Fiche 3 : suites géométriques et modélisation

Question 1

$(u_n)$ est géométrique : $u_n=u_0\,q^n$.

✅ $u_n=3\times2^n$

$u_5=3\times32$

✅ $u_5=96$

Question 2

Il y a $5-0+1=6$ termes. Pour $q=2\neq1$ :

$S=u_0\times\dfrac{1-q^6}{1-q}=3\times\dfrac{1-64}{1-2}=3\times63$

✅ $S=189$

Vérification : $3+6+12+24+48+96=189$ ✓

Question 1

Pour une suite géométrique, $v_5=v_2\times q^{5-2}$, donc $96=12q^3$ et $q^3=8$. Comme $q>0$, $q=2$.

Puis $v_2=v_0\times q^2$, donc $v_0=\dfrac{12}4=3$.

✅ $q=2$ et $v_0=3$

Question 2

✅ $v_n=3\times2^n$

$v_8=3\times256$

✅ $v_8=768$

Question 1

Pour tout $n$, $u_{n+1}=0{,}8\,u_n$ : $(u_n)$ est géométrique de raison $q=0{,}8$ et de premier terme $u_0=1\,000$.

✅ $u_n=1\,000\times0{,}8^n$

$u_{10}=1\,000\times0{,}8^{10}$

✅ $u_{10}\approx107{,}37$

Comme $u_0>0$ et $0<q<1$ :

✅ la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.

Question 2

$t_0=0$, $t_1=2$, $t_2=8$. Si la suite était géométrique de raison $q$, on aurait $t_1=q\,t_0=0$ : impossible car $t_1=2$.

❌ La suite $(t_n)$ n'est pas géométrique. (De plus, $\dfrac{t_{n+1}}{t_n}=\dfrac{2(n+1)}n$ dépend de $n$.)

Question 1

Une hausse de $3\,\%$ correspond à un coefficient multiplicateur de $1{,}03$. Donc $C_{n+1}=1{,}03\,C_n$.

✅ $(C_n)$ est géométrique de raison $1{,}03$ et de premier terme $5\,000$ : $C_n=5\,000\times1{,}03^n$.

$C_{10}=5\,000\times1{,}03^{10}$

✅ $C_{10}\approx6\,719{,}58$ €

Question 2

n = 0
capital = 5000
while capital < 10000:
    capital = capital * 1.03
    n = n + 1
print(n)

Le script affiche 24.

Vérification : $1{,}03^{23}\approx1{,}974$ donne $9\,868$ € et $1{,}03^{24}\approx2{,}033$ donne $10\,164$ €.

✅ Le capital double au bout de $24$ ans.

Question 3

À intérêts simples : $5\,000+150\times10=6\,500$ €.

✅ Les intérêts composés donnent $6\,719{,}58$ € contre $6\,500$ € : environ $220$ € de plus.

Question 1

Une baisse de $2\,\%$ correspond à un coefficient multiplicateur de $1-\dfrac2{100}=0{,}98$. Donc $P_{n+1}=0{,}98\,P_n$.

✅ $(P_n)$ est géométrique de raison $0{,}98$ : $P_n=200\,000\times0{,}98^n$.

Question 2

$P_{10}=200\,000\times0{,}98^{10}$

✅ $P_{10}\approx163\,415$ habitants

Question 3

On cherche le plus petit $n$ tel que $200\,000\times0{,}98^n<150\,000$, soit $0{,}98^n<0{,}75$. Avec un algorithme :

n = 0
p = 200000
while p >= 150000:
    p = p * 0.98
    n = n + 1
print(n)

Le script affiche 15.

Vérification : $0{,}98^{14}\approx0{,}7536>0{,}75$ et $0{,}98^{15}\approx0{,}7386<0{,}75$.

✅ La population passe sous $150\,000$ habitants au bout de $15$ ans.

Ce sont les termes d'une suite géométrique de premier terme $1$ et de raison $\dfrac12$, de $k=0$ à $k=7$ : $8$ termes.

$S=1\times\dfrac{1-\left(\frac12\right)^8}{1-\frac12}=2\left(1-\dfrac1{256}\right)=2\times\dfrac{255}{256}$

✅ $S=\dfrac{255}{128}\approx1{,}992$

Affirmation 1

Le coefficient global est $0{,}9\times1{,}1=0{,}99$, soit une baisse de $1\,\%$ (par exemple $100\to90\to99$).

❌ Faux.

Affirmation 2

Pour $u_0>0$ et $0<q<1$, $u_{n+1}-u_n=u_0q^n(q-1)<0$.

✅ Vrai.

Affirmation 3

Avec $q<0$, les termes alternent de signe : la suite n'est pas monotone (sauf si elle est nulle).

❌ Faux.

Affirmation 4

$u_{n+1}-u_n=u_0q^n(q-1)=-8\times0{,}5^n\times(-0{,}5)=4\times0{,}5^n>0$. Les termes sont $-8$, $-4$, $-2$, $-1$ : ils augmentent vers $0$.

