Première Spé Maths

Logique, ensembles et listes Python

Le programme officiel de maths comporte trois parties transversales, qui servent dans tous les chapitres : « Vocabulaire ensembliste et logique », « Algorithmique et programmation » (avec la notion de liste) et « Automatismes » (traités dans la page qui leur est consacrée). Cette page rassemble les deux premières, avec des exemples courts.

Tu y trouveras des astuces 💡, des pièges ⚠️ et un peu d'humour 😄.

1. Le vocabulaire des ensembles

Les ensembles de nombres.

Ces ensembles sont emboîtés : $\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb D\subset\mathbb Q\subset\mathbb R$.

Exemple (intervalles). $A=[1\,;\,5]$ et $B=]3\,;\,8]$. Alors $A\cap B=]3\,;\,5]$ et $A\cup B=[1\,;\,8]$.

Exemple (complémentaire). Dans $\mathbb{R}$, le complémentaire de $]-\infty\,;\,2]$ est $]2\,;\,+\infty[$.

Exemple (cardinal). $A=\{2\,;\,4\,;\,6\}$ a pour cardinal $\mathrm{Card}(A)=3$, et $\mathrm{Card}(\varnothing)=0$.

Exemple (produit cartésien). $\{1\,;\,2\}\times\{a\,;\,b\}=\{(1\,;\,a)\,;\,(1\,;\,b)\,;\,(2\,;\,a)\,;\,(2\,;\,b)\}$ : $2\times2=4$ couples, et $\mathrm{Card}(\{1\,;\,2\}\times\{a\,;\,b\})=4$.

2. Connecteurs, implication, réciproque, contraposée, équivalence

Exemples. « $x\geqslant-2$ et $x\leqslant3$ » signifie $x\in[-2\,;\,3]$. « $x<-2$ ou $x>3$ » signifie $x\in]-\infty\,;\,-2[\ \cup\ ]3\,;\,+\infty[$. Pour $x=4$, la proposition « $x>3$ ou $x$ est pair » est vraie, et elle est vraie aussi pour $x=6$ (les deux sont vraies).

Exemple. « Si $x=2$, alors $x^2=4$ » est vraie. Sa réciproque « si $x^2=4$, alors $x=2$ » est fausse : $x=-2$ convient aussi.

Exemple. « Si $n$ est un multiple de $4$, alors $n$ est pair » est vraie. Sa contraposée « si $n$ est impair, alors $n$ n'est pas un multiple de $4$ » est vraie aussi.

Utiliser l'équivalence dans un raisonnement. Quand on résout une équation, chaque ligne doit être équivalente à la précédente : on ne perd ni n'ajoute de solution.

Attention : élever au carré donne seulement une implication. De $x=-1$, on tire $x^2=1$, mais $x^2=1$ n'entraîne pas $x=-1$ : $x=1$ convient aussi.

Le statut des égalités et des lettres.

Quantificateurs, en français. On dit « pour tout » et « il existe ». Les symboles $\forall$ et $\exists$ existent, mais ils ne sont pas exigibles : tu peux (et tu dois) écrire en français.

Quantifications implicites. Dans une phrase conditionnelle, le « pour tout » est souvent caché : « si $x>2$, alors $x^2>4$ » signifie « pour tout réel $x$, si $x>2$ alors $x^2>4$ ». Pour la nier, il faut le rétablir : « il existe un réel $x>2$ tel que $x^2\leqslant4$ ».

Contre-exemple. Pour réfuter une phrase commençant par « pour tout », un seul exemple suffit. « Tous les nombres premiers sont impairs » est fausse : $2$ est premier et pair.

Exemple. « Pour tout réel $x$, $x^2>x$ » est fausse : pour $x=\dfrac12$, $x^2=\dfrac14<\dfrac12$.

