Probabilités conditionnelles et indépendance : exercices de synthèse

L'arbre a trois branches de premier niveau ($0{,}5$, $0{,}3$, $0{,}2$) et deux branches par nœud ($D$ et $\overline{D}$).

$A$, $B$, $C$ forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales :

$P(D)=0{,}5\times0{,}03+0{,}3\times0{,}04+0{,}2\times0{,}05=0{,}015+0{,}012+0{,}010=0{,}037$.

✅ $P(D)=0{,}037$.

$P_D(A)=\dfrac{0{,}015}{0{,}037}=\dfrac{15}{37}\approx0{,}405$.

$P_D(B)=\dfrac{0{,}012}{0{,}037}=\dfrac{12}{37}\approx0{,}324$ et $P_D(C)=\dfrac{0{,}010}{0{,}037}=\dfrac{10}{37}\approx0{,}270$.

Vérification : $\dfrac{15+12+10}{37}=1$.

✅ L'atelier $A$ est le plus probable (environ $40{,}5\,\%$), alors que $C$ est le plus défectueux par appareil.

Les deux prélèvements sont indépendants : $P=0{,}037\times0{,}037=0{,}037^2$.

✅ $P\approx0{,}00137$.

• Q1 : arbre complet, branches de somme $1$.

• Q2 : partition citée, trois chemins additionnés.

• Q3 : formule d'inversion pour chaque atelier, vérification de la somme.

• Q4 : hypothèse d'indépendance citée avant de multiplier.

Une réponse sur $4$ est correcte et l'élève répond au hasard.

✅ $P(S)=\dfrac14$ et $P(\overline{S})=\dfrac34$.

Les réponses sont indépendantes : $P=\left(\dfrac14\right)^4=\dfrac1{256}$.

✅ $P=\dfrac1{256}\approx0{,}0039$.

Le contraire est « aucune bonne réponse » : $\left(\dfrac34\right)^4=\dfrac{81}{256}$.

✅ $P=1-\dfrac{81}{256}=\dfrac{175}{256}\approx0{,}684$.

Il y a $4$ chemins possibles (la bonne réponse est à la question $1$, $2$, $3$ ou $4$). Chaque chemin vaut $\dfrac14\times\left(\dfrac34\right)^3=\dfrac{27}{256}$.

✅ $P=4\times\dfrac{27}{256}=\dfrac{27}{64}\approx0{,}422$.

Les chemins à deux bonnes réponses sont $SS\overline{S}\,\overline{S}$, $S\overline{S}S\overline{S}$, $S\overline{S}\,\overline{S}S$, $\overline{S}SS\overline{S}$, $\overline{S}S\overline{S}S$ et $\overline{S}\,\overline{S}SS$ : il y en a $6$. Chacun a pour probabilité $\left(\dfrac14\right)^2\times\left(\dfrac34\right)^2=\dfrac9{256}$ (hypothèse d'indépendance).

✅ $P=6\times\dfrac9{256}=\dfrac{54}{256}=\dfrac{27}{128}\approx0{,}211$.

Nombres de chemins : $1$, $4$, $6$, $4$, $1$. Probabilités : $P(0)=\dfrac{81}{256}$, $P(1)=4\times\dfrac{27}{256}=\dfrac{108}{256}$, $P(2)=\dfrac{54}{256}$, $P(3)=4\times\dfrac3{256}=\dfrac{12}{256}$ et $P(4)=\dfrac1{256}$.

Bonnes réponses	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
Probabilité	$\dfrac{81}{256}$	$\dfrac{108}{256}$	$\dfrac{54}{256}$	$\dfrac{12}{256}$	$\dfrac1{256}$

✅ Somme : $\dfrac{81+108+54+12+1}{256}=\dfrac{256}{256}=1$.

Par le contraire : $P(\text{au moins 2})=1-P(0)-P(1)=1-\dfrac{81+108}{256}=\dfrac{67}{256}$. Par la somme : $\dfrac{54+12+1}{256}=\dfrac{67}{256}$.

✅ $P\approx0{,}262$ : environ une chance sur quatre de valider au hasard.

• Q1 : probabilités de $S$ et $\overline{S}$ justifiées.

• Q2 : indépendance citée, puissance.

• Q3 : passage par le contraire.

• Q4 : nombre de chemins puis produit.

• Q5 : les six chemins écrits, probabilité d'un chemin, produit.

• Q6 : les cinq probabilités et la somme vérifiée.

• Q7 : « au moins deux » par le contraire, recoupé par la somme.

Le point est tiré uniformément dans le carré : la probabilité d'être dans une région est le rapport des aires.

Le carré a pour aire $1$ et la région $E$ a pour aire $\dfrac13$.

✅ $P(E)=\dfrac{1/3}{1}=\dfrac13$.

from random import random

def estime(n):
    dessous = 0
    for _ in range(n):
        x, y = random(), random()
        if y <= x ** 2:
            dessous += 1
    return dessous / n

La fonction compte les points sous la courbe et renvoie la fréquence.

$\dfrac13\approx0{,}3333$ et l'écart avec $0{,}3318$ est d'environ $0{,}0015$.

✅ Le résultat est cohérent : la fréquence est proche de la probabilité exacte.

La symétrie par rapport à la droite $y=x$ échange $x$ et $y$ : elle conserve le carré et les aires, et elle envoie la parabole $y=x^2$ sur la courbe $y=\sqrt x$ (pour $x\geqslant0$). Elle envoie donc la région au-dessus de la parabole, $x^2\leqslant y$, sur la région sous la courbe $y=\sqrt x$, $y\leqslant\sqrt x$. Ces deux régions ont la même aire.

La région au-dessus de la parabole est le complément de $E$ dans le carré : son aire est $1-\dfrac13=\dfrac23$. Aire sous $\sqrt x$ $=\dfrac23$. Dans le script, la condition devient y <= x ** 0.5.

✅ La fréquence doit approcher $\dfrac23\approx0{,}667$.

• Q1 : rapport d'aires justifié.

• Q2 : boucle, compteur, fréquence.

• Q3 : comparaison à la valeur exacte.

• Q4 : argument de symétrie, condition modifiée, valeur $\dfrac23$.