Fiche 3 : cosinus, sinus, valeurs remarquables et angles associés

Question 1

On lit les coordonnées du point $M(x)$ sur le cercle : $I$, $J$, $I'$, $J'$ pour $0$, $\dfrac{\pi}{2}$, $\pi$, $\dfrac{3\pi}{2}$, et les valeurs remarquables pour les autres.

$x$	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\pi$	$\dfrac{3\pi}{2}$
$\cos x$	$1$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac12$	$0$	$-1$	$0$
$\sin x$	$0$	$\dfrac12$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$	$1$	$0$	$-1$

Question 2

$x=\dfrac{\pi}{6}$ : $\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^2+\left(\dfrac12\right)^2=\dfrac34+\dfrac14=1$.

$x=\dfrac{\pi}{4}$ : $\left(\dfrac{\sqrt2}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt2}{2}\right)^2=\dfrac24+\dfrac24=1$.

$x=\dfrac{\pi}{3}$ : $\left(\dfrac12\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^2=\dfrac14+\dfrac34=1$.

✅ Dans chaque colonne, $\cos^2x+\sin^2x=1$.

Question 1

$\cos\dfrac{5\pi}{6}=\cos\left(\pi-\dfrac{\pi}{6}\right)=-\cos\dfrac{\pi}{6}$ (symétrie par rapport à $(OJ)$).

✅ $\cos\dfrac{5\pi}{6}=-\dfrac{\sqrt3}{2}$

Question 2

$\sin\dfrac{7\pi}{6}=\sin\left(\pi+\dfrac{\pi}{6}\right)=-\sin\dfrac{\pi}{6}$ (symétrie par rapport à $O$).

✅ $\sin\dfrac{7\pi}{6}=-\dfrac12$

Question 3

$\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=\cos\dfrac{\pi}{3}$ (symétrie par rapport à $(OI)$, qui conserve l'abscisse).

✅ $\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac12$

Question 4

$\sin\dfrac{2\pi}{3}=\sin\left(\pi-\dfrac{\pi}{3}\right)=\sin\dfrac{\pi}{3}$ (symétrie par rapport à $(OJ)$, qui conserve l'ordonnée).

✅ $\sin\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{\sqrt3}{2}$

Question 5

$\dfrac{13\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}+4\pi=\dfrac{\pi}{3}+2\times2\pi$ : deux tours complets, donc $M\left(\dfrac{13\pi}{3}\right)=M\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$.

✅ $\cos\dfrac{13\pi}{3}=\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac12$

Question 6

$-\dfrac{5\pi}{4}+2\pi=\dfrac{3\pi}{4}$, donc $\sin\left(-\dfrac{5\pi}{4}\right)=\sin\dfrac{3\pi}{4}$.

$\sin\dfrac{3\pi}{4}=\sin\left(\pi-\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin\dfrac{\pi}{4}$ (symétrie par rapport à $(OJ)$).

✅ $\sin\left(-\dfrac{5\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt2}{2}$

Question 7

$\dfrac{11\pi}{6}=2\pi-\dfrac{\pi}{6}$, donc $M\left(\dfrac{11\pi}{6}\right)=M\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)$, symétrique de $M\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$ par rapport à $(OI)$ : même abscisse.

✅ $\cos\dfrac{11\pi}{6}=\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{2}$

Question 8

$-\dfrac{17\pi}{6}+4\pi=-\dfrac{17\pi}{6}+\dfrac{24\pi}{6}=\dfrac{7\pi}{6}$, donc $\sin\left(-\dfrac{17\pi}{6}\right)=\sin\dfrac{7\pi}{6}$.

$\sin\dfrac{7\pi}{6}=\sin\left(\pi+\dfrac{\pi}{6}\right)=-\sin\dfrac{\pi}{6}$ (symétrie par rapport à $O$).

✅ $\sin\left(-\dfrac{17\pi}{6}\right)=-\dfrac12$

Question 1

Pour tout réel $x$, $\cos^2x+\sin^2x=1$. Donc $\sin^2x=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}$, d'où $\sin x=\dfrac45$ ou $\sin x=-\dfrac45$.

