

1. Montrer que $u_n=2+\dfrac1{n+1}$ .

2. Déterminer un rang à partir duquel $|u_n-2|<10^{-3}$ .

3. Que peut-on en déduire pour $(u_n)$ ?

✏️ Correction de l'exercice 7

Question 1

Pour tout $n\in\N$ :

2+\frac1{n+1}=\frac{2(n+1)+1}{n+1}=\frac{2n+3}{n+1}=u_n

✅ Donc $u_n=2+\dfrac1{n+1}$ .

Question 2

Pour tout $n\in\N$ , $|u_n-2|=\dfrac1{n+1}$ . On a $\dfrac1{n+1}<10^{-3}\iff n+1>1000\iff n\ge1000$ ( $n$ est entier).

✅ Donc, pour tout $n\ge1000$ , $|u_n-2|<10^{-3}$ .

Question 3

Le même raisonnement fonctionne pour n'importe quelle précision $\varepsilon>0$ : dès que $n+1>\dfrac1\varepsilon$ , $|u_n-2|<\varepsilon$ .

✅ Donc $(u_n)$ converge vers $2$ .

On le retrouve aussi directement : $\dfrac1{n+1}\to0$ , donc $u_n\to2$ par somme.

Exercice 8 (★★) : le signe du dénominateur

1. $v_n=\dfrac{n^2+1}{2-n}$ , pour $n\ge3$

2. $w_n=\dfrac{5n+1}{3-n}$ , pour $n\ge4$

✏️ Correction de l'exercice 8

Question 1

Pour tout $n\ge3$ :

v_n=\frac{n^2\left(1+\frac1{n^2}\right)}{n\left(\frac2n-1\right)}=n\times\frac{1+\frac1{n^2}}{\frac2n-1}

Comme $\dfrac1{n^2}\to0$ et $\dfrac2n\to0$ , le facteur $\dfrac{1+\frac1{n^2}}{\frac2n-1}$ tend, par quotient, vers $\dfrac1{-1}=-1$ . Comme $n\to+\infty$ , par produit :

✅ $\lim v_n=-\infty$

Question 2

Pour tout $n\ge4$ :

w_n=\frac{n\left(5+\frac1n\right)}{n\left(\frac3n-1\right)}=\frac{5+\frac1n}{\frac3n-1}

Le numérateur tend vers $5$ et le dénominateur vers $-1$ (non nul). Par quotient :

✅ $\lim w_n=-5$

Piège évité : le dénominateur $2-n$ est négatif pour $n\ge3$ . Le signe change tout : ici la limite est $-\infty$ , pas $+\infty$ . Écris toujours le signe du dénominateur.

Exercice 9 (★★★) : vrai ou faux, avec justification

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse, et justifier (par une preuve ou un contre-exemple).

1. Toute suite qui tend vers $+\infty$ est croissante.

2. Toute suite convergente est bornée.

3. Toute suite bornée converge.

4. Si $u_n\to0$ , alors $\dfrac1{u_n}\to+\infty$ .

5. Si $u_n\to+\infty$ et $v_n\to0$ , alors $u_nv_n\to0$ .

6. La suite $\big((-1)^n\big)$ n'a pas de limite.

✏️ Correction de l'exercice 9

Affirmation 1

Contre-exemple : $u_n=n+(-1)^n$ . On a $u_0=1$ , $u_1=0$ et $u_2=3$ : comme $u_1<u_0$ , la suite n'est pas croissante. Pourtant, pour tout $n$ , $(-1)^n\ge-1$ , donc $u_n\ge n-1$ , et par comparaison $u_n\to+\infty$ .

❌ Faux.

Affirmation 2

Soit $(u_n)$ convergente vers $\ell$ .

Il existe un rang $N$ tel que, pour tout $n\ge N$ , $u_n\in\,]\ell-1\,;\ell+1[$ .

Les termes $u_0,\dots,u_{N-1}$ sont en nombre fini : soit $M$ le plus grand des nombres $|u_0|,\dots,|u_{N-1}|,|\ell|+1$ .

Alors $|u_n|\le M$ pour tout $n$ : la suite est bornée.

✅ Vrai.

Affirmation 3

Contre-exemple : $u_n=(-1)^n$ vérifie $-1\le u_n\le1$ , mais ne converge pas (affirmation 6).

❌ Faux.

