Fiche 1 : forme canonique, factorisation et variations

On utilise $\Delta=b^2-4ac$.

Cas a

$a=2$, $b=-5$, $c=2$.

$\Delta=(-5)^2-4\times2\times2=25-16$

✅ $\Delta=9>0$ : deux racines

Cas b

$a=1$, $b=2$, $c=5$.

$\Delta=2^2-4\times1\times5=4-20$

✅ $\Delta=-16<0$ : aucune racine

Cas c

$a=4$, $b=-12$, $c=9$.

$\Delta=(-12)^2-4\times4\times9=144-144$

✅ $\Delta=0$ : une racine double

Cas d

$a=-1$, $b=4$, $c=5$.

$\Delta=4^2-4\times(-1)\times5=16+20$

✅ $\Delta=36>0$ : deux racines

Méthode

On factorise $a$ dans les termes en $x^2$ et en $x$, puis on utilise $x^2+2px=(x+p)^2-p^2$.

Question 1

$f(x)=2\,(x^2-6x)+7=2\left[(x-3)^2-9\right]+7=2(x-3)^2-18+7$.

✅ $f(x)=2(x-3)^2-11$

Question 2

$g(x)=-(x^2-4x)+1=-\left[(x-2)^2-4\right]+1=-(x-2)^2+4+1$.

✅ $g(x)=-(x-2)^2+5$

Question 3

$h(x)=3\,(x^2+2x)-9=3\left[(x+1)^2-1\right]-9=3(x+1)^2-3-9$.

✅ $h(x)=3(x+1)^2-12$

Question 4

$x^2+5x=\left(x+\dfrac52\right)^2-\dfrac{25}4$, donc $k(x)=\left(x+\dfrac52\right)^2-\dfrac{25}4+1=\left(x+\dfrac52\right)^2-\dfrac{21}4$.

✅ $k(x)=\left(x+\dfrac52\right)^2-\dfrac{21}4$

Vérification pour $k$ : $\left(x+\dfrac52\right)^2-\dfrac{21}4=x^2+5x+\dfrac{25}4-\dfrac{21}4=x^2+5x+1$ ✓

Question 1

$\Delta=25-24=1>0$. Racines : $x_1=\dfrac{5-1}2=2$ et $x_2=\dfrac{5+1}2=3$.

✅ $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$

Question 2

$\Delta=1+24=25>0$. Racines : $x_1=\dfrac{1-5}4=-1$ et $x_2=\dfrac{1+5}4=\dfrac32$.

$2x^2-x-3=2(x+1)\left(x-\dfrac32\right)$

✅ $2x^2-x-3=(x+1)(2x-3)$

Question 3

$\Delta=144-144=0$. Racine double : $x_0=\dfrac{12}{18}=\dfrac23$.

$9x^2-12x+4=9\left(x-\dfrac23\right)^2$

✅ $9x^2-12x+4=(3x-2)^2$

Question 4

$\Delta=16+48=64>0$. Racines : $x_1=\dfrac{4-8}2=-2$ et $x_2=\dfrac{4+8}2=6$.

✅ $x^2-4x-12=(x+2)(x-6)$

Question 5

$\Delta=0-4=-4<0$.

❌ $x^2+1$ ne se factorise pas dans $\R$.

Question 1

$f(x)=-2\,(x^2-4x)-3=-2\left[(x-2)^2-4\right]-3=-2(x-2)^2+8-3=-2(x-2)^2+5$.

Sommet : $S(2\,;5)$. Axe de symétrie : la droite d'équation $x=2$.

Comme $a=-2<0$ : $f$ est croissante sur $]-\infty\,;2]$ et décroissante sur $[2\,;+\infty[$.

✅ $f$ admet un maximum égal à $5$, atteint en $x=2$.

Contrôle avec le raccourci : $-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{8}{-4}=2$ et $f(2)=-8+16-3=5$ ✓

Question 2

$g(x)=(x-3)^2-9+11=(x-3)^2+2$.

Sommet : $S(3\,;2)$. Axe de symétrie : $x=3$.

Comme $a=1>0$ : $g$ est décroissante sur $]-\infty\,;3]$ et croissante sur $[3\,;+\infty[$.

✅ $g$ admet un minimum égal à $2$, atteint en $x=3$.

Comme le minimum est strictement positif, $g(x)>0$ pour tout réel $x$.

On factorise par $a$ :

$ax^2+bx+c=a\left(x^2+\dfrac bax+\dfrac ca\right)$

On reconnaît le début du carré $\left(x+\dfrac b{2a}\right)^2=x^2+\dfrac bax+\dfrac{b^2}{4a^2}$. Donc :

$x^2+\dfrac bax=\left(x+\dfrac b{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}$

En reportant :

✅ $ax^2+bx+c=a\left[\left(x+\dfrac b{2a}\right)^2-\dfrac\Delta{4a^2}\right]$ ∎

$A\in$ parabole : $c=1$.

$B\in$ parabole : $a+b+c=0$, donc $a+b=-1$.

$C\in$ parabole : $4a+2b+c=3$, donc $4a+2b=2$, soit $2a+b=1$.

En soustrayant : $(2a+b)-(a+b)=1-(-1)$, donc $a=2$. Puis $b=-1-2=-3$.

✅ $f(x)=2x^2-3x+1$

Vérification avec $C$ : $2\times4-6+1=3$ ✓

Factorisation : $1$ est racine ($2-3+1=0$) et l'autre racine est $\dfrac ca=\dfrac12$.

✅ $f(x)=2(x-1)\left(x-\dfrac12\right)=(x-1)(2x-1)$

Affirmation 1

Si $\Delta=0$, l'équation admet une racine double $-\dfrac b{2a}$.

