Fiche 2 : équations et inéquations du second degré

Équation 1

$\Delta=25-16=9>0$. Deux solutions : $x_1=\dfrac{5-3}4=\dfrac12$ et $x_2=\dfrac{5+3}4=2$.

✅ $S=\left\{\dfrac12\,;2\right\}$

Équation 2

$\Delta=4-20=-16<0$.

✅ $S=\varnothing$

Équation 3

$\Delta=144-144=0$. Solution double : $x_0=\dfrac{12}{8}=\dfrac32$.

✅ $S=\left\{\dfrac32\right\}$

Équation 4

$\Delta=16+20=36>0$. Deux solutions : $x_1=\dfrac{-4-6}{-2}=5$ et $x_2=\dfrac{-4+6}{-2}=-1$.

✅ $S=\{-1\,;5\}$

Inéquation 1

$\Delta=9+16=25>0$. Racines : $x_1=\dfrac{3-5}2=-1$ et $x_2=\dfrac{3+5}2=4$. Comme $a=1>0$, la fonction est négative ou nulle entre les racines.

✅ $S=[-1\,;4]$

Inéquation 2

$\Delta=1+24=25>0$. Racines $-1$ et $\dfrac32$. Comme $a=-2<0$, la fonction est positive entre les racines.

✅ $S=\left]-1\,;\dfrac32\right[$

Inéquation 3

$\Delta=-16<0$ et $a=1>0$ : la fonction est du signe de $a$ pour tout réel $x$, donc strictement positive.

✅ $S=\R$

Inéquation 4

Racines $\dfrac12$ et $2$ (exercice 1). Comme $a=2>0$, la fonction est positive ou nulle à l'extérieur des racines.

✅ $S=\left]-\infty\,;\dfrac12\right]\cup\left[2\,;+\infty\right[$

Équation 1

On développe et on passe tout dans un membre : $x^2-4x+4=3x-2\iff x^2-7x+6=0$.

$\Delta=49-24=25>0$, donc $x_1=\dfrac{7-5}2=1$ et $x_2=\dfrac{7+5}2=6$. (On retrouve aussi la factorisation directe : somme $7$, produit $6$.)

Vérification : pour $x=6$, $(6-2)^2=16$ et $3\times6-2=16$ ✓

✅ $S=\{1\,;6\}$

Équation 2

$(2x-1)(x+3)=2x^2+6x-x-3=2x^2+5x-3$. L'équation devient $2x^2+5x-3=x^2+7\iff x^2+5x-10=0$.

$\Delta=25+40=65>0$, donc $x_1=\dfrac{-5-\sqrt{65}}2$ et $x_2=\dfrac{-5+\sqrt{65}}2$.

✅ $S=\left\{\dfrac{-5-\sqrt{65}}2\,;\dfrac{-5+\sqrt{65}}2\right\}$

Problème 3

On note $x$ le plus petit côté, en m, avec $x>0$. Le théorème de Pythagore donne $x^2+(x+3)^2=15^2$, soit $2x^2+6x+9=225\iff x^2+3x-108=0$.

$\Delta=9+432=441=21^2>0$, donc $x_1=\dfrac{-3-21}2=-12$ et $x_2=\dfrac{-3+21}2=9$. Comme $x>0$, seule $x=9$ convient.

✅ Le rectangle mesure $9$ m sur $12$ m.

Vérification : $9^2+12^2=81+144=225=15^2$ ✓

Question 1

$\Delta=m^2-16=(m-4)(m+4)$.

• $\Delta>0\iff m<-4$ ou $m>4$ : deux solutions.
• $\Delta=0\iff m=-4$ ou $m=4$ : une solution.
• $\Delta<0\iff-4<m<4$ : aucune solution.

Question 2

$\Delta=m^2-4(m+3)=m^2-4m-12=(m-6)(m+2)$. Racine double $\iff\Delta=0\iff m=6$ ou $m=-2$.

Pour $m=6$ : $x^2+6x+9=(x+3)^2$, racine double $-3$.

Pour $m=-2$ : $x^2-2x+1=(x-1)^2$, racine double $1$.

✅ $m=6$ (racine $-3$) ou $m=-2$ (racine $1$).

Question 1

$\Delta=9+4=13>0$ : deux solutions distinctes. D'après les relations entre coefficients et racines :

✅ $x_1+x_2=-\dfrac ba=3$ et $x_1x_2=\dfrac ca=-1$

Question 2

$x_1x_2=-1<0$ : le produit est négatif, donc les deux solutions sont de signes contraires.

✅ Une solution est positive et l'autre négative.

