Première Spé Maths / Chapitre 2 : Suites numériques

Suites numériques : le cours

Une suite est une liste de nombres rangés dans l'ordre : le capital d'un livret année après année, la population d'une ville, le nombre de bactéries heure après heure. Les suites servent à modéliser ce qui évolue par étapes.

Ce chapitre présente deux familles à connaître par cœur : les suites arithmétiques (on ajoute toujours la même chose) et les suites géométriques (on multiplie toujours par le même nombre).

Dans tout le cours, tu verras des astuces 💡, des pièges ⚠️ et un peu d'humour 😄.

1. Définition et notation

Une suite numérique $(u_n)$ associe à chaque entier naturel $n$ un réel $u_n$, appelé terme de rang $n$.

• $u_0$ est le premier terme (souvent), $u_1$ le deuxième, etc.
• $u_{n+1}$ est le terme qui suit $u_n$.

Notations. Le terme de rang $n$ se note $u_n$ ou $u(n)$, et la suite entière se note $(u_n)$ ou $(u(n))$. Ce sont les mêmes objets : l'écriture $u(n)$ rappelle qu'une suite est une fonction définie sur les entiers. Par exemple, $u(3)=u_3$.

2. Les modes de génération d'une suite

Définition explicite : $u_n=f(n)$. On calcule directement n'importe quel terme.

Exemple : $u_n=2n^2-3n+1$. Alors $u_3=18-9+1=10$.

Définition par récurrence : on donne le premier terme et une relation $u_{n+1}=f(u_n)$. Il faut calculer les termes de proche en proche.

Exemple : $u_0=3$ et $u_{n+1}=2u_n-1$. Alors $u_1=5$, $u_2=9$, $u_3=17$.

Définition par un algorithme : un script qui calcule les termes un à un définit aussi une suite (voir la partie 7).

Définition par un motif géométrique ou un dénombrement : on compte les éléments d'une figure qui dépend de l'entier $n$. Les jetons ci-dessous forment des triangles ; on note $T_n$ le nombre de jetons de la figure $n$.

On lit $T_1=1$, $T_2=3$, $T_3=6$ et $T_4=10$. Pour passer de la figure $n$ à la figure $n+1$, on ajoute une rangée (en bleu) de $n+1$ jetons :

C'est une relation de récurrence. La suite $(T_n)$ n'est ni arithmétique (les écarts valent $2$, $3$, $4$) ni géométrique : ce sont les nombres triangulaires.

Passer d'un mode de génération à un autre. On cherche souvent une formule explicite pour une suite donnée par récurrence. L'idée : additionner les écarts $u_{k+1}-u_k$, comme dans la preuve du terme général d'une suite arithmétique.

• Pour $(T_n)$, on additionne les rangées : $T_n=1+2+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}2$. Vérification : $T_4=\dfrac{4\times5}2=10$.
• Pour $w_0=1$ et $w_{n+1}=w_n+2n$, on a $w_{k+1}-w_k=2k$. En additionnant pour $k$ de $0$ à $n-1$ : $w_n-w_0=2\,(0+1+\dots+(n-1))=2\times\dfrac{(n-1)n}2=n(n-1)$. Donc $w_n=n^2-n+1$. Vérification : $w_4=16-4+1=13$.

Ces suites ne sont ni arithmétiques ni géométriques : il n'y a pas de formule à retenir, mais une méthode (additionner les écarts) et le réflexe de vérifier sur les premiers termes.

3. Sens de variation

Une suite $(u_n)$ est :

• croissante si $u_{n+1}\ge u_n$ pour tout $n$ ;
• décroissante si $u_{n+1}\le u_n$ pour tout $n$ ;
• constante si $u_{n+1}=u_n$ pour tout $n$.

(Strictement croissante ou décroissante avec des inégalités strictes.)

Représentation graphique. On représente une suite par le nuage de points isolés $(n\,;\,u_n)$, qu'on ne relie pas : une suite n'est définie que pour les entiers. Une suite croissante a ses points qui montent quand on va vers la droite, une suite décroissante a ses points qui descendent.

Dans l'étude d'une suite, on passe sans cesse d'un registre à l'autre : la phrase (« le capital augmente de $50$ € par an »), la formule ($u_{n+1}=u_n+50$) et le nuage de points. Savoir lire un graphique et le traduire en formule fait partie du travail.

4. Suites arithmétiques

Une suite est arithmétique de raison $r$ si, pour tout $n$, $u_{n+1}=u_n+r$.

Comment prouver qu'une suite est arithmétique ? On calcule $u_{n+1}-u_n$ et on trouve une constante.

Modélisation. Une grandeur qui augmente (ou diminue) de la même quantité à chaque étape (accroissements constants) est modélisée par une suite arithmétique : c'est une croissance linéaire.

5. Suites géométriques

Une suite est géométrique de raison $q$ si, pour tout $n$, $u_{n+1}=q\,u_n$.

Comment prouver qu'une suite est géométrique ? On calcule $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ (ou on écrit $u_{n+1}=q\,u_n$) et on trouve une constante.

Modélisation. Une grandeur qui évolue du même pourcentage à chaque étape (taux constant) est modélisée par une suite géométrique : c'est une croissance exponentielle. Le rapport $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ de deux termes consécutifs est alors constant et vaut $q$.

6. Évolutions en pourcentage

• Une hausse de $t\,\%$ revient à multiplier par $1+\dfrac t{100}$.
• Une baisse de $t\,\%$ revient à multiplier par $1-\dfrac t{100}$.

