Première Spé Maths / Chapitre 8 : Géométrie repérée

Fiche 2 : cercles

Neuf exercices pour maîtriser les cercles :

écrire l'équation d'un cercle ;
reconnaître un cercle avec la forme canonique ;
cercle de diamètre $[AB]$ ;
tangente à un cercle ;
intersection avec une droite parallèle à un axe ;
vrai/faux ;
de Thalès à Descartes ;
un script Python ;
tangente et projeté orthogonal.

Toutes les corrections sont rédigées comme on l'attend d'une bonne copie :

le centre et le rayon sont identifiés explicitement ;
la forme canonique est écrite ligne par ligne ;
les points d'intersection sont vérifiés.

💡 Le modèle de rédaction pour reconnaître un cercle

« $x^2+y^2-6x+4y-3=0\iff(x-3)^2-9+(y+2)^2-4-3=0\iff(x-3)^2+(y+2)^2=16$ . C'est le cercle de centre $(3\,;\,-2)$ et de rayon $4$ . »

Regroupe les termes en $x$ et en $y$ .
Complète les carrés et passe les constantes à droite.
Lis le centre et le rayon, après avoir vérifié le signe du second membre.

⚠️ Les pièges classiques

Oublier de compenser quand on complète un carré.
Donner $r^2$ au lieu de $r$ .
Se tromper de signe sur les coordonnées du centre.
Oublier de vérifier que le second membre est strictement positif.

😄 Compléter le carré sans compenser, c'est comme se couper une part de gâteau et dire que le gâteau n'a pas changé.

Exercice 1 (★) : équation d'un cercle

Dans un repère orthonormé, soit $\mathcal{C}$ le cercle de centre $\Omega(2\,;\,-1)$ et de rayon $3$ .

1. Écrire une équation de $\mathcal{C}$ sous forme canonique puis développée.

2. $A(5\,;\,-1)$ et $B(0\,;\,1)$ sont-ils sur $\mathcal{C}$ ?

3. Calculer les points d'intersection de $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses.

✏️ Correction de l'exercice 1

Question 1

$(x-2)^2+(y+1)^2=9$ .

On développe : $x^2-4x+4+y^2+2y+1-9=0$ .

✅ $\mathcal{C} : (x-2)^2+(y+1)^2=9$ , soit $x^2+y^2-4x+2y-4=0$ .

Question 2

$A$ : $(5-2)^2+(-1+1)^2=9+0=9$ . Donc $A\in\mathcal{C}$ .

$B$ : $(0-2)^2+(1+1)^2=4+4=8\neq9$ . Donc $B\notin\mathcal{C}$ .

✅ $A\in\mathcal{C}$ et $B\notin\mathcal{C}$ .

Question 3

Sur l'axe des abscisses, $y=0$ : $(x-2)^2+1=9\iff(x-2)^2=8\iff x-2=\pm2\sqrt2$ .

✅ Les points sont $\left(2-2\sqrt2\,;\,0\right)$ et $\left(2+2\sqrt2\,;\,0\right)$ .

Exercice 2 (★★) : reconnaître un cercle

Dans un repère orthonormé, déterminer la nature de l'ensemble des points $M(x\,;\,y)$ vérifiant :

1. $x^2+y^2-6x+4y-3=0$ ;

2. $x^2+y^2-2x+4y+5=0$ ;

3. $x^2+y^2+2x+4y+10=0$ .

✏️ Correction de l'exercice 2

Équation 1

$(x-3)^2-9+(y+2)^2-4-3=0\iff(x-3)^2+(y+2)^2=16$ .

✅ C'est le cercle de centre $(3\,;\,-2)$ et de rayon $4$ .

Équation 2

$(x-1)^2-1+(y+2)^2-4+5=0\iff(x-1)^2+(y+2)^2=0$ .

✅ Le second membre est nul : c'est le point $(1\,;\,-2)$ .

Équation 3

$(x+1)^2-1+(y+2)^2-4+10=0\iff(x+1)^2+(y+2)^2=-5$ .

✅ Un carré est positif : l'ensemble est vide.

Exercice 3 (★★) : cercle de diamètre [AB]

Dans un repère orthonormé, $A(-1\,;\,3)$ et $B(5\,;\,-1)$ .

