Fiche 2 : orthogonalité et angles

Question 1

$\overrightarrow{BA}\begin{pmatrix}1-5\\1-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\-2\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}4-5\\5-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}$.

✅ $\overrightarrow{BA}\begin{pmatrix}-4\\-2\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}$.

Question 2

$\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=(-4)\times(-1)+(-2)\times2=4-4=0$.

✅ Les vecteurs $\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont orthogonaux : le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.

Question 3

$AB^2=16+4=20$, $BC^2=1+4=5$ et $AC^2=(4-1)^2+(5-1)^2=9+16=25$.

$AB^2+BC^2=25=AC^2$ : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en $B$.

✅ On retrouve : $ABC$ est rectangle en $B$.

Question 1

$\vec u\cdot\vec v=2m+3(m-1)=5m-3$.

$\vec u\perp\vec v\iff5m-3=0\iff m=\dfrac35$.

✅ Les vecteurs sont orthogonaux si et seulement si $m=\dfrac35$.

Question 2

Colinéaires $\iff$ déterminant nul : $m(m-1)-3\times2=0$, soit $m^2-m-6=0$.

$\Delta=1+24=25$ : $m=\dfrac{1-5}{2}=-2$ ou $m=\dfrac{1+5}{2}=3$.

✅ Les vecteurs sont colinéaires si et seulement si $m=-2$ ou $m=3$.

Question 3

Orthogonaux : $m=\dfrac35$. Colinéaires : $m\in\{-2\,;\,3\}$. Ces ensembles n'ont aucune valeur en commun.

✅ Non : il n'existe aucune telle valeur de $m$ (deux vecteurs non nuls ne peuvent pas être à la fois orthogonaux et colinéaires).

Question 1

$\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix}x-1\\y-2\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}$.

$\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AB}=4(x-1)$, nul si et seulement si $x=1$.

✅ C'est la droite d'équation $x=1$, perpendiculaire à $(AB)$ passant par $A$.

Question 2

$4(x-1)=10\iff x-1=\dfrac52\iff x=\dfrac72$.

✅ C'est la droite d'équation $x=\dfrac72$, perpendiculaire à $(AB)$.

Question 3

$\overrightarrow{MA}\begin{pmatrix}1-x\\2-y\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{MB}\begin{pmatrix}5-x\\2-y\end{pmatrix}$.

$\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=(1-x)(5-x)+(2-y)^2=x^2-6x+5+(y-2)^2=(x-3)^2-4+(y-2)^2$.

$\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\iff(x-3)^2+(y-2)^2=4$ : ce sont les points à la distance $2$ du point $I(3\,;\,2)$, milieu de $[AB]$.

On retrouve la propriété du cours : $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=MI^2-\dfrac{AB^2}{4}=MI^2-4$.

✅ C'est le cercle de diamètre $[AB]$, de centre $I(3\,;\,2)$ et de rayon $\dfrac{AB}{2}=2$. Pour $M$ distinct de $A$ et $B$, l'angle $\widehat{AMB}$ est droit.

Question 1

$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}$ : la droite $(AB)$ est l'axe des abscisses. La hauteur issue de $C$ lui est perpendiculaire.

✅ La hauteur issue de $C$ est la droite d'équation $x=2$.

Question 2

$H$ est sur la hauteur issue de $C$ : $x=2$.

$\overrightarrow{BH}\begin{pmatrix}x-6\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\y\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}$.

$\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC}=-8+4y=0\iff y=2$.

✅ $H(2\,;\,2)$.

Question 3

$\overrightarrow{AH}\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}-4\\4\end{pmatrix}$.

$\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}=-8+8=0$.

✅ $(AH)$ est perpendiculaire à $(BC)$ : $(AH)$ est la troisième hauteur. Les trois hauteurs sont concourantes en $H$ : c'est l'orthocentre de $ABC$.

Question 1

Dans un parallélogramme, $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$.

$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB})\cdot(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})=AD^2-AB^2$.

✅ $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=AD^2-AB^2$.

Question 2

Si $ABCD$ est un losange, $AB=AD$, donc $AD^2-AB^2=0$.

✅ $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=0$ : les diagonales d'un losange sont perpendiculaires.

Question 3

Si les diagonales sont perpendiculaires, $AD^2-AB^2=0$, donc $AD=AB$.

✅ Un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires est un losange.

Question 1

$\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)\cdot\left(\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IA}\right)=MI^2-IA^2$.

Comme $IA=\dfrac{AB}2=3$, on obtient $MI^2-9$.

✅ $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=MI^2-9$.

Question 2

$MI^2-9=7\iff MI^2=16\iff MI=4$.

✅ $\mathcal{E}_{7}$ est le cercle de centre $I$ et de rayon $4$.

Question 3

$MI^2-9=-9\iff MI=0\iff M=I$.

$MI^2-9=-10\iff MI^2=-1$ : impossible.

✅ $\mathcal{E}_{-9}=\{I\}$ et $\mathcal{E}_{-10}=\varnothing$.

Affirmation 1

$\cos\widehat{BAC}=\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{AB\times AC}>0$ : l'angle est aigu.

✅ Vrai.

Affirmation 2

C'est le cercle de diamètre $[AB]$, pas une droite.

❌ Faux.

Affirmation 3

$\cos\theta<0$ donc $\theta\in\left]90°\,;\,180°\right]$ : obtus.

✅ Vrai.

Affirmation 4

Colinéaires : l'angle vaut $0°$ ou $180°$, donc $\cos\theta=\pm1$ et $\vec u\cdot\vec v=\pm\|\vec u\|\|\vec v\|\neq0$.

✅ Vrai.