Terminale Spé Maths / Chapitre 1 : Suites

Fiche 1 : la récurrence

Huit exercices, du plus doux (★) au plus « bac » (★★★).

La récurrence, c'est un jeu de dominos : il faut pousser le premier (initialisation) et vérifier que chaque domino fait tomber le suivant (hérédité). Sans le premier, tu obtiens un magnifique alignement de dominos… debout.

Toutes les corrections de cette fiche sont rédigées comme on l'attend au bac.

💡 Le modèle de rédaction à connaître presque par cœur

Soit $P(n)$ la propriété « … ».

Initialisation : pour $n=n_0$ , … Donc $P(n_0)$ est vraie.

Hérédité : soit $k\ge n_0$ un entier fixé tel que $P(k)$ soit vraie (hypothèse de récurrence). Montrons que $P(k+1)$ est vraie. … (ici, on utilise l'hypothèse de récurrence) …

Conclusion : $P(n_0)$ est vraie et $P$ est héréditaire, donc $P(n)$ est vraie pour tout $n\ge n_0$ .

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Écrire « supposons $P(n)$ vraie pour tout $n$ » : c'est exactement ce qu'on veut démontrer. On suppose $P(k)$ pour un entier $k$ fixé.
Oublier l'initialisation, ou la faire au mauvais rang (si la propriété commence à $n=1$ , on n'initialise pas à $0$ ).
Une hérédité qui n'utilise jamais l'hypothèse de récurrence : ce n'est pas une récurrence.
Oublier la conclusion. Elle rapporte un point facile, ne le laisse pas au correcteur.
Dans une inégalité, multiplier par un nombre négatif sans retourner le sens.

Astuce : dans l'hérédité, écris d'abord ce que tu veux obtenir au rang $k+1$ sur un brouillon, puis « fabrique-le » à partir de l'hypothèse. Et pense à factoriser : la clé est presque toujours un facteur $(k+1)$ .

Exercice 1 (★) : la somme des entiers

Démontrer que, pour tout entier $n\ge 1$ , $1+2+3+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ .

✏️ Correction de l'exercice 1

Soit $P(n)$ la propriété : « $1+2+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ ».

Initialisation

Pour $n=1$ , le membre de gauche vaut $1$ et le membre de droite vaut $\dfrac{1\times 2}{2}=1$ . Donc $P(1)$ est vraie.

Hérédité

Soit $k\ge 1$ un entier fixé tel que $P(k)$ soit vraie : $1+2+\dots+k=\dfrac{k(k+1)}{2}$ (hypothèse de récurrence). Montrons que $P(k+1)$ est vraie.

D'après l'hypothèse de récurrence :

1+2+\dots+k+(k+1)=\frac{k(k+1)}{2}+(k+1)

On factorise par $(k+1)$ :

(k+1)\left(\frac k2+1\right)=\frac{(k+1)(k+2)}{2}=\frac{(k+1)\big((k+1)+1\big)}{2}

Donc $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion

$P(1)$ est vraie et $P$ est héréditaire à partir du rang $1$ .

✅ Donc, d'après le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout entier $n\ge 1$ .

Exercice 2 (★★) : la somme des carrés

Démontrer que, pour tout entier $n\ge 1$ , $1^2+2^2+\dots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ .

✏️ Correction de l'exercice 2

Soit $P(n)$ la propriété : « $1^2+2^2+\dots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ ».

Initialisation

Pour $n=1$ , le membre de gauche vaut $1$ et le membre de droite vaut $\dfrac{1\times 2\times 3}{6}=1$ . Donc $P(1)$ est vraie.

Hérédité

Soit $k\ge 1$ un entier fixé tel que $1^2+\dots+k^2=\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}$ (hypothèse de récurrence). Montrons que $P(k+1)$ est vraie.

1^2+\dots+k^2+(k+1)^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2

On factorise par $(k+1)$ :

(k+1)\times\frac{k(2k+1)+6(k+1)}{6}=\frac{(k+1)(2k^2+7k+6)}{6}

Or $(k+2)(2k+3)=2k^2+3k+4k+6=2k^2+7k+6$ . On obtient donc $\dfrac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$ , c'est-à-dire $\dfrac{(k+1)\big((k+1)+1\big)\big(2(k+1)+1\big)}{6}$ . Donc $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion

$P(1)$ est vraie et $P$ est héréditaire à partir du rang $1$ .

✅ Donc $P(n)$ est vraie pour tout entier $n\ge 1$ .

Exercice 3 (★) : une inégalité avec une puissance

Démontrer que, pour tout $n\in\N$ , $2^n\ge n+1$ .

✏️ Correction de l'exercice 3

Soit $P(n)$ la propriété : « $2^n\ge n+1$ ».

Initialisation

Pour $n=0$ , $2^0=1$ et $0+1=1$ . Comme $1\ge 1$ , $P(0)$ est vraie.

Hérédité

Soit $k\in\N$ fixé tel que $2^k\ge k+1$ (hypothèse de récurrence). Montrons que $2^{k+1}\ge (k+1)+1$ .