1. Calculer le milieu $I$ de $[AB]$ et la longueur $AB$ .

2. Donner l'équation du cercle de diamètre $[AB]$ avec le centre et le rayon.

3. Retrouver cette équation avec $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$ .

Le cercle de diamètre [AB] : centre I(2 ; 1) et rayon √13

✏️ Correction de l'exercice 3

Question 1

$I\left(\dfrac{-1+5}{2}\,;\,\dfrac{3-1}{2}\right)=(2\,;\,1)$ .

$AB^2=(5+1)^2+(-1-3)^2=36+16=52$ .

✅ $I(2\,;\,1)$ et $AB=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$ .

Question 2

Le rayon est $\dfrac{AB}{2}=\sqrt{13}$ , donc $r^2=13$ .

✅ $(x-2)^2+(y-1)^2=13$ .

Question 3

$\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=(-1-x)(5-x)+(3-y)(-1-y)=(x+1)(x-5)+(y-3)(y+1)$ .

$=x^2-4x-5+y^2-2y-3=x^2+y^2-4x-2y-8$ .

Et $(x-2)^2+(y-1)^2-13=x^2-4x+4+y^2-2y+1-13=x^2+y^2-4x-2y-8$ .

✅ Les deux équations sont équivalentes : $x^2+y^2-4x-2y-8=0$ .

Exercice 4 (★★) : tangente à un cercle

Dans un repère orthonormé, $\mathcal{C}$ est le cercle de centre $\Omega(1\,;\,2)$ et de rayon $5$ . Le point $A(4\,;\,6)$ est sur $\mathcal{C}$ .

1. Vérifier que $A\in\mathcal{C}$ .

2. Déterminer l'équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}$ en $A$ .

3. Déterminer l'équation de la tangente en $A'(-2\,;\,-2)$ , symétrique de $A$ par rapport à $\Omega$ .

Rappel : la tangente à un cercle en un de ses points $A$ est la droite passant par $A$ et perpendiculaire à $(\Omega A)$ .

Tangentes en A et en A′ (extrémités d’un diamètre) : elles sont parallèles

✏️ Correction de l'exercice 4

Question 1

$\Omega A^2=(4-1)^2+(6-2)^2=9+16=25=5^2$ .

✅ $A\in\mathcal{C}$ .

Question 2

$\overrightarrow{\Omega A}\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}$ est normal à la tangente. $M\in T\iff\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{\Omega A}=0$ .

$3(x-4)+4(y-6)=0\iff3x+4y-36=0$ .

✅ $T : 3x+4y-36=0$ .

Question 3

$\overrightarrow{\Omega A'}\begin{pmatrix}-3\\-4\end{pmatrix}$ : $-3(x+2)-4(y+2)=0\iff3x+4y+14=0$ .

✅ La tangente en $A'$ est $3x+4y+14=0$ : elle est parallèle à $T$ (tangentes aux extrémités d'un diamètre).

Exercice 5 (★★) : droite et cercle

Dans un repère orthonormé, $\mathcal{C} : x^2+y^2=25$ .

1. Déterminer les points d'intersection de $\mathcal{C}$ et de la droite $d : y=3$ .

2. Montrer que la droite $x=5$ ne rencontre $\mathcal{C}$ qu'en un point $A$ , puis que c'est la tangente à $\mathcal{C}$ en $A$ . Que dire de la droite $x=6$ ?

3. Vérifier avec un script Python :
for (x, y) in ((4, 3), (-4, 3), (5, 0)):
    print(x, y, x**2 + y**2)

✏️ Correction de l'exercice 5

Question 1

On remplace $y$ par $3$ : $x^2+9=25\iff x^2=16\iff x=-4$ ou $x=4$ .

✅ Les points sont $(-4\,;\,3)$ et $(4\,;\,3)$ .

Question 2

Avec $x=5$ : $25+y^2=25\iff y^2=0\iff y=0$ . Un seul point commun : $A(5\,;\,0)$ .

Le rayon $[OA]$ est porté par l'axe des abscisses et la droite $x=5$ est verticale : elles sont perpendiculaires. Or la tangente en $A$ est la perpendiculaire à $(OA)$ passant par $A$ .

Avec $x=6$ : $36+y^2=25\iff y^2=-11$ , impossible.

✅ La droite $x=5$ est la tangente en $A(5\,;\,0)$ et la droite $x=6$ ne rencontre pas le cercle.

Question 3

Le script affiche 4 3 25, puis -4 3 25, puis 5 0 25.

✅ Les trois points vérifient bien $x^2+y^2=25$ .