3. Raisonnements : disjonction des cas, contraposée, absurde

4. Notion de liste (algorithmique et programmation)

En Première, la seule notion nouvelle est celle de liste. Le reste consolide ce que tu connais : variables, instructions conditionnelles, boucles, fonctions.

def est_pair(n):
    return n % 2 == 0

print(est_pair(6), est_pair(7))   # affiche True False

Une liste range plusieurs valeurs entre crochets. Les éléments sont numérotés à partir de 0.

L = [3, 1, 4, 1, 5]
print(L[0])      # affiche 3 (premier élément)
print(L[-1])     # affiche 5 (dernier élément)
print(len(L))    # affiche 5 (nombre d'éléments)
L[1] = 7         # modifie le deuxième élément
print(L)         # affiche [3, 7, 4, 1, 5]

Générer une liste : en extension, par ajouts successifs, en compréhension.

A = [2, 4, 6]            # en extension

B = []                    # par ajouts successifs
for k in range(1, 4):
    B.append(2 * k)       # B vaut [2, 4, 6]

C = [2 * k for k in range(1, 4)]   # en compréhension : [2, 4, 6]

Ajouter, supprimer, extraire.

L = [3, 1, 4]
L.append(9)      # ajoute à la fin : [3, 1, 4, 9]
L.remove(1)      # supprime la première valeur 1 : [3, 4, 9]
L.pop(0)         # supprime l'élément d'indice 0 : [4, 9]
L.insert(1, 8)   # insère 8 à l'indice 1 : [4, 8, 9]
print(L[0:2])    # affiche [4, 8] (indices 0 et 1, pas le 2)
print(sum(L), max(L), min(L))   # affiche 21 9 4

Parcourir une liste. On peut prendre les éléments un par un (itérer sur les éléments), ou passer par les indices.

L = [3, 1, 4]
for x in L:
    print(x)             # affiche 3, puis 1, puis 4

for i in range(len(L)):
    print(i, L[i])       # affiche 0 3, puis 1 1, puis 2 4

Liste en compréhension et ensemble. Une liste en compréhension se lit comme un ensemble défini par une condition. La liste [k for k in range(1, 11) if k % 3 == 0] correspond à l'ensemble $\{k\in\mathbb N\ |\ 1\leqslant k\leqslant10\ \text{et}\ k\ \text{multiple de}\ 3\}=\{3\,;\,6\,;\,9\}$.

carres = [k ** 2 for k in range(1, 6)]
print(carres)     # affiche [1, 4, 9, 16, 25]

pairs = [k for k in range(10) if k % 2 == 0]
print(pairs)      # affiche [0, 2, 4, 6, 8]

M = [k for k in range(1, 31) if k % 3 == 0 and k % 5 == 0]
print(M, len(M))  # affiche [15, 30] 2   (condition avec et)

La condition d'une liste en compréhension utilise les connecteurs de la partie 2 : and pour « et », or pour « ou » (inclusif), not pour la négation.

Un exemple de suite. On range les termes de $u_0=2$, $u_{n+1}=3u_n-1$ dans une liste :

u = [2]
for n in range(5):
    u.append(3 * u[-1] - 1)
print(u)   # affiche [2, 5, 14, 41, 122, 365]

Histoire des mathématiques. De nombreux textes témoignent d'une préoccupation algorithmique au long de l'Histoire. Quand un texte historique décrit une méthode de calcul, on peut la transformer en algorithme, voire en programme, ou faire l'inverse : ce changement de registre donne du sens au formalisme. Le programme cite par exemple le calcul de la racine carrée chez Héron d'Alexandrie (voir l'exercice 8).

5. Huit exercices

Exercice 1 (★) : intervalles et ensembles

Soient $A=[-2\,;\,3]$ et $B=]1\,;\,6[$.

1. Déterminer $A\cap B$ et $A\cup B$.

2. Déterminer le complémentaire de $A$ dans $\mathbb{R}$.

Exercice 2 (★★) : réciproque, contraposée, négation

On considère l'implication « si $x>2$, alors $x^2>4$ ».

