Première Spé Maths / Chapitre 5 : Fonction exponentielle

Fonction exponentielle : le cours

Une colonie de bactéries double en une heure.

Une somme placée à intérêts composés grandit chaque année d'un pourcentage fixe.

Un médicament s'élimine du sang à un rythme proportionnel à sa concentration.

Dans tous ces cas, la vitesse d'évolution est proportionnelle à la quantité elle-même. Écrit avec une dérivée, cela donne $f'=f$ : la fonction est égale à sa propre dérivée.

La fonction qui fait cela s'appelle la fonction exponentielle.

Elle est partout dans le programme de Terminale, et au bac.

Ce chapitre t'apprend à la manier sans te tromper.

Dans tout le cours, tu verras des astuces 💡, des pièges ⚠️ et un peu d'humour 😄.

1. Définition de la fonction exponentielle

Pourquoi $f(0)=1$ ? Sans cette condition, toute fonction $k\,f$ avec $k$ réel vérifie aussi $(kf)'=kf$. La condition $f(0)=1$ fixe le choix : c'est le point $A(0\,;\,1)$ de la courbe.

Que dit $\exp'=\exp$ ? En chaque point, la pente de la tangente est égale à l'ordonnée du point. Plus la courbe est haute, plus elle monte vite : c'est le comportement d'une croissance qui s'emballe.

2. Une première propriété : l'exponentielle ne s'annule jamais

Démonstration. Posons $\varphi(x)=\exp(x)\exp(-x)$. La fonction $\varphi$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. Pour dériver $x\mapsto\exp(-x)$, on utilise le résultat admis plus haut avec $a=-1$ et $b=0$ : $\big(\exp(-x)\big)'=-\exp(-x)$.

$\varphi'(x)=\exp(x)\exp(-x)+\exp(x)\times\big(-\exp(-x)\big)=0$.

Donc $\varphi$ est constante, égale à $\varphi(0)=\exp(0)\exp(0)=1\times 1=1$.

Le produit de $\exp(x)$ et $\exp(-x)$ vaut $1$ : aucun des deux ne peut être nul. $\square$

Le signe de $\exp(x)$ se déduit de la relation fonctionnelle démontrée à la partie suivante : $\exp(x)>0$ pour tout réel $x$.

3. La relation fonctionnelle et la notation $e^x$

Démonstration. Fixons $a$. Comme $\exp(a)\neq0$ (partie 2), on peut poser $g(x)=\dfrac{\exp(a+x)}{\exp(a)}$. Cette fonction est dérivable et, d'après le résultat admis en partie 1 (avec $a=1$ et $b$ remplacé par la constante $a$), $g'(x)=\dfrac{\exp(a+x)}{\exp(a)}=g(x)$. De plus $g(0)=\dfrac{\exp(a)}{\exp(a)}=1$.

Par unicité, $g=\exp$. Donc $\exp(a+x)=\exp(a)\exp(x)$. $\square$

On pose $e=\exp(1)\approx 2{,}718$. D'après la dernière formule, $\exp(n)=e^n$ pour tout entier $n$. On étend cette écriture à tous les réels :

Exemples.

• $e^{2x+1}\times e^{-x}=e^{2x+1-x}=e^{x+1}$.
• $\dfrac{e^{3x}}{e^{x-2}}=e^{3x-(x-2)}=e^{2x+2}$.
• $(e^{-x})^2=e^{-2x}=\dfrac{1}{e^{2x}}$.
• $e^{x}\left(e^{-x}+1\right)=1+e^x$.

4. Dérivée, variations et courbe

Exemples.

• $f(x)=e^{3x}$ : $f'(x)=3e^{3x}$.
• $g(x)=e^{-2x+1}=e\times e^{-2x}$ : $g'(x)=e\times(-2)e^{-2x}=-2e^{-2x+1}$.
• $h(x)=5e^{x/2}$ : $h'(x)=\dfrac{5}{2}e^{x/2}$.

Pour un produit ou un quotient, tu appliques les formules du chapitre précédent, puis tu factorises par l'exponentielle.

