Première Spé Maths / Chapitre 3 : Dérivation

Fiche 2 : fonctions dérivées

Sept exercices pour maîtriser les formules de dérivation :

dérivées de polynômes et de sommes ;
dérivée d'un produit ;
dérivée d'un quotient et d'un inverse ;
dérivées avec des fonctions affines : développer ou utiliser la formule de l'inverse ;
dérivées à factoriser (pour préparer l'étude du signe) ;
vrai/faux ;
puissances d'exposant négatif et variations.

Toutes les corrections sont rédigées comme on l'attend d'une bonne copie :

les fonctions $u$ , $v$ et leurs dérivées $u'$ , $v'$ sont écrites avant d'appliquer la formule ;
la formule utilisée est citée ;
le résultat est simplifié, et factorisé quand c'est utile ;
l'ensemble de dérivabilité est précisé quand la fonction n'est pas définie partout.

💡 Le modèle de rédaction d'un produit

« $f$ est dérivable sur $\R$ comme produit de fonctions dérivables. On pose $u(x)=2x-3$ et $v(x)=x^2+x+1$ , donc $u'(x)=2$ et $v'(x)=2x+1$ . Alors $f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=2(x^2+x+1)+(2x-3)(2x+1)=6x^2-2x-1$ . »

Écris $u$ , $u'$ , $v$ , $v'$ chacun sur sa ligne : c'est là que se jouent les erreurs.
Cite la formule, puis remplace.
Simplifie en développant, ou factorise si on te demande le signe.

⚠️ Les pièges classiques

$(uv)'\neq u'v'$ : un produit se dérive en deux termes.
Dans un quotient, le numérateur est $u'v-uv'$ dans cet ordre, et le dénominateur est $v^2$ .
Pour un carré comme $(3x+2)^2$ , ne dérive pas « comme $x^2$ » : développe d'abord. On trouve $18x+12=6(3x+2)$ , pas $2(3x+2)$ .
Laisser une dérivée non simplifiée : on ne voit plus son signe.

😄 Une dérivée qu'on ne factorise pas, c'est un cadeau qu'on ne déballe pas : on ne sait pas ce qu'il y a dedans.

Exercice 1 (★) : dérivées de sommes

Dériver chaque fonction sur l'intervalle indiqué.

1. $f(x)=3x^2-5x+7$ sur $\R$ .

2. $g(x)=x^3+4x^2-x$ sur $\R$ .

3. $h(x)=-2x^4+\dfrac x2-9$ sur $\R$ .

4. $p(x)=3x+\dfrac4x$ sur $]0\,;+\infty[$ .

✏️ Correction de l'exercice 1

Question 1

On dérive terme à terme : $\big(3x^2\big)'=6x$ , $(-5x)'=-5$ , $(7)'=0$ .

✅ $f'(x)=6x-5$

Question 2

$\big(x^3\big)'=3x^2$ , $\big(4x^2\big)'=8x$ , $(-x)'=-1$ .

✅ $g'(x)=3x^2+8x-1$

Question 3

$\big(-2x^4\big)'=-8x^3$ , $\left(\dfrac x2\right)'=\dfrac12$ , $(-9)'=0$ .

✅ $h'(x)=-8x^3+\dfrac12$

Question 4

$(3x)'=3$ et $\left(\dfrac4x\right)'=4\times\left(-\dfrac1{x^2}\right)=-\dfrac4{x^2}$ .

✅ $p'(x)=3-\dfrac4{x^2}$

Exercice 2 (★★) : dérivées de produits

Dériver chaque fonction produit sur l'intervalle indiqué.

1. $f(x)=(2x-3)(x^2+x+1)$ sur $\R$ .

2. $g(x)=(2x-1)\sqrt x$ sur $]0\,;+\infty[$ .

3. $h(x)=(3x^2-1)(x^3+2x)$ sur $\R$ .

✏️ Correction de l'exercice 2

Question 1

$u(x)=2x-3$ , $u'(x)=2$ ; $v(x)=x^2+x+1$ , $v'(x)=2x+1$ .