1. Énoncer sa réciproque. Est-elle vraie ?

2. Énoncer sa contraposée. Est-elle vraie ?

3. Écrire, en français, la négation de « pour tout réel $x$, $x^2>x$ » puis dire si la phrase de départ est vraie.

Exercice 3 (★★) : disjonction de cas et absurde

1. Montrer que, pour tout entier $n$, $n^2+n$ est pair.

2. Montrer par l'absurde qu'il n'existe pas d'entier $n$ tel que $n^2+1$ soit divisible par $4$.

Exercice 4 (★★) : listes et suites

On définit $u_0=1$ et $u_{n+1}=2u_n+3$.

1. Écrire un script Python qui range $u_0,\dots,u_5$ dans une liste.

2. Quelle liste obtient-on ? En déduire $u_5$.

u = [1]
for n in range(5):
    u.append(2 * u[-1] + 3)
print(u)

Exercice 5 (★) : connecteurs, identités, quantifications implicites

1. Traduire avec « et » ou « ou » : $x\in[-2\,;\,3]$ ; puis $x\in]-\infty\,;\,-2[\ \cup\ ]3\,;\,+\infty[$.

2. Les égalités suivantes sont-elles des identités ou des équations ? (a) $(x+1)^2=x^2+2x+1$ ; (b) $x^2=4$ ; (c) $2(x+3)=2x+6$.

3. Dans $mx+2=0$, quel est le rôle de $x$ ? de $m$ ? Résoudre cette équation pour $m\neq0$.

4. Rétablir la quantification cachée dans « si $x>2$, alors $x^2>4$ », puis écrire la négation de cette phrase. Cette négation est-elle vraie ?

Exercice 6 (★★) : résoudre par équivalences

1. Résoudre $2x+3=7$ en écrivant des équivalences.

2. Résoudre $(x-1)(x+2)=0$ en justifiant chaque équivalence.

3. On considère l'équation $\sqrt{x+2}=x$. Montrer que $\sqrt{x+2}=x\Rightarrow x^2=x+2$, résoudre $x^2=x+2$, puis conclure : l'implication précédente est-elle une équivalence ?

Exercice 7 (★★) : listes, ensembles et cardinaux

On note $A$ l'ensemble des multiples de $3$ compris entre $1$ et $30$, et $B$ celui des multiples de $5$ compris entre $1$ et $30$.

1. Écrire en Python la liste A en compréhension. Quel est $\mathrm{Card}(A)$ ?

2. Déterminer $A\cap B$ et $A\cup B$ à la main, puis donner leurs cardinaux.

3. Écrire en compréhension la liste de $A\cap B$, puis celle de $A\cup B$ (avec « ou »).

4. Pour la liste U de $A\cup B$, quelles instructions suppriment 15 puis ajoutent 33 à la fin ? Que vaut len(U) ensuite ?

A = [k for k in range(1, 31) if k % 3 == 0]

I = [k for k in range(1, 31) if k % 3 == 0 and k % 5 == 0]   # [15, 30]
U = [k for k in range(1, 31) if k % 3 == 0 or k % 5 == 0]    # 14 éléments

U.remove(15)
U.append(33)

Exercice 8 (★★) : un algorithme de calcul de racine carrée

Pour approcher $\sqrt2$, on utilise la méthode attribuée à Héron d'Alexandrie : $u_0=1$ et, pour tout $n$, $u_{n+1}=\dfrac{u_n+\dfrac2{u_n}}2$.

1. Écrire cet algorithme en langage naturel, avec le symbole $\leftarrow$, pour calculer $u_3$.

2. Écrire un script Python qui range $u_0,\dots,u_3$ dans une liste.

3. Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$ sous forme de fractions. Vérifier que $u_3$ approche $\sqrt2$ à moins de $10^{-5}$.

u = [1]
for n in range(3):
    u.append((u[-1] + 2 / u[-1]) / 2)
print(u)