Exercice 6 (★★) : vrai ou faux

Justifier chaque réponse :

1. $x^2+y^2=-1$ est l'équation d'un cercle.

2. Le point $(3\,;\,4)$ est sur le cercle de centre $O$ et de rayon $5$ .

3. La tangente en $A$ est parallèle à $(\Omega A)$ .

4. $x^2+y^2-2x+4y+5=0$ est l'équation d'un cercle.

5. La droite $y=6$ coupe le cercle $x^2+y^2=25$ .

✏️ Correction de l'exercice 6

Affirmation 1

Un carré est positif ou nul : aucune solution.

❌ Faux.

Affirmation 2

$3^2+4^2=25=5^2$ .

✅ Vrai.

Affirmation 3

La tangente est perpendiculaire à $(\Omega A)$ .

❌ Faux.

Affirmation 4

Elle s'écrit $(x-1)^2+(y+2)^2=0$ : c'est le point $(1\,;\,-2)$ , pas un cercle.

❌ Faux.

Affirmation 5

Avec $y=6$ : $x^2+36=25\iff x^2=-11$ , impossible.

❌ Faux.

Exercice 7 (★★) : de Thalès à Descartes

Dans un repère orthonormé, $A(-r\,;\,0)$ et $B(r\,;\,0)$ avec $r>0$ . Le programme attribue à Thalès la caractérisation du cercle de diamètre $[AB]$ par le triangle rectangle, et à Descartes, au XVIIe siècle, l'équation d'un cercle en repère orthonormé.

1. Pour $M(x\,;\,y)$ , calculer $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}$ .

2. En déduire que $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\iff x^2+y^2=r^2$ .

3. Un point $M$ distinct de $A$ et $B$ est tel que $AMB$ est rectangle en $M$ . Que peut-on dire de $M$ ? Application : $r=5$ et $M(3\,;\,4)$ .

✏️ Correction de l'exercice 7

Question 1

$\overrightarrow{MA}\begin{pmatrix}-r-x\\-y\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{MB}\begin{pmatrix}r-x\\-y\end{pmatrix}$ .

$\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=(-r-x)(r-x)+y^2=-(r+x)(r-x)+y^2=-(r^2-x^2)+y^2$ .

✅ $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=x^2+y^2-r^2$ .

Question 2

$\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\iff x^2+y^2-r^2=0$ .

✅ $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\iff x^2+y^2=r^2$ .

Question 3

$AMB$ rectangle en $M$ signifie $\overrightarrow{MA}\perp\overrightarrow{MB}$ , donc $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$ , donc $x^2+y^2=r^2$ : $M$ est sur le cercle de centre $O$ et de rayon $r$ , c'est-à-dire le cercle de diamètre $[AB]$ .

Réciproquement, tout point de ce cercle distinct de $A$ et $B$ donne un triangle rectangle en $M$ . Pour $r=5$ et $M(3\,;\,4)$ : $3^2+4^2=25$ , et $\overrightarrow{MA}\begin{pmatrix}-8\\-4\end{pmatrix}$ , $\overrightarrow{MB}\begin{pmatrix}2\\-4\end{pmatrix}$ donnent $-16+16=0$ .

✅ Le triangle $AMB$ est rectangle en $M$ si et seulement si $M$ est sur le cercle de diamètre $[AB]$ .

Exercice 8 (★★) : un script pour reconnaître un cercle

On considère le script Python suivant :
def cercle(p, q, s):
    # étudie x² + y² + p x + q y + s = 0
    k = (p**2 + q**2) / 4 - s
    if k > 0:
        return "cercle", (-p / 2, -q / 2), k ** 0.5
    if k == 0:
        return "point", (-p / 2, -q / 2)
    return "ensemble vide"
1. Pourquoi la variable k représente-t-elle le second membre de la forme canonique de $x^2+y^2+px+qy+s=0$ ?

2. Prévoir l'affichage de print(cercle(-4, 6, 13)), de print(cercle(2, -4, 1)) et de print(cercle(2, 4, 10)).

✏️ Correction de l'exercice 8

Question 1

On a $x^2+px=\left(x+\dfrac p2\right)^2-\dfrac{p^2}4$ et de même pour $y$ . L'équation devient $\left(x+\dfrac p2\right)^2+\left(y+\dfrac q2\right)^2=\dfrac{p^2+q^2}4-s$ .