Comme $2>0$ , on peut multiplier l'hypothèse de récurrence par $2$ sans changer le sens de l'inégalité :

2^{k+1}=2\times 2^k\ge 2(k+1)=2k+2

Or $2k+2\ge k+2$ car $k\ge 0$ . Donc $2^{k+1}\ge k+2=(k+1)+1$ : $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion

$P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire.

✅ Donc $2^n\ge n+1$ pour tout $n\in\N$ .

Exercice 4 (★★) : trouver puis démontrer une formule explicite

On définit $u_0=1$ et, pour tout $n\in\N$ , $u_{n+1}=2u_n+3$ .

1. Calculer $u_1$ , $u_2$ et $u_3$ .

2. Vérifier que les valeurs sont cohérentes avec $u_n=2^{n+2}-3$ , puis démontrer par récurrence que cette formule est vraie pour tout $n\in\N$ .

✏️ Correction de l'exercice 4

Question 1

$u_1=2\times 1+3=5$

$u_2=2\times 5+3=13$

$u_3=2\times 13+3=29$

Question 2

Avec la formule : $2^{1+2}-3=5$ , $2^{2+2}-3=13$ , $2^{3+2}-3=29$ . Ces valeurs sont cohérentes.

Soit $P(n)$ la propriété : « $u_n=2^{n+2}-3$ ».

Initialisation. Pour $n=0$ , $2^{0+2}-3=4-3=1=u_0$ . Donc $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k\in\N$ fixé tel que $u_k=2^{k+2}-3$ (hypothèse de récurrence). Alors :

u_{k+1}=2u_k+3=2\left(2^{k+2}-3\right)+3=2^{k+3}-6+3=2^{k+3}-3=2^{(k+1)+2}-3

Donc $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire.

✅ Donc $u_n=2^{n+2}-3$ pour tout $n\in\N$ .

Exercice 5 (★★) : encadrement et monotonie

On définit $u_0=1$ et, pour tout $n\in\N$ , $u_{n+1}=\dfrac{u_n}{2}+1$ .

1. Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in\N$ , $1\le u_n\le 2$ .

2. En déduire que la suite $(u_n)$ est croissante.

✏️ Correction de l'exercice 5

Question 1

Soit $P(n)$ la propriété : « $1\le u_n\le 2$ ».

Initialisation. $u_0=1$ , donc $1\le u_0\le 2$ : $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k\in\N$ fixé tel que $1\le u_k\le 2$ (hypothèse de récurrence).

En divisant par $2$ : $\dfrac12\le\dfrac{u_k}{2}\le 1$ .

En ajoutant $1$ : $\dfrac32\le\dfrac{u_k}{2}+1\le 2$ , c'est-à-dire $\dfrac32\le u_{k+1}\le 2$ .

Comme $1\le\dfrac32$ , on en déduit $1\le u_{k+1}\le 2$ : $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire.

✅ Donc $1\le u_n\le 2$ pour tout $n\in\N$ .

Question 2

Pour tout $n\in\N$ :

u_{n+1}-u_n=\frac{u_n}{2}+1-u_n=1-\frac{u_n}{2}=\frac{2-u_n}{2}

D'après la question 1, $u_n\le 2$ , donc $2-u_n\ge 0$ et $u_{n+1}-u_n\ge 0$ .

✅ La suite $(u_n)$ est croissante.

À retenir : l'encadrement démontré en 1 sert à étudier le signe en 2.

C'est le schéma classique du bac.

On verra dans la fiche 3 que la suite converge, puis que sa limite vaut $2$ .

Exercice 6 (★★★) : l'inégalité de Bernoulli

Soit $a$ un réel strictement supérieur à $-1$ .

1. Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in\N$ , $(1+a)^n\ge 1+na$ .

2. En déduire que, si $q>1$ , alors $q^n\to+\infty$ .

✏️ Correction de l'exercice 6

Question 1

Soit $P(n)$ la propriété : « $(1+a)^n\ge 1+na$ ».

Initialisation. Pour $n=0$ , $(1+a)^0=1$ et $1+0\times a=1$ . Donc $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k\in\N$ fixé tel que $(1+a)^k\ge 1+ka$ (hypothèse de récurrence).

Comme $a>-1$ , on a $1+a>0$ : on peut multiplier l'hypothèse de récurrence par $(1+a)$ sans changer le sens de l'inégalité.

On obtient :

(1+a)^{k+1}\ge(1+a)(1+ka)=1+ka+a+ka^2=1+(k+1)a+ka^2

Comme $ka^2\ge 0$ , on a $(1+a)^{k+1}\ge 1+(k+1)a$ : $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire.

✅ Donc $(1+a)^n\ge 1+na$ pour tout $n\in\N$ .

