Chapitre 9 : Probabilités conditionnelles et indépendance

Questions fréquentes sur Probabilités conditionnelles et indépendance

Comment calculer une probabilité conditionnelle ?

Si P(A) ≠ 0, la probabilité de B sachant A est P_A(B) = P(A ∩ B) / P(A). Sur un arbre pondéré, P(A ∩ B) est le produit des probabilités du chemin A puis B ; dans un tableau croisé d'effectifs, on divise l'effectif de A ∩ B par l'effectif de A. Attention : P_A(B) et P_B(A) sont en général différents.

Comment utiliser la formule des probabilités totales ?

On cherche une partition de l'univers, par exemple A et son contraire. Alors P(B) = P(A)·P_A(B) + P(non A)·P_(non A)(B). Sur un arbre, c'est la somme des probabilités des chemins qui aboutissent à B. Il faut citer la partition avant d'appliquer la formule.

Comment prouver que deux événements sont indépendants ?

A et B sont indépendants si P(A ∩ B) = P(A) × P(B). On calcule les deux membres séparément et on les compare. Si P(A) ≠ 0, cela équivaut à P_A(B) = P(B). Deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants.

Pourquoi multiplie-t-on les probabilités le long d'un chemin dans une succession d'épreuves indépendantes ?

Un chemin représente une intersection A ∩ B. Par définition, P(A ∩ B) = P(A)·P_A(B), et l'indépendance des épreuves donne P_A(B) = P(B). Le produit est donc P(A)·P(B). Le raisonnement se répète pour trois ou quatre épreuves. Une succession de deux épreuves indépendantes se représente par un arbre ou par un tableau à double entrée dont chaque case est le produit de ses deux marges.

Comment traiter la répétition de n épreuves de Bernoulli pour n ≤ 4 ?

On vérifie que les épreuves ont deux issues, qu'elles sont indépendantes et identiques (même probabilité de succès p), puis on dessine l'arbre. Un chemin avec k succès a pour probabilité p^k·q^(n−k), avec q = 1 − p. Pour « exactement k succès », on compte les chemins concernés : pour n = 4, il y en a 1, 4, 6, 4 et 1 pour k = 0, 1, 2, 3 et 4. Pour « au moins un succès », on passe par le contraire : 1 − q^n.

Épreuves identiques et épreuves indépendantes, quelle différence ?

Des épreuves sont indépendantes si le résultat des précédentes ne change pas les probabilités de la suivante. Elles sont identiques si c'est la même épreuve, avec la même probabilité de succès, à chaque fois. Un dé puis une pièce sont indépendants mais pas identiques. Deux tirages sans remise ne sont pas indépendants. Un schéma de Bernoulli demande les deux propriétés.