Guide de rédaction : géométrie repérée

🎯 Le principe du chapitre

Dans un exercice de géométrie repérée, un correcteur regarde surtout cinq choses :

• le vecteur normal ou directeur annoncé ;
• le calcul de $c$ avec un point de la droite ;
• la forme canonique pour un cercle ;
• la vérification avec un point ou une troisième droite ;
• la conclusion : coordonnées, équation, nature de l'ensemble.

Situation 1 : lire un vecteur normal ou directeur

« $d : 2x-3y+6=0$. Un vecteur normal est $\vec n\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}$ et un vecteur directeur est $\vec u\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$. »

Situation 2 : vérifier qu'un point est sur une droite

« $2\times3-3\times4+6=0$, donc $B\in d$. »

Situation 3 : écrire une droite avec un point et un vecteur normal

« $M\in d\iff\overrightarrow{AM}\cdot\vec n=0\iff3(x-1)-(y-2)=0\iff3x-y-1=0$. »

Situation 4 : écrire la droite $(AB)$

« $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}$ est directeur, donc $\vec n\begin{pmatrix}4\\-3\end{pmatrix}$ est normal : $4x-3y+c=0$. $A\in(AB)$ donne $c=-11$. »

Situation 5 : droite parallèle ou perpendiculaire

« Parallèle : même vecteur normal. Perpendiculaire : un vecteur normal orthogonal au premier. Ensuite $c$ avec le point donné. »

Situation 6 : médiatrice d'un segment

« La médiatrice de $[AB]$ passe par le milieu $I$ et a pour vecteur normal $\overrightarrow{AB}$. »

Situation 7 : écrire un cercle

« Le cercle de centre $\Omega(2\,;\,-1)$ et de rayon $3$ : $(x-2)^2+(y+1)^2=9$. »

Situation 8 : reconnaître un cercle

« $x^2+y^2-6x+4y-3=0\iff(x-3)^2+(y+2)^2=16$ : cercle de centre $(3\,;\,-2)$ et de rayon $4$. »

⚠️ Vérifie le signe du second membre.

Situation 9 : cercle de diamètre $[AB]$

« $M\in\mathcal{C}\iff\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$. »

Situation 10 : tangente en un point du cercle

« $A\in\mathcal{C}$ car $\Omega A^2=r^2$. La tangente est perpendiculaire à $(\Omega A)$ : $\overrightarrow{\Omega A}\cdot\overrightarrow{AM}=0$. »

Situation 11 : intersection d'un cercle et d'une droite parallèle à un axe

« Droite $y=3$ : je remplace $y$ par $3$ dans l'équation du cercle, puis je résous en $x$ : $x^2=16$, donc $(-4\,;\,3)$ et $(4\,;\,3)$. »

⚠️ Si le second membre est nul, un seul point ; s'il est négatif, aucun point. Pour chaque point, donne les deux coordonnées.

Situation 12 : orthocentre ou centre du cercle circonscrit

« On écrit deux droites (hauteurs ou médiatrices), on résout le système, puis on vérifie avec la troisième. »

Situation 13 : ensemble de points équidistants de l'axe des abscisses et d'un point $F$

« La distance de $M$ à l'axe est $|y|$. $|y|=MF\iff y^2=MF^2$. Je remplace par les coordonnées, je simplifie, et j'identifie la courbe (une parabole). »

Situation 14 : problème de modélisation

« On traduit la situation en équations (droite, cercle), on résout, puis on interprète avec l'unité du contexte. »

Situation 15 : projeté orthogonal d'un point sur une droite

« $\vec n(a\,;\,b)$ est normal à $d$. Je pose $H=M+t\,\vec n$. $H\in d$ donne une équation en $t$, d'où $t$ puis les coordonnées de $H$. »

« Autre méthode : la perpendiculaire à $d$ passant par $M$ a pour équation ..., et $H$ est le point d'intersection avec $d$. Je vérifie que $H\in d$ et que $\overrightarrow{MH}$ est colinéaire à $\vec n$. »

✅ Check-list avant de rendre la copie

• J'ai écrit le vecteur normal avant l'équation.
• J'ai vérifié avec un point.
• J'ai donné centre et rayon pour un cercle.
• J'ai calculé les deux coordonnées de chaque point.
• J'ai conclu par une phrase.

😄 Un correcteur qui voit « $c=-11$ » avec le calcul de $c$ souffle. Sans le calcul, il cherche le feutre rouge.