Guide de rédaction : trigonométrie

🎯 Le principe du chapitre

Dans un exercice de trigonométrie, un correcteur regarde surtout cinq choses :

• la symétrie ou la formule utilisée est nommée ;
• le réel est ramené à un tour par un calcul écrit ;
• le signe d'un $\cos$ ou d'un $\sin$ est justifié avec la position du point ;
• les unités sont respectées (radians pour $\ell=R\,\alpha$, cm ou m en conclusion) ;
• une démonstration (carré, triangle équilatéral, relation d'Archimède) s'appuie sur une figure et sur des théorèmes cités.

Situation 1 : convertir degrés et radians

« On multiplie par $\dfrac{\pi}{180}$ : $135°=135\times\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{3\pi}{4}$ rad. Dans l'autre sens, on multiplie par $\dfrac{180}{\pi}$ : $\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{180}{12}=15°$. »

💡 Contrôle avec $\pi$ rad $=180°$.

Situation 2 : calculer une longueur d'arc ou un angle au centre

« Sur un cercle de rayon $R=5$ cm, un angle de $\dfrac{2\pi}{3}$ rad intercepte un arc de longueur $\ell=R\,\alpha=5\times\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{10\pi}{3}\approx10{,}5$ cm. »

⚠️ Si l'angle est donné en degrés, convertis d'abord en radians. Pour trouver l'angle : $\alpha=\dfrac{\ell}{R}$.

Situation 3 : placer un point $M(x)$ sur le cercle trigonométrique

« $\dfrac{7\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}+2\pi$, donc $M\left(\dfrac{7\pi}{3}\right)=M\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$ : on fait un tour complet, puis on avance de $\dfrac{\pi}{3}$ dans le sens direct. Le point est dans le premier quadrant. »

💡 Pour un réel négatif, indique le sens indirect et ajoute $2\pi$ si besoin.

Situation 4 : montrer que deux réels ont la même image (ou non)

« $\dfrac{8\pi}{3}-\left(-\dfrac{4\pi}{3}\right)=4\pi=2\times2\pi$ : la différence est un multiple entier de $2\pi$, donc $M\left(\dfrac{8\pi}{3}\right)=M\left(-\dfrac{4\pi}{3}\right)$. »

Pour dire que deux images sont différentes : « $7-1=6$ et $0<6<2\pi$, donc $6$ n'est pas un multiple de $2\pi$ : $M(1)\neq M(7)$. »

Situation 5 : situer un point et donner le signe de $\cos x$ et $\sin x$

« $\dfrac{\pi}{2}<2<\pi$ (car $\dfrac{\pi}{2}\approx1{,}57$ et $\pi\approx3{,}14$) : $M(2)$ est dans le deuxième quadrant. Donc $\cos2<0$ et $\sin2>0$. »

💡 Abscisse = cosinus, ordonnée = sinus : le quadrant donne les deux signes.

Situation 6 : calculer une valeur exacte avec un angle associé

« $\cos\dfrac{5\pi}{6}=\cos\left(\pi-\dfrac{\pi}{6}\right)=-\cos\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{\sqrt3}{2}$, car $\cos(\pi-x)=-\cos x$ (symétrie par rapport à l'axe des ordonnées). »

💡 Nomme la symétrie : c'est ce que le correcteur cherche.

Situation 7 : calculer avec un grand réel ou un réel négatif

« $-\dfrac{17\pi}{6}+4\pi=\dfrac{7\pi}{6}$, donc $\sin\left(-\dfrac{17\pi}{6}\right)=\sin\dfrac{7\pi}{6}=\sin\left(\pi+\dfrac{\pi}{6}\right)=-\sin\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac12$. »

💡 Réduis d'abord à un tour (enroulement), puis utilise une symétrie.

Situation 8 : retrouver $\sin x$ connaissant $\cos x$

« $\cos^2x+\sin^2x=1$ donc $\sin^2x=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}$. Comme $x\in[0\,;\,\pi]$, $M(x)$ est dans le demi-plan supérieur : $\sin x\geqslant0$. Donc $\sin x=\dfrac45$. »

⚠️ Le signe doit être justifié par la position de $M(x)$.

Situation 9 : simplifier une expression avec des angles associés

« $\cos(\pi-x)+\cos(\pi+x)+\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=-\cos x-\cos x+\cos x=-\cos x$. »

💡 Remplace chaque terme par sa formule, puis regroupe.

Situation 10 : utiliser cosinus et sinus dans un triangle rectangle

« Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$, $\cos\widehat{B}=\dfrac{AB}{BC}$. Donc $AB=BC\cos\dfrac{\pi}{6}=10\times\dfrac{\sqrt3}{2}=5\sqrt3$ cm. »

⚠️ Précise toujours de quel angle tu parles : adjacent et opposé dépendent de l'angle.

Situation 11 : démontrer $\cos\dfrac{\pi}{4}$ et $\sin\dfrac{\pi}{4}$ (démonstration au programme)

« Soit $ABCD$ un carré de côté $1$. Dans le triangle $ABC$ rectangle isocèle en $B$, $AC^2=1+1=2$, donc $AC=\sqrt2$, et $\widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{4}$. Alors $\cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{1}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}$ et $\sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{\sqrt2}{2}$. »

💡 Les quatre étapes : figure, longueur par Pythagore, angle, rapport adjacent ou opposé sur hypoténuse.

Situation 12 : démontrer $\cos$ et $\sin$ de $\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{\pi}{6}$ (démonstration au programme)

« Soit $ABC$ équilatéral de côté $2$ et $H$ le milieu de $[BC]$. $(AH)$ est une hauteur : $ABH$ est rectangle en $H$ avec $BH=1$, $AB=2$, $AH=\sqrt3$ (Pythagore), $\widehat{ABH}=\dfrac{\pi}{3}$ et $\widehat{BAH}=\dfrac{\pi}{6}$. Donc $\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{BH}{AB}=\dfrac12$, $\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{\sqrt3}{2}$, puis $\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{\sqrt3}{2}$ et $\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac12$. »

Situation 13 : donner les coordonnées d'un point d'un cercle de rayon $R$

« Le cercle de centre $O$ et de rayon $R$ est l'image du cercle trigonométrique par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $R$. Le point $P_x$ a donc pour coordonnées $(R\cos x\,;\,R\sin x)$. Avec $R=0{,}35$ et $x=\dfrac{\pi}{6}$ : $P=(0{,}175\sqrt3\,;\,0{,}175)$. »

Situation 14 : établir la relation d'Archimède et interpréter le résultat

« $O$ et $M$ sont sur la médiatrice de $[AB]$ ; $H$ est le milieu de $[AB]$. Dans $OHA$ rectangle en $H$ : $OH^2=1-\dfrac{c_n^2}{4}$. Dans $AHM$ rectangle en $H$ : $c_{2n}^2=\dfrac{c_n^2}{4}+(1-OH)^2=2-2\,OH=2-\sqrt{4-c_n^2}$. »

« Chaque corde est plus courte que son arc, donc $\dfrac{n\,c_n}{2}<\pi$ : on obtient un minorant de $\pi$. »

✅ Check-list avant de rendre la copie

• J'ai dessiné le cercle et placé mes points.
• J'ai ramené chaque réel à un tour avec un calcul écrit.
• J'ai nommé chaque symétrie ou formule.
• J'ai justifié chaque signe par un quadrant.
• Ma calculatrice est en radians.
• J'ai donné une valeur exacte avant la valeur approchée, avec l'unité.

😄 Un cercle trigonométrique dessiné à la main avec trois points bien placés vaut mieux que dix lignes de calculs hasardeux.