Affirmation 4

Contre-exemple : $u_n=\dfrac{(-1)^n}{n}$ tend vers $0$ (gendarmes), mais $\dfrac1{u_n}=(-1)^nn$ n'a pas de limite. Autre contre-exemple : $u_n=-\dfrac1n\to0$ et $\dfrac1{u_n}=-n\to-\infty$ . Tout dépend du signe.

❌ Faux.

Affirmation 5

C'est une forme indéterminée « $\infty\times0$ ». Contre-exemple : $u_n=n\to+\infty$ et $v_n=\dfrac1n\to0$ , mais $u_nv_n=1$ pour tout $n\ge1$ , donc $u_nv_n\to1$ .

❌ Faux.

Affirmation 6

Les termes valent alternativement $1$ et $-1$ .

Si la suite convergeait vers $\ell$ , les termes de rang pair (égaux à $1$ ) donneraient $\ell=1$ et ceux de rang impair (égaux à $-1$ ) donneraient $\ell=-1$ : c'est impossible.

La suite n'a donc pas de limite.

✅ Vrai.

Méthode : pour prouver qu'une affirmation est fausse, un seul contre-exemple suffit. Pour prouver qu'elle est vraie, il faut une démonstration.

Exercice 10 (★★★) : le télescopage

Pour $n\ge1$ , on pose $S_n=\dfrac1{1\times2}+\dfrac1{2\times3}+\dots+\dfrac1{n(n+1)}$ .

1. Vérifier que, pour tout $k\ge1$ , $\dfrac1{k(k+1)}=\dfrac1k-\dfrac1{k+1}$ .

2. En déduire une expression simple de $S_n$ , puis la limite de $(S_n)$ .

✏️ Correction de l'exercice 10

Question 1

Pour tout $k\ge1$ :

\frac1k-\frac1{k+1}=\frac{(k+1)-k}{k(k+1)}=\frac1{k(k+1)}

Question 2

Pour tout $n\ge1$ :

S_n=\left(\frac11-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac13\right)+\dots+\left(\frac1n-\frac1{n+1}\right)

Chaque terme négatif se simplifie avec le terme positif suivant (télescopage) : il ne reste que le premier et le dernier.

✅ $S_n=1-\dfrac1{n+1}$

Comme $\dfrac1{n+1}\to0$ , par somme :

✅ $\lim S_n=1$

🎯 Ce qui peut tomber au bac sur les limites

Une limite directe ou une forme indéterminée avec factorisation (exercices 1, 2, 8).
Une quantité conjuguée (exercice 3).
Une suite avec des puissances ou une somme géométrique (exercices 4 et 5).
La définition de la limite, avec un seuil (exercices 6 et 7).
Un vrai/faux en QCM (exercice 9), ou un télescopage (exercice 10).

QCM : vérifie tes acquis

10 questions, une seule bonne réponse chacune. Choisis une réponse : la correction s'affiche tout de suite. Ton score est enregistré dans Mon espace.

Question 1 sur 10

Quelle est la limite de $n^2-3n+1$ quand $n\to+\infty$ ?

Question 2 sur 10

Quelle est la limite de $\dfrac{3n^2+1}{n^2+5}$ quand $n\to+\infty$ ?

Question 3 sur 10

Quelle est la limite de $\left(-\dfrac12\right)^n$ ?

Question 4 sur 10

Quelle est la limite de $1{,}01^n$ quand $n\to+\infty$ ?

Question 5 sur 10

La suite $(-2)^n$ :

Question 6 sur 10

Dans l'exercice 1, quelle est la limite de $v_n=-2n^3+n$ ?

Question 7 sur 10

Dans l'exercice 3, quelle est la limite de $w_n=\sqrt{4n^2+n}-2n$ ?

Question 8 sur 10

Dans l'exercice 5, quelle est la limite de $S_n=1+\dfrac12+\dfrac14+\dots+\dfrac1{2^n}$ ?

Question 9 sur 10

Dans l'exercice 6, pour $u_n=n^2-3n$ , à partir de quel rang $n_0$ a-t-on $u_n\ge1\,000$ ?

Question 10 sur 10

Dans l'exercice 9 (vrai ou faux), l'affirmation « toute suite convergente est bornée » est :

Un doute sur ce chapitre ? On en parle ensemble, sans engagement.

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