$f'(x)=2(x^2+x+1)+(2x-3)(2x+1)$

$f'(x)=2x^2+2x+2+4x^2+2x-6x-3$

✅ $f'(x)=6x^2-2x-1$

Question 2

$u(x)=2x-1$ , $u'(x)=2$ ; $v(x)=\sqrt x$ , $v'(x)=\dfrac1{2\sqrt x}$ .

$g'(x)=2\sqrt x+(2x-1)\times\dfrac1{2\sqrt x}=\dfrac{2\sqrt x\times2\sqrt x+2x-1}{2\sqrt x}=\dfrac{4x+2x-1}{2\sqrt x}$

✅ $g'(x)=\dfrac{6x-1}{2\sqrt x}$

Question 3

$u(x)=3x^2-1$ , $u'(x)=6x$ ; $v(x)=x^3+2x$ , $v'(x)=3x^2+2$ .

$h'(x)=6x(x^3+2x)+(3x^2-1)(3x^2+2)$

$h'(x)=6x^4+12x^2+9x^4+6x^2-3x^2-2$

✅ $h'(x)=15x^4+15x^2-2$

Vérification en développant d'abord : $h(x)=3x^5+5x^3-2x$ , donc $h'(x)=15x^4+15x^2-2$ ✓.

Exercice 3 (★★) : dérivées de quotients

Dériver chaque fonction sur l'intervalle indiqué.

1. $f(x)=\dfrac{3x-1}{x+2}$ sur $]-2\,;+\infty[$ .

2. $g(x)=\dfrac{x^2-1}{x^2+1}$ sur $\R$ .

3. $h(x)=\dfrac3{x^2+1}$ sur $\R$ .

4. $k(x)=\dfrac{x^2}{x-1}$ sur $]1\,;+\infty[$ .

✏️ Correction de l'exercice 3

Question 1

$u(x)=3x-1$ , $u'(x)=3$ ; $v(x)=x+2$ , $v'(x)=1$ .

$f'(x)=\dfrac{3(x+2)-(3x-1)\times1}{(x+2)^2}=\dfrac{3x+6-3x+1}{(x+2)^2}$

✅ $f'(x)=\dfrac7{(x+2)^2}$

Question 2

$u(x)=x^2-1$ , $u'(x)=2x$ ; $v(x)=x^2+1$ , $v'(x)=2x$ .

$g'(x)=\dfrac{2x(x^2+1)-(x^2-1)\times2x}{(x^2+1)^2}=\dfrac{2x^3+2x-2x^3+2x}{(x^2+1)^2}$

✅ $g'(x)=\dfrac{4x}{(x^2+1)^2}$

Question 3

On utilise $\left(\dfrac1v\right)'=-\dfrac{v'}{v^2}$ avec $v(x)=x^2+1$ , $v'(x)=2x$ , et le facteur $3$ :

$h'(x)=3\times\left(-\dfrac{2x}{(x^2+1)^2}\right)$

✅ $h'(x)=-\dfrac{6x}{(x^2+1)^2}$

Question 4

$u(x)=x^2$ , $u'(x)=2x$ ; $v(x)=x-1$ , $v'(x)=1$ .

$k'(x)=\dfrac{2x(x-1)-x^2\times1}{(x-1)^2}=\dfrac{2x^2-2x-x^2}{(x-1)^2}=\dfrac{x^2-2x}{(x-1)^2}$

✅ $k'(x)=\dfrac{x(x-2)}{(x-1)^2}$

Exercice 4 (★★) : dérivées avec des fonctions affines

Dériver chaque fonction sur l'intervalle indiqué. On pourra développer d'abord, ou utiliser la formule de l'inverse.

1. $f(x)=(3x-1)^2$ sur $\mathbb R$ .

2. $g(x)=(2x+1)^3$ sur $\mathbb R$ .

3. $h(x)=\dfrac1{4x-1}$ sur $\left]\dfrac14\,;+\infty\right[$ .

