Guide de rédaction : suites numériques

🎯 Le principe du chapitre

Avec les suites, un correcteur regarde surtout cinq choses :

• la relation $u_{n+1}=\dots$ écrite avant d'annoncer la nature de la suite ;
• la différence $u_{n+1}-u_n$ ou le quotient calculés pour tout $n$ ;
• la formule citée (terme général, somme) ;
• le nombre de termes compté avec soin ;
• la conclusion en contexte, avec l'unité.

Situation 1 : calculer des termes d'une suite explicite.

« $u_n=2n^2-3n+1$. $u_3=2\times9-3\times3+1=10$. »

Situation 2 : calculer des termes d'une suite définie par récurrence.

« $v_0=3$ et $v_{n+1}=2v_n-1$. $v_1=2\times3-1=5$, $v_2=2\times5-1=9$. »

Situation 3 : sens de variation avec $u_{n+1}-u_n$.

« Pour tout $n\in\N$, $u_{n+1}-u_n=3(n+1)+2-(3n+2)=3>0$. Donc $(u_n)$ est strictement croissante. »

⚠️ Remplace $n$ par $n+1$ partout, puis simplifie.

Situation 4 : sens de variation avec le quotient.

« Tous les termes sont strictement positifs et $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=1{,}2>1$. Donc $(u_n)$ est strictement croissante. »

💡 Pour une suite géométrique de raison $q>0$, $u_{n+1}-u_n=u_0q^n(q-1)$ : le signe dépend de celui de $u_0$ et de $q-1$. Si $u_0<0$ et $0<q<1$, la suite est croissante.

Situation 5 : prouver qu'une suite est arithmétique.

« Pour tout $n$, $u_{n+1}-u_n=4(n+1)-7-(4n-7)=4$. La différence est constante : $(u_n)$ est arithmétique de raison $4$ et de premier terme $u_0=-7$. »

Situation 6 : prouver qu'une suite est géométrique.

« Pour tout $n$, $u_{n+1}=0{,}8\,u_n$. Donc $(u_n)$ est géométrique de raison $0{,}8$ et de premier terme $u_0=1\,000$. »

Situation 7 : prouver qu'une suite n'est pas arithmétique.

« $v_1-v_0=1$ et $v_2-v_1=3$. Les différences ne sont pas égales : $(v_n)$ n'est pas arithmétique. »

💡 Un contre-exemple suffit pour réfuter, mais il faut la différence pour tout $n$ pour prouver.

Situation 8 : terme général avec deux termes donnés.

« $u_7=u_3+(7-3)r$, donc $23=11+4r$ et $r=3$. Puis $u_0=u_3-3r=2$. Donc $u_n=2+3n$. »

Situation 9 : somme de termes consécutifs (arithmétique).

« Il y a $10-0+1=11$ termes. $S=11\times\dfrac{u_0+u_{10}}2=11\times\dfrac{5+35}2=220$. »

⚠️ Nombre de termes = dernier rang $-$ premier rang $+1$.

Situation 10 : somme de termes consécutifs (géométrique).

« $q=2\neq1$ et il y a $6$ termes. $S=u_0\times\dfrac{1-q^6}{1-q}=3\times\dfrac{1-64}{1-2}=189$. »

Situation 11 : une évolution en pourcentage.

« Une hausse de $3\,\%$ correspond à un coefficient multiplicateur de $1+\dfrac3{100}=1{,}03$. Donc $C_{n+1}=1{,}03\,C_n$ : $(C_n)$ est géométrique de raison $1{,}03$ et de premier terme $5\,000$. Donc $C_n=5\,000\times1{,}03^n$. »

Situation 12 : un seuil avec Python.

« On écrit une boucle while : $n$ augmente tant que $C_n<10\,000$. Le script renvoie $24$. Vérification : $C_{23}\approx9\,868<10\,000$ et $C_{24}\approx10\,164\ge10\,000$. Le capital double au bout de $24$ ans. »

💡 Vérifie la valeur trouvée avec deux termes consécutifs.

Situation 13 : une suite qui commence à $u_1$.

« $u_1=30$ et $u_{k+1}=u_k-2$ : $(u_k)$ est arithmétique de raison $-2$. Donc $u_k=u_1+(k-1)r=30-2(k-1)=32-2k$. »

Situation 14 : comparer deux suites.

« $A_{10}=1\,500$ et $B_{10}\approx1\,480{,}24$. Au bout de $10$ ans, le plan A est plus avantageux. Le script montre que $B_n>A_n$ à partir de $n=12$. Ensuite, $B_{n+1}-B_n=0{,}04\,B_n>64>50=A_{n+1}-A_n$ : l'écart augmente, le plan B reste meilleur. »

Situation 15 : passer d'une récurrence à une formule explicite (motif, dénombrement).

« $T_1=1$ et $T_{n+1}=T_n+(n+1)$. Les écarts $2$, $3$, $4$ ne sont pas constants : la suite n'est pas arithmétique. En additionnant les écarts, $T_n=1+2+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}2$. Vérification : $T_4=\dfrac{4\times5}2=10$. »

Situation 16 : lire un nuage de points.

« Les points semblent alignés, avec une montée de $1{,}5$ à chaque pas : on conjecture une suite arithmétique de raison $1{,}5$. Preuve : $a_{n+1}-a_n=1{,}5$ pour tout $n$. »

💡 Le graphique donne une conjecture, jamais une preuve.

a) Une suite arithmétique.

❌ « $u_n=4n-7$ est arithmétique. »

✅ « Pour tout $n$, $u_{n+1}-u_n=4$ : la suite est arithmétique de raison $4$. »

La première n'a rien prouvé.

b) Un nombre de termes.

❌ « De $u_3$ à $u_{10}$, il y a $7$ termes. »

✅ « De $u_3$ à $u_{10}$, il y a $10-3+1=8$ termes. »

c) Une évolution en pourcentage.

❌ « Une hausse de $3\,\%$ : on multiplie par $0{,}03$. »

✅ « Une hausse de $3\,\%$ : on multiplie par $1{,}03$. »

d) Une conclusion.

❌ « $n=24$. »

✅ « Le capital dépasse $10\,000$ € au bout de $24$ ans. »

• J'ai écrit la relation $u_{n+1}=\dots$ avant d'annoncer la nature de la suite.
• J'ai calculé $u_{n+1}-u_n$ (ou le quotient) pour tout $n$.
• J'ai cité la formule (terme général, somme) et compté les termes.
• Pour un pourcentage, j'ai écrit le coefficient multiplicateur.
• Pour un seuil, j'ai vérifié avec deux termes consécutifs.
• Ma conclusion est en contexte, avec l'unité.

😄 Une suite qui « a l'air » arithmétique, c'est un candidat qui « a l'air » d'avoir révisé : le correcteur veut une preuve.