Pour $x\in[0\,;\,\pi]$, le point $M(x)$ est dans le demi-plan supérieur : $\sin x\geqslant0$.

✅ $\sin x=\dfrac45$

Question 2

$\sin^2x=1-\dfrac19=\dfrac89$, donc $\sin x=\pm\dfrac{2\sqrt2}{3}$ (car $\sqrt8=2\sqrt2$).

Pour $x\in]-\pi\,;\,0[$, $M(x)$ est dans le demi-plan inférieur : $\sin x<0$.

✅ $\sin x=-\dfrac{2\sqrt2}{3}$

Question 3

$\cos^2x=1-\dfrac{25}{169}=\dfrac{144}{169}$, donc $\cos x=\pm\dfrac{12}{13}$.

Pour $x\in\left]-\dfrac{\pi}{2}\,;\,0\right[$, $M(x)$ est dans le quatrième quadrant : $\cos x>0$.

✅ $\cos x=\dfrac{12}{13}$

Question 4

$\cos^2x=1-\dfrac{1}{16}=\dfrac{15}{16}$, donc $\cos x=\pm\dfrac{\sqrt{15}}{4}$.

Pour $x\in\left]\dfrac{\pi}{2}\,;\,\pi\right[$, $M(x)$ est dans le deuxième quadrant : $\cos x<0$.

✅ $\cos x=-\dfrac{\sqrt{15}}{4}$

Question 5

On a $\cos x=\dfrac35$ et $\sin x=\dfrac45$.

$\cos(\pi-x)=-\cos x=-\dfrac35$ ; $\sin(\pi+x)=-\sin x=-\dfrac45$ ; $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin x=\dfrac45$ ; $\sin(-x)=-\sin x=-\dfrac45$.

✅ $\cos(\pi-x)=-\dfrac35$ ; $\sin(\pi+x)=-\dfrac45$ ; $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\dfrac45$ ; $\sin(-x)=-\dfrac45$.

Question 1.a

$\cos(\pi-x)=-\cos x$, $\cos(\pi+x)=-\cos x$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos x$.

$A(x)=-\cos x-\cos x+\cos x$.

✅ $A(x)=-\cos x$

Question 1.b

$\sin(-x)=-\sin x$, $\sin(\pi-x)=\sin x$ et $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin x$.

$B(x)=-\sin x+\sin x-\sin x$.

✅ $B(x)=-\sin x$

Question 1.c

$\cos^2(\pi-x)=(-\cos x)^2=\cos^2x$ et $\sin^2(\pi+x)=(-\sin x)^2=\sin^2x$.

$C(x)=\cos^2x+\sin^2x$.

✅ $C(x)=1$

Question 2

$\dfrac{3\pi}{8}=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{8}$, donc $\cos\dfrac{3\pi}{8}=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{8}\right)=\sin\dfrac{\pi}{8}$.

Donc $E=\cos^2\dfrac{\pi}{8}+\sin^2\dfrac{\pi}{8}=1$.

✅ $E=1$

Question 1

Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$, donc $AC^2=AB^2+BC^2=1+1=2$ et $AC=\sqrt2$.

Il est aussi isocèle en $B$ : les angles en $A$ et en $C$ sont égaux et leur somme est $\pi-\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi}{2}$, donc $\widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{4}$.

Pour cet angle : côté adjacent $AB=1$, côté opposé $BC=1$, hypoténuse $AC=\sqrt2$.

✅ $\cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{1}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}$ et $\sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{\sqrt2}{2}$.

Question 2

Un triangle équilatéral a ses trois angles égaux à $\dfrac{\pi}{3}$. Dans un triangle isocèle ($AB=AC$), la médiane issue de $A$ est aussi hauteur et bissectrice : $(AH)\perp(BC)$, donc $ABH$ est rectangle en $H$, et $\widehat{BAH}=\dfrac12\times\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{6}$. Aussi $\widehat{ABH}=\dfrac{\pi}{3}$.

$BH=\dfrac{BC}{2}=1$ et $AB=2$. Pythagore : $AH^2=AB^2-BH^2=4-1=3$, donc $AH=\sqrt3$.