Exemple. $f(x)=(x+1)e^x$. Avec $u=x+1$ et $v=e^x$ : $f'(x)=1\times e^x+(x+1)e^x=(x+2)e^x$.

Comme $e^x>0$, $f'(x)$ a le signe de $x+2$ : $f$ décroît sur $]-\infty\,;\,-2]$ et croît sur $[-2\,;\,+\infty[$.

Pourquoi $e^x\geqslant x+1$ ? Étudions $h(x)=e^x-x-1$. On a $h'(x)=e^x-1$. Comme $e^x$ est croissante et $e^0=1$ : $h'(x)<0$ si $x<0$ et $h'(x)>0$ si $x>0$.

Donc $h$ admet un minimum en $0$, égal à $h(0)=1-0-1=0$. Ainsi $h(x)\geqslant 0$, c'est-à-dire $e^x\geqslant x+1$ pour tout réel $x$.

Le graphique montre aussi la symétrie entre $e^x$ et $e^{-x}$ : leurs courbes sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.

Les courbes de $t\mapsto e^{kt}$ et de $t\mapsto e^{-kt}$ (avec $k>0$)

Exemple. $e^{2t}$ monte plus vite que $e^{t}$, qui monte plus vite que $e^{0{,}5t}$. De même $e^{-2t}$ décroît plus vite que $e^{-t}$.

5. Équations et inéquations

Exemples.

• $e^{2x}=e^{x+3}\iff 2x=x+3\iff x=3$.
• $e^{3x-1}=1\iff e^{3x-1}=e^0\iff 3x-1=0\iff x=\dfrac{1}{3}$.
• $e^{-x}<e^{2}\iff -x<2\iff x>-2$ (ici, c'est le $-x$ qu'on compare, on change le sens en isolant $x$).
• $e^x>-5$ est vraie pour tout réel $x$, car $e^x>0>-5$.
• $e^x=-2$ n'a aucune solution.

Équations qui se ramènent au second degré. On pose $X=e^x$ (avec $X>0$), on résout en $X$, puis on revient à $x$.

Exemple. $e^{2x}-(1+e)\,e^x+e=0$.

Posons $X=e^x>0$ : $X^2-(1+e)X+e=0$. Le discriminant vaut $\Delta=(1+e)^2-4e=(e-1)^2>0$.

Les racines sont $X_1=\dfrac{(1+e)-(e-1)}{2}=1$ et $X_2=\dfrac{(1+e)+(e-1)}{2}=e$.

Les deux sont strictement positives. $e^x=1$ donne $x=0$ ; $e^x=e$ donne $x=1$.

Les solutions sont $0$ et $1$.

6. Exponentielle, suites et modélisation

Exemple. $N(t)=500e^{0{,}4t}$ (bactéries, $t$ en heures). On a $N(0)=500$ et $N'(t)=200e^{0{,}4t}>0$ : la population augmente, et de plus en plus vite.

Python et les seuils. Pour trouver à partir de quelle heure $N(t)$ dépasse $10\,000$, on teste les entiers un par un :

from math import exp

def seuil():
    t = 0
    while 500 * exp(0.4 * t) <= 10000:
        t = t + 1
    return t

print(seuil())   # affiche 8

On obtient $t=8$ : $N(7)\approx 8\,222$ et $N(8)\approx 12\,266$. La population passe au-dessus de $10\,000$ entre la 7e et la 8e heure : elle dépasse $10\,000$ au bout de $8$ heures.

Évolution discrète et évolution continue

Deux modèles décrivent une évolution de la même façon, l'un par pas, l'autre à chaque instant :

Exemple : un capital de $1000$ € à $5\,\%$. En temps discret (intérêts versés chaque année), $u_n=1000\times1{,}05^n$. En temps continu, on modélise par $C(t)=1000\,e^{0{,}05t}$.

from math import exp

for n in (0, 5, 10):
    print(n, round(1000 * 1.05 ** n, 2), round(1000 * exp(0.05 * n), 2))

Les deux modèles sont proches mais différents : $e^{0{,}05}\approx1{,}0513$, donc le modèle continu correspond à une augmentation annuelle d'environ $5{,}13\,\%$ et non $5\,\%$.