Question 2

Soit $q>1$ . On pose $a=q-1>0$ , donc $a>-1$ . D'après la question 1, pour tout $n\in\N$ :

q^n=(1+a)^n\ge 1+n(q-1)

Comme $q-1>0$ , $\lim\big(1+n(q-1)\big)=+\infty$ . D'après le théorème de comparaison :

✅ $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}q^n=+\infty$

Exercice 7 (★★★) : conjecturer, puis démontrer

On définit $u_0=0$ et, pour tout $n\in\N$ , $u_{n+1}=u_n+2n+3$ .

1. Calculer $u_1$ , $u_2$ , $u_3$ et $u_4$ .

2. Conjecturer une expression de $u_n$ en fonction de $n$ .

3. Démontrer cette conjecture par récurrence.

✏️ Correction de l'exercice 7

Question 1

$u_1=0+3=3$

$u_2=3+5=8$

$u_3=8+7=15$

$u_4=15+9=24$

Question 2

Les valeurs $3$ , $8$ , $15$ , $24$ sont égales à $n^2+2n$ pour $n=1{,}2{,}3{,}4$ ( $1+2$ , $4+4$ , $9+6$ , $16+8$ ). On conjecture que $u_n=n^2+2n$ pour tout $n\in\N$ . Cette conjecture reste à démontrer.

Question 3

Soit $P(n)$ la propriété : « $u_n=n^2+2n$ ».

Initialisation. Pour $n=0$ , $0^2+2\times 0=0=u_0$ : $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k\in\N$ fixé tel que $u_k=k^2+2k$ (hypothèse de récurrence). Alors :

u_{k+1}=u_k+2k+3=k^2+2k+2k+3=k^2+4k+3

Or $(k+1)^2+2(k+1)=k^2+2k+1+2k+2=k^2+4k+3$ . Donc $u_{k+1}=(k+1)^2+2(k+1)$ : $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire.

✅ Donc $u_n=n^2+2n$ pour tout $n\in\N$ .

Exercice 8 (★★) : une divisibilité

Démontrer que, pour tout $n\in\N$ , $4^n-1$ est divisible par $3$ .

✏️ Correction de l'exercice 8

Soit $P(n)$ la propriété : « $4^n-1$ est divisible par $3$ ».

Initialisation

Pour $n=0$ , $4^0-1=0=3\times 0$ , donc $P(0)$ est vraie.

Hérédité

Soit $k\in\N$ fixé tel que $4^k-1$ soit divisible par $3$ . Il existe un entier $m$ tel que $4^k-1=3m$ , donc $4^k=3m+1$ (hypothèse de récurrence). Alors :

4^{k+1}-1=4\times 4^k-1=4(3m+1)-1=12m+3=3(4m+1)

avec $4m+1$ entier. Donc $4^{k+1}-1$ est divisible par $3$ : $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion

$P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire.

✅ Donc $4^n-1$ est divisible par $3$ pour tout $n\in\N$ .

🎯 Ce qui peut tomber au bac sur la récurrence

Une formule explicite à démontrer (exercices 4 et 7).
Un encadrement ou une monotonie pour une suite définie par $u_{n+1}=f(u_n)$ (exercice 5, et la fiche 5).
Une inégalité qui sert à trouver une limite (exercices 3 et 6).
Plus rarement : une somme ou une divisibilité (exercices 1, 2 et 8).

Si tu sais faire ces huit exercices sans regarder la correction, tu peux passer à la fiche 2.

QCM : vérifie tes acquis

10 questions, une seule bonne réponse chacune. Choisis une réponse : la correction s'affiche tout de suite. Ton score est enregistré dans Mon espace.

Question 1 sur 10

Dans une démonstration par récurrence, l'hérédité consiste à montrer que :

Question 2 sur 10

Que se passe-t-il si l'on oublie l'initialisation ?

Question 3 sur 10

On veut prouver $u_n=2^{n+1}-1$ pour $u_0=1$ et $u_{n+1}=2u_n+1$ . Dans l'hérédité, on remplace $u_k$ par :

Question 4 sur 10

Que vaut $\dfrac{n(n+1)}2$ pour $n=4$ ?

Question 5 sur 10

Pour prouver par récurrence que $3^n\ge2n+1$ , on part dans l'hérédité de $3^{k+1}=3\times3^k\ge$ :

Question 6 sur 10

Dans l'exercice 2 de cette fiche, quelle formule démontre-t-on par récurrence ?

Question 7 sur 10

Dans l'exercice 4, avec $u_0=1$ et $u_{n+1}=2u_n+3$ , que vaut $u_2$ ?

Question 8 sur 10

Dans l'exercice 6, l'inégalité de Bernoulli $(1+a)^n\ge1+na$ est démontrée par récurrence pour :

Question 9 sur 10

Dans l'exercice 7, avec $u_0=0$ et $u_{n+1}=u_n+2n+3$ , quelle formule explicite conjecture-t-on puis démontre-t-on ?

Question 10 sur 10

Dans l'exercice 8, quel reste obtient-on toujours en divisant $4^n-1$ par $3$ ?

Un doute sur ce chapitre ? On en parle ensemble, sans engagement.

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