Pour l'angle $\widehat{ABH}=\dfrac{\pi}{3}$ : adjacent $BH=1$, opposé $AH=\sqrt3$, hypoténuse $AB=2$.

✅ $\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{BH}{AB}=\dfrac12$ et $\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{\sqrt3}{2}$.

Pour l'angle $\widehat{BAH}=\dfrac{\pi}{6}$ : adjacent $AH=\sqrt3$, opposé $BH=1$.

✅ $\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{\sqrt3}{2}$ et $\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{BH}{AB}=\dfrac12$.

Question 3

$M\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$ est sur la bissectrice de l'angle $\widehat{IOJ}$, c'est-à-dire sur la droite $y=x$ : $\cos\dfrac{\pi}{4}=\sin\dfrac{\pi}{4}=c$.

Alors $\cos^2+\sin^2=1$ donne $2c^2=1$, soit $c^2=\dfrac12$. Comme $\dfrac{\pi}{4}\in\left]0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right[$, $c>0$ : $c=\dfrac{1}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}$.

✅ On retrouve $\cos\dfrac{\pi}{4}=\sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2}$.

Question 1

Pythagore : $BC^2=3^2+4^2=25$, donc $BC=5$.

Côté adjacent à $\beta$ : $AB=3$ ; côté opposé : $AC=4$ ; hypoténuse : $BC=5$.

✅ $\cos\beta=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac35$ et $\sin\beta=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac45$.

Question 2

$\cos^2\beta+\sin^2\beta=\dfrac{9}{25}+\dfrac{16}{25}=1$ : le point $\left(\dfrac35\,;\,\dfrac45\right)$ est à la distance $1$ de $O$, donc sur le cercle trigonométrique (c'est $M(\beta)$, dans le premier quadrant).

À la calculatrice, la touche $\cos^{-1}$ appliquée à $0{,}6$ (mode radian) donne $\beta\approx0{,}927$ rad, soit $\beta\approx53{,}1°$.

✅ $\beta\approx0{,}927$ rad $\approx53{,}1°$.

Question 3

La somme des angles d'un triangle vaut $\pi$ : $\gamma=\pi-\dfrac{\pi}{2}-\beta=\dfrac{\pi}{2}-\beta$.

Pour l'angle $\gamma$, le côté adjacent est $AC=4$ : $\cos\gamma=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac45=\sin\beta$.

✅ On retrouve $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\beta\right)=\sin\beta$ (et de même $\sin\gamma=\dfrac35=\cos\beta$).

Question 4

Notons $h=10$ la longueur de l'hypoténuse. Le côté adjacent à l'angle $\dfrac{\pi}{6}$ vaut $h\cos\dfrac{\pi}{6}=10\times\dfrac{\sqrt3}{2}=5\sqrt3$ et le côté opposé vaut $h\sin\dfrac{\pi}{6}=10\times\dfrac12=5$.

Contrôle : $(5\sqrt3)^2+5^2=75+25=100=10^2$.

✅ Les côtés mesurent $5\sqrt3\approx8{,}66$ cm et $5$ cm.

Affirmation 1

C'est la symétrie par rapport à l'axe des ordonnées : l'abscisse change de signe.

✅ Vrai.

Affirmation 2

$\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac12$ et $\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac12$ (ou : $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{6}\right)=\sin\dfrac{\pi}{6}$).

✅ Vrai.

Affirmation 3

$\cos\dfrac{5\pi}{6}=-\cos\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{\sqrt3}{2}\neq\dfrac12$.

❌ Faux.

Affirmation 4

$\cos^2x+\sin^2x=0{,}36+0{,}49=0{,}85\neq1$.

❌ Faux.

Affirmation 5

$\sin(\pi+x)=-\sin x$. Contre-exemple : $x=\dfrac{\pi}{2}$ donne $\sin\dfrac{3\pi}{2}=-1\neq1$.

❌ Faux.

Affirmation 6

$\cos\dfrac{7\pi}{6}=\cos\left(\pi+\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{\sqrt3}{2}$ et $\cos\dfrac{5\pi}{6}=-\dfrac{\sqrt3}{2}$ : les deux points sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses, donc ont la même abscisse.

✅ Vrai.