Bac 2023, Centres étrangers : exercice 2

Partie A

Question 1.

La trottinette est en bon état lors de sa mise en service, donc $p_0=1$.

D'après l'énoncé, lorsqu'une trottinette est en bon état un lundi, elle est encore en bon état le lundi suivant avec la probabilité $0{,}9$. Donc :

On traduit les données de l'énoncé pour l'arbre pondéré de la deuxième semaine :

• $P(B_1)=0{,}9$ et $P\left(\overline{B_1}\right)=1-0{,}9=0{,}1$

• $P_{B_1}(B_2)=0{,}9$ et $P_{B_1}\left(\overline{B_2}\right)=0{,}1$

• $P_{\overline{B_1}}(B_2)=0{,}4$ et $P_{\overline{B_1}}\left(\overline{B_2}\right)=0{,}6$.

Les évènements $B_1$ et $\overline{B_1}$ forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales :

On applique la formule $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$ :

On calcule :

Donc $p_1=0{,}9$ et $p_2=0{,}85$.

Réponse : $p_1=0{,}9$   $p_2=0{,}85$.

Question 2.

L'arbre complété se lit ainsi (l'arbre est dessiné par l'élève) :

• $P(B_n)=p_n$

• de $B_n$ partent deux branches : vers $B_{n+1}$ avec la probabilité $0{,}9$, vers $\overline{B_{n+1}}$ avec la probabilité $0{,}1$

• $P\left(\overline{B_n}\right)=1-p_n$

• de $\overline{B_n}$ partent deux branches : vers $B_{n+1}$ avec la probabilité $0{,}4$, vers $\overline{B_{n+1}}$ avec la probabilité $0{,}6$.

Donc l'arbre est complété par les pondérations $1-p_n$, $0{,}9$, $0{,}1$, $0{,}4$ et $0{,}6$.

Question 3.

Les évènements $B_n$ et $\overline{B_n}$ forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales, pour tout entier naturel $n$ :

D'après l'arbre :

Donc, pour tout entier naturel $n$, $p_{n+1}=0{,}5\,p_n+0{,}4$.

Question 4. a)

On démontre par récurrence la propriété $\mathcal{P}(n)$ : « $p_n\geqslant0{,}8$ ».

Initialisation. On a $p_0=1\geqslant0{,}8$ : $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k$ un entier naturel fixé tel que $\mathcal{P}(k)$ soit vraie, c'est-à-dire $p_k\geqslant0{,}8$ (hypothèse de récurrence). Montrons $\mathcal{P}(k+1)$.

On multiplie l'inégalité par $0{,}5>0$, ce qui conserve le sens :

On ajoute $0{,}4$ aux deux membres :

Or, d'après la question 3, $p_{k+1}=0{,}5\,p_k+0{,}4$. Donc $p_{k+1}\geqslant0{,}8$ : $\mathcal{P}(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $\mathcal{P}(0)$ est vraie et $\mathcal{P}$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, $p_n\geqslant0{,}8$ pour tout entier naturel $n$.

Question 4. b)

Pour tout entier naturel $n$, la probabilité qu'une trottinette soit en bon état $n$ semaines après sa mise en service est $p_n\geqslant0{,}8$.

Donc l'entreprise peut communiquer qu'à chaque contrôle, une trottinette a au moins $80\,\%$ de chances d'être en bon état, c'est-à-dire qu'au moins $80\,\%$ des trottinettes du parc sont en bon état.

Question 5. a)

Pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=p_n-0{,}8$ et :

Le premier terme est $u_0=p_0-0{,}8=1-0{,}8=0{,}2$.

Donc la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $0{,}5$ et de premier terme $u_0=0{,}2$.

Question 5. b)

Une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ vérifie $u_n=u_0\,q^n$. Donc, pour tout entier naturel $n$ :

Comme $p_n=u_n+0{,}8$ :

Donc $u_n=0{,}2\times0{,}5^n$ et $p_n=0{,}8+0{,}2\times0{,}5^n$.

Réponse : $u_n=0{,}2\times0{,}5^n$   $p_n=0{,}8+0{,}2\times0{,}5^n$.

Question 5. c)

Comme $-1<0{,}5<1$, on a $\lim\limits_{n\to+\infty}0{,}5^n=0$.

Donc $\lim\limits_{n\to+\infty}0{,}2\times0{,}5^n=0$, puis par somme :

Donc la suite $(p_n)$ converge vers $0{,}8$ : à long terme, une trottinette est en bon état avec la probabilité $0{,}8$.

Réponse : $\lim\limits_{n\to+\infty}p_n=0{,}8$.

Partie B

Question 1.

On prélève $15$ trottinettes. Ce prélèvement est assimilé à un tirage avec remise, et l'état d'une trottinette est indépendant de celui des autres.

On répète donc $15$ fois, de façon identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli dont le succès est « la trottinette est en bon état », de probabilité $p=0{,}8$.

La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès : elle suit la loi binomiale de paramètres $n=15$ et $p=0{,}8$.

Donc $X\sim\mathcal{B}(15\,;0{,}8)$.

Question 2.

Les $15$ trottinettes sont en bon état si et seulement si $X=15$. Donc :

Donc la probabilité que les $15$ trottinettes soient en bon état est environ $0{,}035$ (arrondie au millième).

Réponse : $P(X=15)=0{,}8^{15}\approx0{,}035$.

Question 3.

L'évènement « au moins $10$ trottinettes en bon état » est $\{X\geqslant10\}$, de contraire $\{X\leqslant9\}$. Donc :

À la calculatrice, avec la loi binomiale $\mathcal{B}(15\,;0{,}8)$ : $P(X\leqslant9)\approx0{,}061$, donc :

Donc la probabilité qu'au moins $10$ trottinettes d'un lot de $15$ soient en bon état est environ $0{,}939$ (arrondie au millième).

Réponse : $P(X\geqslant10)\approx0{,}939$.

Question 4.

L'espérance d'une loi binomiale vaut $E(X)=np=15\times0{,}8=12$.

Donc, sur un grand nombre de lots de $15$ trottinettes, le nombre moyen de trottinettes en bon état par lot est $12$.

Points clés attendus

• Formule des probabilités totales avec la partition $\{B_n\,;\overline{B_n}\}$ citée, et traduction des données en probabilités conditionnelles.

• Récurrence rédigée en trois temps (initialisation, hérédité avec hypothèse de récurrence, conclusion).

• Suite géométrique : calcul de $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$, raison et premier terme précisés, limite de $0{,}5^n$ justifiée par $-1<0{,}5<1$.

• Loi binomiale : répétition de $15$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, paramètres $n=15$ et $p=0{,}8$.

• Passage par l'évènement contraire pour $P(X\geqslant10)$, arrondis demandés respectés, interprétation de l'espérance.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.