❌ Faux.

Affirmation 2

Si $ac<0$, alors $-4ac>0$ et $\Delta=b^2-4ac>0$.

✅ Vrai.

Affirmation 3

La forme canonique $a(x-\alpha)^2+\beta$ est symétrique par rapport à $x=\alpha=-\dfrac b{2a}$.

✅ Vrai.

Affirmation 4

Si $a<0$, la parabole est « tournée vers le bas » : le sommet est un maximum.

❌ Faux.

Question 1

$p$ s'annule en $1$ et $5$, donc $p(x)=a(x-1)(x-5)$ avec $a\neq0$.

$p(0)=a\times(-1)\times(-5)=5a=10$, donc $a=2$.

$p(x)=2(x^2-6x+5)=2x^2-12x+10$.

✅ $p(x)=2x^2-12x+10$. On vérifie : $p(1)=2-12+10=0$ et $p(5)=50-60+10=0$.

Question 2

$q(x)=a(x+2)(x-3)$. L'abscisse du sommet est la moyenne des racines : $\dfrac{-2+3}{2}=\dfrac12$.

$q\left(\dfrac12\right)=a\times\dfrac52\times\left(-\dfrac52\right)=-\dfrac{25}{4}a=-25$, donc $a=4$.

✅ $q(x)=4(x+2)(x-3)=4x^2-4x-24$.

Question 3

Ces nombres sont les racines de $x^2-Sx+P=x^2-7x+10$ avec $S=7$ et $P=10$.

$\Delta=49-40=9$ : $x=\dfrac{7-3}{2}=2$ ou $x=\dfrac{7+3}{2}=5$.

✅ Les deux nombres sont $2$ et $5$.

Question 1

Facteur commun $5x$ ($c=0$).

✅ $5x^2-10x=5x\,(x-2)$

Question 2

Différence de deux carrés ($b=0$) : $x^2-7^2$.

✅ $x^2-49=(x-7)(x+7)$

Question 3

$9x^2-16=(3x)^2-4^2$.

✅ $9x^2-16=(3x-4)(3x+4)$

Question 4

Identité remarquable : $x^2-2\times5x+5^2$.

✅ $x^2-10x+25=(x-5)^2$

Question 5

On cherche deux entiers de somme $7$ et de produit $12$ : $3$ et $4$.

✅ $x^2-7x+12=(x-3)(x-4)$

Question 6

On cherche deux entiers de somme $-2$ et de produit $-15$ : $-5$ et $3$. Les racines sont donc $5$ et $-3$.

✅ $x^2+2x-15=(x-3)(x+5)$

Question 7

$a+b+c=3-5+2=0$ : $1$ est racine et l'autre racine est $\dfrac ca=\dfrac23$. Donc $3x^2-5x+2=3(x-1)\left(x-\dfrac23\right)$.

✅ $3x^2-5x+2=(x-1)(3x-2)$

Vérification : $(x-1)(3x-2)=3x^2-2x-3x+2=3x^2-5x+2$ ✓

Question 8

$b=0$ et $5$ est le carré de $\sqrt5$.

✅ $x^2-5=(x-\sqrt5)(x+\sqrt5)$

Question 1

Les racines sont $1$ et $-4$, rangées dans l'ordre croissant : $-4<1$. Le coefficient de $x^2$ est $a=2>0$ : la fonction est négative ou nulle entre les racines.

✅ $S=[-4\,;1]$

Question 2

Les facteurs s'annulent en $3$ et en $-\dfrac12$. Le coefficient de $x^2$ est $(-1)\times2=-2<0$ : la fonction est strictement positive entre les racines.

✅ $S=\left]-\dfrac12\,;3\right[$

Contrôle : pour $x=0$, $(3-0)(0+1)=3>0$ et $0\in S$ ✓

Question 3

Les racines sont $-2$ et $5$, et $a=-3<0$ : la fonction est positive entre les racines, donc strictement négative à l'extérieur.

✅ $S=]-\infty\,;-2[\,\cup\,]5\,;+\infty[$

Contrôle : pour $x=0$, $-3\times2\times(-5)=30>0$ et $0\notin S$ ✓

Question 1

$f(v)-f(u)=-(v^2-u^2)+4(v-u)=(v-u)\left[-(v+u)+4\right]$. On divise par $v-u\neq0$.

✅ $\dfrac{f(v)-f(u)}{v-u}=-(u+v)+4$

Question 2

Si $u<v\le2$ : $u+v<4$, donc $-(u+v)+4>0$ : $f$ est croissante sur $]-\infty\,;2]$. Si $2\le u<v$ : $u+v>4$, donc le taux est négatif : $f$ est décroissante sur $[2\,;+\infty[$.

✅ $f$ est croissante sur $]-\infty\,;2]$, décroissante sur $[2\,;+\infty[$, de maximum $f(2)=5$.

Question 3

Avec $v=u+h$ : $-(2u+h)+4=-2u+4-h$. Quand $h$ se rapproche de $0$, le taux se rapproche de $-2u+4$. C'est le nombre dérivé de $f$ en $u$ : $f'(u)=-2u+4$. Par exemple, pour $u=1$ et $h=0{,}1$ : $\dfrac{f(1{,}1)-f(1)}{0{,}1}=\dfrac{4{,}19-4}{0{,}1}=1{,}9$, proche de $2$.

✅ $f'(0)=4$, $f'(1)=2$, $f'(2)=0$ : la fonction dérivée $f'(x)=-2x+4$ s'annule au sommet, en $x=2$.