Modélisation : capital, décroissance radioactive, dilution

Capital. Un capital de $1000$ € qui croît selon $C(t)=1000\,e^{0{,}05t}$ ($t$ en années) a plus que doublé au bout de $14$ ans : $e^{0{,}7}\approx2{,}014$. Au bout de $13$ ans, ce n'est pas encore le cas : $e^{0{,}65}\approx1{,}916$.

Décroissance radioactive. Le nombre de noyaux d'un échantillon vaut $N(t)=N_0\,e^{-0{,}1t}$ ($t$ en jours). Après $10$ jours, il reste $e^{-1}\approx37\,\%$ des noyaux.

La demi-vie est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux a disparu, c'est-à-dire l'instant $t$ où $N(t)=\dfrac{N_0}{2}$, soit $e^{-0{,}1t}=0{,}5$. Résoudre exactement cette équation demande le logarithme (Terminale), mais un script de seuil donne le premier entier $t$ tel que $e^{-0{,}1t}\leqslant0{,}5$ :

from math import exp

t = 0
while exp(-0.1 * t) > 0.5:
    t = t + 1
print(t)   # affiche 7

On a $e^{-0{,}6}\approx0{,}549>0{,}5$ et $e^{-0{,}7}\approx0{,}497\leqslant0{,}5$ : la demi-vie est comprise entre $6$ et $7$ jours (un pas plus fin donne environ $6{,}9$ jours).

Dilution. Dans un bassin de volume constant dont on renouvelle l'eau en continu, la quantité de polluant suit la loi $Q(t)=Q_0\,e^{-0{,}08t}$ ($t$ en heures). Sa vitesse de variation est $Q'(t)=-0{,}08\,Q(t)$ : elle est proportionnelle à la quantité présente. Version discrète : si $8\,\%$ du polluant part chaque heure, $Q_{n+1}=0{,}92\,Q_n$. Au bout de $10$ heures, il reste $0{,}92^{10}\approx43\,\%$ du polluant dans le modèle discret et $e^{-0{,}8}\approx45\,\%$ dans le modèle continu.

Algorithmique : valeur approchée de $e$, méthode d'Euler

La méthode d'Euler construit point par point une approximation de la solution de $y'=y$ avec $y(0)=1$, c'est-à-dire de la fonction exponentielle. On connaît un point $(x_k\,;\,y_k)$ de la courbe et la pente de la tangente en ce point : $f'(x_k)=f(x_k)=y_k$. On avance d'un pas $h$ le long de cette tangente (approximation affine $f(x+h)\approx f(x)+f'(x)\,h$) :

La suite $(y_k)$ est géométrique de raison $1+h$ : $y_k=(1+h)^k$. Voici un script qui construit les listes des abscisses et des ordonnées :

def euler(h, n):
    X = [0]
    Y = [1]
    for k in range(n):
        X.append(X[-1] + h)
        Y.append(Y[-1] + h * Y[-1])
    return X, Y

X, Y = euler(0.5, 4)
print(X)   # [0, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0]
print(Y)   # [1, 1.5, 2.25, 3.375, 5.0625]

Plus le pas est petit, plus la ligne brisée colle à la courbe. En $x=2$, la valeur exacte est $e^2\approx7{,}389$ :

Avec $n$ pas de longueur $h=\dfrac1n$ entre $0$ et $1$, on obtient $y_n=\left(1+\dfrac1n\right)^n$, qui approche $e^1=e$ :

La valeur de $e$ est $2{,}7182818\dots$ : plus le pas est petit, meilleure est l'approximation.

for n in (10, 100, 1000):
    print(n, round((1 + 1 / n) ** n, 4))

Tu as maintenant le cours. Passe aux trois fiches, aux exercices de synthèse, puis au Guide de rédaction du chapitre.