Répétée chaque année, une évolution de $t\,\%$ donne une suite géométrique de raison $q=1\pm\dfrac t{100}$.

Exemple : $5\,000$ € placés à $3\,\%$ par an : le capital après $n$ années est $C_n=5\,000\times1{,}03^n$ (intérêts composés). Un placement qui rapporte $150$ € par an, lui, donne $C_n=5\,000+150n$ (intérêts simples, suite arithmétique).

7. Python

def terme(n):
    u = 3
    for k in range(n):
        u = 2*u - 1
    return u

def seuil(q, u0, s):
    n = 0
    u = u0
    while u < s:
        u = u * q
        n = n + 1
    return n

Sommes de termes et listes de termes. Pour calculer une somme $u_0+u_1+\dots+u_n$ ou garder tous les termes, on utilise une variable qui s'accumule ou une liste à laquelle on ajoute chaque terme avec append.

def somme(n):
    u = 3
    S = u
    for k in range(n):
        u = 2*u - 1
        S = S + u
    return S

def premiers_termes(n):
    u = 3
    L = [u]
    for k in range(n):
        u = 2*u - 1
        L.append(u)
    return L

8. Les 10 pépites du chapitre

Démonstrations au programme

Le programme officiel demande de savoir démontrer les quatre formules ci-dessous. Chaque preuve est courte : retiens l'idée plutôt que les lignes.

Exemple. $1+2+4+\dots+2^{10}=\dfrac{1-2^{11}}{1-2}=2047$.

Introduction intuitive de la notion de limite

Sur des exemples, on observe ce que deviennent les termes $u_n$ quand $n$ devient très grand. Trois situations se présentent :

• les termes se rapprochent d'un nombre $\ell$ : on parle de limite finie $\ell$ ;
• les termes deviennent de plus en plus grands (limite $+\infty$) ou de plus en plus négatifs (limite $-\infty$) ;
• les termes ne se stabilisent pas : il n'y a pas de limite.

En Première, il n'y a pas de définition formelle : on conjecture une limite avec un tableau de valeurs, un graphique ou un script, sur des exemples.

• $u_n=\dfrac1n$ (pour $n\geqslant1$) : les termes se rapprochent de $0$. La limite est $0$.
• $u_n=n^2$ : les termes deviennent de plus en plus grands. La limite est $+\infty$.
• $u_n=10-3n$ : les termes sont de plus en plus négatifs. La limite est $-\infty$.
• $u_n=(-1)^n$ : les termes valent tour à tour $1$ et $-1$. Il n'y a pas de limite.
• $u_n=q^n$ : avec la calculatrice, $1{,}1^n$ devient de plus en plus grand (limite $+\infty$) et $0{,}5^n$ se rapproche de $0$ (limite $0$).

Exemple. $u_0=0$ et $u_{n+1}=0{,}5\,u_n+3$. Les termes valent $3$, $4{,}5$, $5{,}25$, $5{,}625$... et se rapprochent de $6$ : on conjecture que la limite est $6$.

Lien avec les fonctions affines et la fonction exponentielle

Exemple. $u_n=3+2n$ : les points $(0\,;\,3)$, $(1\,;\,5)$, $(2\,;\,7)$ sont sur la droite $y=2x+3$. La suite $v_n=2^n$ a ses points $(0\,;\,1)$, $(1\,;\,2)$, $(2\,;\,4)$ sur une courbe qui grimpe de plus en plus vite.

Exemples d'algorithmes : factorielle, Fibonacci, Syracuse

La factorielle $n!=1\times2\times\dots\times n$ :

def factorielle(n):
    r = 1
    for k in range(2, n + 1):
        r = r * k
    return r

print(factorielle(5))   # affiche 120
print(factorielle(10))  # affiche 3628800

La suite de Fibonacci ($F_0=0$, $F_1=1$, $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$) : on construit la liste des premiers termes. On part de [0, 1] et, à chaque tour, on ajoute la somme des deux termes précédents.

def fibonacci(n):
    F = [0, 1]
    for k in range(2, n + 1):
        F.append(F[k - 1] + F[k - 2])
    return F

print(fibonacci(9))
# affiche [0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34]

Le terme $F_9$ est le dernier élément de la liste : fibonacci(9)[9] vaut 34.

La suite de Syracuse : si $u_n$ est pair, $u_{n+1}=\dfrac{u_n}2$ ; sinon $u_{n+1}=3u_n+1$. On conjecture que tout départ finit par $1$, mais personne ne l'a démontré. Le script renvoie la liste des termes jusqu'à $1$.

def syracuse(n):
    L = [n]
    while n != 1:
        if n % 2 == 0:
            n = n // 2
        else:
            n = 3 * n + 1
        L.append(n)
    return L

print(syracuse(7))
# affiche [7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1]

Un peu d'histoire des suites

9. Ce qui peut tomber en contrôle et au bac

• Calculer des termes, étudier le sens de variation (fiche 1).
• Reconnaître et exploiter une suite arithmétique (fiche 2).
• Reconnaître et exploiter une suite géométrique, sommes et modélisation en pourcentage (fiche 3).
• Des problèmes concrets et des algorithmes de seuil (exercices de synthèse).

Tu as maintenant le cours. Passe aux trois fiches, aux exercices de synthèse, puis au Guide de rédaction du chapitre.