Fiche 2 : suites arithmétiques

Question 1

$(u_n)$ est arithmétique : $u_n=u_0+nr$.

✅ $u_n=5+3n$

$u_{10}=5+30$

✅ $u_{10}=35$

Question 2

Il y a $10-0+1=11$ termes. Par la formule de la somme :

$S=11\times\dfrac{u_0+u_{10}}2=11\times\dfrac{5+35}2=11\times20$

✅ $S=220$

Question 3

La raison $r=3>0$.

✅ La suite $(u_n)$ est strictement croissante.

Question 1

Pour une suite arithmétique, $u_7=u_3+(7-3)r$, donc $23=11+4r$ et $r=3$.

Puis $u_3=u_0+3r$, donc $u_0=11-9=2$.

✅ $r=3$ et $u_0=2$

Question 2

✅ $u_n=2+3n$

$u_{20}=2+60$

✅ $u_{20}=62$

Question 3

$u_n=101\iff2+3n=101\iff n=33$.

✅ Le terme égal à $101$ est $u_{33}$.

Question 1

Pour tout $n\in\N$ : $u_{n+1}-u_n=4(n+1)-7-(4n-7)=4$.

✅ La suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $4$ et de premier terme $-7$.

Question 2

$v_{n+1}-v_n=(n+1)^2-n^2=2n+1$, qui dépend de $n$ (par exemple $v_1-v_0=1$ et $v_2-v_1=3$).

❌ La suite $(v_n)$ n'est pas arithmétique.

Question 3

Par définition, $w_{n+1}=w_n+5$ pour tout $n$.

✅ La suite $(w_n)$ est arithmétique de raison $5$ et de premier terme $1$.

Question 1

$100$ termes, premier terme $1$, dernier terme $100$ :

$S=100\times\dfrac{1+100}2$

✅ $S=5\,050$

Question 2

Les nombres impairs forment une suite arithmétique de premier terme $1$ et de raison $2$. Il y a $20$ termes, le dernier est $39$ :

$S=20\times\dfrac{1+39}2=20\times20$

✅ $S=400$

Question 3

Les termes sont $5+3k$. Le dernier est $50=5+3k$, donc $k=15$ : les termes vont de $k=0$ à $k=15$, soit $16$ termes.

$S=16\times\dfrac{5+50}2=8\times55$

✅ $S=440$

Question 1

Chaque année, le salaire augmente de $40$ € : $u_{n+1}=u_n+40$.

✅ $(u_n)$ est arithmétique de raison $40$ et de premier terme $1\,500$ : $u_n=1\,500+40n$.

Question 2

$u_{10}=1\,500+400$

✅ Après $10$ ans, le salaire mensuel est de $1\,900$ €.

Question 3

On additionne les $10$ termes $u_0,\dots,u_9$, avec $u_9=1\,500+360=1\,860$ :

$S=10\times\dfrac{1\,500+1\,860}2=5\times3\,360$

✅ $S=16\,800$

Interprétation : si l'on additionne le salaire mensuel de chacune des $10$ premières années (un mois par année), on obtient $16\,800$ €.

Affirmation 1

$u_{n+1}-u_n=r<0$ pour tout $n$ : la suite est strictement décroissante.

✅ Vrai.

Affirmation 2

Trois termes ne suffisent pas : par exemple, $u_3$ pourrait valoir $20$. Il faut $u_{n+1}-u_n$ constante pour tout $n$.

❌ Faux.

Affirmation 3

C'est la définition : $u_{n+1}-u_n=r$ pour tout $n$.

✅ Vrai.

Question 1

On note $S=1+2+\dots+n$. On l'écrit dans l'autre sens : $S=n+(n-1)+\dots+1$.

On additionne terme à terme : chaque somme vaut $n+1$ et il y a $n$ colonnes. Donc $2S=n(n+1)$.

✅ $S=\dfrac{n(n+1)}2$.

Question 2

Pour $n=100$ : $\dfrac{100\times101}2=5050$.

Pour $n=2025$ : $\dfrac{2025\times2026}2=2025\times1013=2\,051\,325$.

✅ $5050$ et $2\,051\,325$.

Question 3

On factorise par $2$ : $2+4+\dots+2n=2(1+2+\dots+n)=2\times\dfrac{n(n+1)}2$.

✅ $2+4+\dots+2n=n(n+1)$.

Question 1

def somme(n):
    u = 5
    S = u
    for k in range(n):
        u = u + 3
        S = S + u
    return S

print(somme(10))

Le script affiche 220, ce qui est bien la valeur $S=220$ obtenue avec la formule à l'exercice 1.

Question 2

L = [5 + 3 * k for k in range(11)]
S = 0
for x in L:
    S = S + x
print(L)
print(S)

La liste est [5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35] et la somme affichée vaut 220.

Question 3

n = 0
u = 5
S = 5
while S <= 1000:
    n = n + 1
    u = u + 3
    S = S + u
print(n)

Le script affiche 24. Vérification avec la formule : $u_0+\dots+u_n=(n+1)\times\dfrac{5+(5+3n)}2$. Pour $n=23$ : $24\times\dfrac{5+74}2=948\leqslant1\,000$. Pour $n=24$ : $25\times\dfrac{5+77}2=1\,025>1\,000$.

✅ Il faut additionner les termes jusqu'à $u_{24}$ pour dépasser $1\,000$.

Question 1

On lit $a_0=2$, $a_1=3{,}5$ et $a_2=5$.

Question 2

Les points semblent alignés : on conjecture une suite arithmétique. On passe de chaque point au suivant en montant de $1{,}5$.

✅ On conjecture une suite arithmétique de raison $1{,}5$.

Question 3

$a_n=a_0+nr=2+1{,}5\,n$ et $a_{20}=2+1{,}5\times20=32$.

✅ $a_n=2+1{,}5\,n$, $a_{20}=32$, et les points sont sur la droite d'équation $y=1{,}5x+2$ (fonction affine).

Question 4

On suppose que $a_n=2+1{,}5\,n$ pour tout $n$. Alors $a_{n+1}-a_n=2+1{,}5(n+1)-(2+1{,}5\,n)=1{,}5$, constant.

✅ La suite $(a_n)$ est arithmétique de raison $1{,}5$. (Le graphique ne prouvait que la conjecture.)