4. $k(x)=\dfrac1{(x-2)^2}$ sur $]2\,;+\infty[$ .

✏️ Correction de l'exercice 4

Question 1

On développe : $f(x)=9x^2-6x+1$ .

✅ $f'(x)=18x-6=6(3x-1)$ .

Vérification avec un produit : $u=v=3x-1$ donne $u'v+uv'=3(3x-1)+3(3x-1)=6(3x-1)$ ✓.

Question 2

$(2x+1)^3=(2x+1)(4x^2+4x+1)=8x^3+12x^2+6x+1$ .

✅ $g'(x)=24x^2+24x+6=6(2x+1)^2$ .

Question 3

$h=\dfrac1v$ avec $v(x)=4x-1$ et $v'(x)=4$ ; $v$ ne s'annule pas sur l'intervalle. $h'(x)=-\dfrac{v'(x)}{v(x)^2}$ .

✅ $h'(x)=-\dfrac4{(4x-1)^2}$ .

Question 4

$k=\dfrac1v$ avec $v(x)=(x-2)^2=x^2-4x+4$ et $v'(x)=2x-4=2(x-2)$ ; $v$ ne s'annule pas sur $]2\,;+\infty[$ .

k'(x)=-\dfrac{v'(x)}{v(x)^2}=-\dfrac{2(x-2)}{(x-2)^4}

✅ $k'(x)=-\dfrac2{(x-2)^3}$ .

(On retrouve le résultat en écrivant $k(x)=(x-2)^{-2}$ et en dérivant comme une puissance : le facteur $-2$ apparaît.)

Exercice 5 (★★) : dériver puis factoriser

Pour chaque fonction, calculer la dérivée, la factoriser au maximum, puis résoudre $f'(x)=0$ .

1. $f(x)=x^3-6x^2+9x+1$ sur $\R$ .

2. $g(x)=2x^3-3x^2-12x+5$ sur $\R$ .

3. $h(x)=\dfrac x{x^2+1}$ sur $\R$ .

✏️ Correction de l'exercice 5

Question 1

$f'(x)=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)$ .

Le trinôme $x^2-4x+3$ a pour racines $1$ et $3$ (car $1+3=4$ et $1\times3=3$ ), donc $x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$ .

✅ $f'(x)=3(x-1)(x-3)$

✅ $f'(x)=0\iff x=1$ ou $x=3$ .

Question 2

$g'(x)=6x^2-6x-12=6(x^2-x-2)$ .

Le trinôme $x^2-x-2$ a pour racines $-1$ et $2$ (car $-1+2=1$ et $-1\times2=-2$ ), donc $x^2-x-2=(x+1)(x-2)$ .

✅ $g'(x)=6(x+1)(x-2)$

✅ $g'(x)=0\iff x=-1$ ou $x=2$ .

Question 3

$u(x)=x$ , $u'(x)=1$ ; $v(x)=x^2+1$ , $v'(x)=2x$ .

$h'(x)=\dfrac{1\times(x^2+1)-x\times2x}{(x^2+1)^2}=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$

✅ $h'(x)=\dfrac{(1-x)(1+x)}{(x^2+1)^2}$

Le dénominateur $(x^2+1)^2$ est strictement positif : $h'(x)=0$ équivaut à $(1-x)(1+x)=0$ .

✅ $h'(x)=0\iff x=1$ ou $x=-1$ .

Exercice 6 (★★) : vrai ou faux

Justifier chaque réponse :

1. La dérivée de $f(x)=(3x+2)^2$ est $f'(x)=2(3x+2)$ .

2. La dérivée de $f(x)=x(x+1)$ est $f'(x)=2x+1$ .

3. La dérivée de $f(x)=\dfrac1x$ est $f'(x)=\dfrac1{x^2}$ .

4. La dérivée d'une fonction polynôme de degré $3$ est une fonction polynôme de degré $2$ .

✏️ Correction de l'exercice 6

Affirmation 1

On développe : $f(x)=9x^2+12x+4$ , donc $f'(x)=18x+12=6(3x+2)$ .