✅ Le second membre est k, et le centre est $\left(-\dfrac p2\,;\,-\dfrac q2\right)$ .

Question 2

Pour (-4, 6, 13) : $k=\dfrac{16+36}4-13=0$ . C'est le point $(2\,;\,-3)$ .

Pour (2, -4, 1) : $k=\dfrac{4+16}4-1=4$ . C'est le cercle de centre $(-1\,;\,2)$ et de rayon $2$ .

Pour (2, 4, 10) : $k=\dfrac{4+16}4-10=-5<0$ .

✅ Le script affiche ('point', (2.0, -3.0)), puis ('cercle', (-1.0, 2.0), 2.0), puis ensemble vide.

Exercice 9 (★★★) : tangente et projeté orthogonal

Dans un repère orthonormé, $\mathcal{C}$ est le cercle de centre $\Omega(2\,;\,-1)$ et de rayon $3$ , et $d : 4x-3y+4=0$ .

1. Déterminer le projeté orthogonal $H$ de $\Omega$ sur $d$ .

2. Calculer $\Omega H$ , vérifier que $H\in\mathcal{C}$ , puis conclure que $d$ est la tangente à $\mathcal{C}$ en $H$ .

3. Déterminer l'équation de l'autre tangente à $\mathcal{C}$ parallèle à $d$ .

Le cercle de centre Ω(2 ; −1) et de rayon 3, et ses deux tangentes de vecteur normal (4 ; −3)

✏️ Correction de l'exercice 9

Question 1

Un vecteur normal à $d$ est $\vec n\begin{pmatrix}4\\-3\end{pmatrix}$ . On pose $H=\Omega+t\,\vec n=(2+4t\,;\,-1-3t)$ .

$H\in d\iff4(2+4t)-3(-1-3t)+4=0\iff8+16t+3+9t+4=0\iff25t=-15\iff t=-\dfrac35$ .

✅ $H\left(-\dfrac25\,;\,\dfrac45\right)$ .

Question 2

$\overrightarrow{\Omega H}=t\,\vec n$ , donc $\Omega H=\dfrac35\times5=3$ . Ainsi $\Omega H=r$ et $H\in\mathcal{C}$ (on peut aussi vérifier : $\left(-\dfrac25-2\right)^2+\left(\dfrac45+1\right)^2=\dfrac{144}{25}+\dfrac{81}{25}=9$ ).

De plus $H\in d$ et $\overrightarrow{\Omega H}$ est colinéaire au vecteur normal de $d$ : $d$ est perpendiculaire à $(\Omega H)$ en $H$ .

✅ $d$ est la tangente à $\mathcal{C}$ en $H$ .

Question 3

L'autre tangente parallèle à $d$ touche le cercle au point $H'$ symétrique de $H$ par rapport à $\Omega$ : $H'=2\Omega-H=\left(\dfrac{22}5\,;\,-\dfrac{14}5\right)$ .

Elle a le même vecteur normal : $4x-3y+c=0$ et $H'$ donne $\dfrac{88}5+\dfrac{42}5+c=0\iff c=-26$ .

✅ La seconde tangente est $4x-3y-26=0$ .

🎯 Ce qui peut tomber en contrôle

Écrire l'équation d'un cercle (exercices 1 et 3).
Reconnaître un cercle avec la forme canonique (exercices 2 et 8).
Déterminer une tangente (exercices 4 et 9).
Intersection d'un cercle et d'une droite parallèle à un axe (exercice 5).
Cercle de diamètre $[AB]$ et triangle rectangle (exercices 3 et 7).

QCM : vérifie tes acquis

6 questions, une seule bonne réponse chacune. Choisis une réponse : la correction s'affiche tout de suite. Ton score est enregistré dans Mon espace.

Question 1 sur 6

Le cercle de centre $(1\,;\,-2)$ et de rayon $3$ a pour équation :

Question 2 sur 6

$(x+3)^2+(y-1)^2=4$ est le cercle de centre :

Question 3 sur 6

Le cercle de diamètre $[AB]$ est l'ensemble des points $M$ tels que :

Question 4 sur 6

La tangente en $A$ à un cercle de centre $\Omega$ est :

Question 5 sur 6

Pour $x^2+y^2-4x+6y+13=0$ , l'ensemble est :

Question 6 sur 6

Les points communs du cercle $x^2+y^2=25$ et de la droite $y=3$ sont :

Un doute sur ce chapitre ? On en parle ensemble, sans engagement.

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