❌ Faux : la suite est croissante.

Question 1

On note $S=1+q+\dots+q^n$. Alors $qS=q+q^2+\dots+q^{n+1}$.

En soustrayant : $S-qS=1-q^{n+1}$, donc $S(1-q)=1-q^{n+1}$.

✅ Comme $q\neq1$, $S=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

Question 2

Ici $q=2$ et $n=10$ : $S=\dfrac{1-2^{11}}{1-2}=2^{11}-1$.

✅ $1+2+4+\dots+2^{10}=2047$.

Question 3

Ici $q=\dfrac12$ et $n=10$ : $S=\dfrac{1-\left(\frac12\right)^{11}}{1-\frac12}=2\left(1-\dfrac1{2048}\right)=\dfrac{2047}{1024}$.

✅ $S=\dfrac{2047}{1024}\approx1{,}999$. On a $S=2-\dfrac1{1024}$ : la somme est très proche de $2$. En ajoutant des termes, l'écart à $2$ est divisé par $2$ à chaque fois, ce qui laisse conjecturer que ces sommes se rapprochent de $2$.

Question 1

Mois $1$ : un couple de lapereaux, $F_1=1$. Mois $2$ : ce couple est adulte, mais n'a pas encore eu de petits, $F_2=1$. Mois $3$ : il donne naissance à un couple, $F_3=2$. Mois $4$ : le premier couple donne de nouveau naissance, le second est adulte, $F_4=3$.

Au mois $n+2$, on retrouve tous les couples du mois $n+1$, plus un nouveau couple pour chaque couple adulte, c'est-à-dire pour chaque couple déjà présent au mois $n$.

✅ $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$.

Question 2

À chaque tour, on ajoute à la liste la somme des deux derniers termes, $F_{k-1}+F_{k-2}$ :

def fib(n):
    F = [0, 1]
    for k in range(2, n + 1):
        F.append(F[k - 1] + F[k - 2])
    return F

Question 3

Les termes sont $0,1,1,2,3,5,8,13,21,34$ : fib(9) renvoie la liste [0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34].

✅ $F_9$ est le dernier élément : fib(9)[9] vaut 34.

Question 4

def factorielle(n):
    p = 1
    for k in range(2, n + 1):
        p = p * k
    return p

Pour $n=0$ ou $n=1$ la boucle ne s'exécute pas et la fonction renvoie bien $1$.

Question 5

def syracuse(n):
    L = [n]
    while n != 1:
        if n % 2 == 0:
            n = n // 2
        else:
            n = 3 * n + 1
        L.append(n)
    return L

syracuse(7) renvoie [7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1], soit $17$ éléments.

✅ Il y a $17-1=16$ étapes pour $n=7$ (len(syracuse(7)) - 1).

On ignore si cette boucle s'arrête pour tous les entiers : c'est la célèbre conjecture de Syracuse, toujours ouverte.

Question 1

$g_{n+1}=h_{n+1}+1=2h_n+2=2(h_n+1)=2g_n$ : la suite $(g_n)$ est géométrique de raison $2$, de premier terme $g_0=h_0+1=1$.

Donc $g_n=2^n$ et $h_n=2^n-1$.

✅ $h_n=2^n-1$ et $h_{10}=2^{10}-1=1023$.

Question 2

Le programme affiche deux fois le même nombre.

✅ Les deux valeurs sont égales à $385$.

Cela vérifie la formule pour $n=10$ mais ne la démontre pas : la démonstration est un approfondissement, la formule est admise ici.

Question 3

d = 10000
mois = 0
while d > 0:
    d = 1.005 * d - 200
    mois = mois + 1
print(mois)

✅ Le programme affiche $58$ : la dette est soldée au bout de $58$ mois (le dernier versement est partiel).

Question 1

def S(n):
    terme = 0.5
    total = 0
    for k in range(n):
        total = total + terme
        terme = terme / 2
    return total

print(S(5))

Le script affiche 0.96875. Avec la formule : $S_5$ a pour premier terme $\dfrac12$, pour raison $\dfrac12$ et $5$ termes, donc $S_5=\dfrac12\times\dfrac{1-\left(\frac12\right)^5}{1-\frac12}=1-\dfrac1{32}=\dfrac{31}{32}=0{,}96875$.

Question 2

n = 1
total = 0.5
terme = 0.5
while total <= 0.999:
    terme = terme / 2
    total = total + terme
    n = n + 1
print(n)

Le script affiche 10.

Question 3

$S_n=1-\dfrac1{2^n}$, donc $S_n>0{,}999\iff\dfrac1{2^n}<0{,}001\iff2^n>1\,000$.

$2^9=512<1\,000$ et $2^{10}=1\,024>1\,000$.

✅ Le plus petit entier est $n=10$, comme le donne le script ($S_{10}=1-\dfrac1{1024}\approx0{,}99902$).