Question 3

$2\times4-10+m=0$, donc $m=2$. Le produit des racines vaut $\dfrac ca=\dfrac m2=1$ : l'autre racine est $\dfrac12$.

✅ $m=2$ et l'autre racine est $\dfrac12$.

Vérification avec la somme : $2+\dfrac12=\dfrac52=-\dfrac ba$ ✓

Question 1

Deux nombres de somme $S=7$ et de produit $P=10$ sont les solutions de $X^2-7X+10=0$. $\Delta=49-40=9$, donc $X_1=\dfrac{7-3}2=2$ et $X_2=\dfrac{7+3}2=5$.

✅ Les nombres sont $2$ et $5$.

Question 2

Le demi-périmètre est $10$ : la somme des dimensions est $10$, leur produit est $21$. Ce sont les solutions de $X^2-10X+21=0$. $\Delta=100-84=16$, donc $X_1=\dfrac{10-4}2=3$ et $X_2=\dfrac{10+4}2=7$.

✅ Le rectangle mesure $3$ sur $7$.

Question 1

racines(2, -5, 2) : $\Delta=9>0$ : renvoie [0.5, 2.0].

racines(4, -12, 9) : $\Delta=0$ : renvoie [1.5].

racines(1, 2, 5) : $\Delta=-16<0$ : renvoie [].

✅ Les valeurs coïncident avec l'exercice 1.

Question 2

Quand delta < 0, aucune des deux conditions n'est vérifiée : la fonction renvoie la liste vide [], ce qui signifie que l'équation n'a aucune solution réelle.

Question 3

La condition de la liste est celle de l'inéquation. $x^2-x-2=(x-2)(x+1)\le0\iff x\in[-1\,;2]$.

[x for x in range(-5, 6) if x*x - x - 2 <= 0]

✅ Cette liste vaut [-1, 0, 1, 2].

Affirmation 1

$x^2\ge9\iff x\le-3$ ou $x\ge3$. Par exemple $x=-4$ convient.

❌ Faux. $S=]-\infty\,;-3]\cup[3\,;+\infty[$.

Affirmation 2

Si $\Delta<0$, la fonction est du signe de $a$ pour tout réel. Ici $a<0$ : elle est strictement négative.

✅ Vrai.

Affirmation 3

Un carré est positif ou nul : $x^2=-4$ n'a aucune solution réelle.

❌ Faux.

Affirmation 4

Un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul : $x=1$ ou $x=-2$.

✅ Vrai.

Question 1

$2-7+5=0$ : $1$ est racine. Le produit des racines vaut $\dfrac ca=\dfrac52$, donc l'autre racine est $\dfrac52$.

✅ Les racines sont $1$ et $\dfrac52$.

Question 2

$1-7+6=0$ : $1$ est racine.

On développe $(x-1)(ax^2+bx+c)=ax^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c$ et on identifie : $a=1$, $b-a=0$, $c-b=-7$, $-c=6$.

Donc $a=1$, $b=1$, $c=-6$ : $x^3-7x+6=(x-1)(x^2+x-6)$.

$x^2+x-6=0$ : $\Delta=25$, $x=\dfrac{-1-5}{2}=-3$ ou $x=\dfrac{-1+5}{2}=2$.

✅ $S=\{-3\,;\,1\,;\,2\}$.

Question 1

Réciproque : « si $\Delta>0$, alors $ac<0$ ». Elle est fausse : contre-exemple $x^2+3x+1$, pour lequel $\Delta=9-4=5>0$ mais $ac=1>0$.

Question 2

Contraposée : « si l'équation $f(x)=0$ a au moins une solution réelle, alors $\Delta\ge0$ ». Elle est vraie, comme l'implication de départ.

Question 3

Si $\Delta\ge0$, l'équation a au moins une solution (suffisante). Si l'équation a une solution, alors $\Delta\ge0$ (nécessaire).

✅ C'est une condition nécessaire et suffisante : $\Delta\ge0\iff$ l'équation a au moins une solution réelle.

Question 4

Négation : « il existe un réel $x$ tel que $x^2-4x+5\le0$ ». Or $\Delta=16-20=-4<0$ et $a=1>0$, donc $x^2-4x+5>0$ pour tout réel $x$.

✅ La proposition de départ est vraie, sa négation est fausse.

Question 5

$(x-3)^2=x^2-6x+9$ est vraie pour tout réel $x$ : c'est une identité, et $x$ est une variable. $x^2+mx+1=0$ est une équation d'inconnue $x$, dans laquelle $m$ est un paramètre.