(Avec un produit : $f(x)=(3x+2)(3x+2)$ donne $f'(x)=3(3x+2)+(3x+2)\times3=6(3x+2)$ .)

L'expression $2(3x+2)=6x+4$ n'est donc pas la dérivée.

❌ Faux.

Affirmation 2

Par produit : $f'(x)=1\times(x+1)+x\times1=2x+1$ . (Ou : $f(x)=x^2+x$ .)

✅ Vrai.

Affirmation 3

La dérivée de $x\mapsto\dfrac1x$ est $x\mapsto-\dfrac1{x^2}$ : il manque le signe moins.

❌ Faux.

Affirmation 4

Si $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ avec $a\neq0$ , alors $f'(x)=3ax^2+2bx+c$ avec $3a\neq0$ : c'est un polynôme de degré $2$ .

✅ Vrai.

Exercice 7 (★★) : puissances négatives

Calculer la dérivée de chaque fonction sur $\mathbb{R}^*$ :

1. $f(x)=\dfrac1{x^3}$ ; 2. $g(x)=\dfrac1{x^2}+2x$ ; 3. $h(x)=x^2+\dfrac5{x^4}$ .

4. Étudier le signe de $g'$ et en déduire les variations de $g$ .

✏️ Correction de l'exercice 7

Question 1

$f(x)=x^{-3}$ , donc $f'(x)=-3x^{-4}$ .

✅ $f'(x)=-\dfrac3{x^4}$ .

Question 2

$g(x)=x^{-2}+2x$ , donc $g'(x)=-2x^{-3}+2$ .

✅ $g'(x)=-\dfrac2{x^3}+2$ .

Question 3

$h(x)=x^2+5x^{-4}$ , donc $h'(x)=2x+5\times(-4)x^{-5}$ .

✅ $h'(x)=2x-\dfrac{20}{x^5}$ .

Question 4

On met au même dénominateur et on factorise :

g'(x)=\dfrac{2x^3-2}{x^3}=\dfrac{2(x-1)(x^2+x+1)}{x^3}

Le trinôme $x^2+x+1$ a pour discriminant $1-4=-3<0$ : il est strictement positif. Comme $x^3$ a le signe de $x$ , $g'(x)$ a le signe de $(x-1)\,x$ :

$x$	$-\infty$		$0$		$1$		$+\infty$
$g'(x)$		$+$	‖	$-$	$0$	$+$
$g$		↗	‖	↘	$3$	↗

✅ $g$ est croissante sur $]-\infty\,;0[$ , décroissante sur $]0\,;1]$ et croissante sur $[1\,;+\infty[$ ; elle a un minimum local $g(1)=3$ .

🎯 Ce qui peut tomber en contrôle

Dériver un polynôme, un produit, un quotient (exercices 1 à 3).
Dériver un inverse, ou développer avant de dériver quand les fonctions sont affines (exercice 4).
Factoriser la dérivée pour en étudier le signe (exercice 5).
Un vrai/faux sur les erreurs classiques (exercice 6).
Dériver une puissance d'exposant négatif et en déduire les variations (exercice 7).

QCM : vérifie tes acquis

5 questions, une seule bonne réponse chacune. Choisis une réponse : la correction s'affiche tout de suite. Ton score est enregistré dans Mon espace.

Question 1 sur 5

La dérivée de $f(x)=5x^3-2x+1$ est :

Question 2 sur 5

La dérivée de $f(x)=(x+1)(x-3)$ est :

Question 3 sur 5

La dérivée de $f(x)=\dfrac1{x+2}$ sur $]-2\,;+\infty[$ est :

Question 4 sur 5

La dérivée de $f(x)=(2x+1)^2$ est :

Question 5 sur 5

La dérivée de $f(x)=\sqrt x+\dfrac1x$ sur $]0\,;+\infty[$ est :

Un doute sur ce chapitre ? On en parle ensemble, sans engagement.

Réserver un appel découverte