Produit scalaire : le cours

🎯 Comment utiliser ce cours

• Lis une partie, puis fais tout de suite la fiche correspondante.
• Retiens le fil rouge : le produit scalaire est un nombre, pas un vecteur. Il est nul si et seulement si les vecteurs sont orthogonaux.
• Retiens les quatre façons de le calculer : avec le projeté orthogonal, avec les normes et l'angle, avec les coordonnées, avec les normes seules. On choisit la plus pratique.

Définition (avec le projeté orthogonal). Le produit scalaire de $\vec u=\overrightarrow{AB}$ et $\vec v=\overrightarrow{AC}$ est le nombre réel noté $\vec u\cdot\vec v$ défini par :

• $\vec u\cdot\vec v=+\,AB\times AH$ si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AH}$ sont de même sens ;
• $\vec u\cdot\vec v=-\,AB\times AH$ si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AH}$ sont de sens contraires ;
• $\vec u\cdot\vec v=0$ si $H=A$. Si l'un des vecteurs est nul, le produit scalaire est aussi $0$.

Propriété (avec le cosinus). Si $\vec u=\overrightarrow{AB}$ et $\vec v=\overrightarrow{AC}$ sont non nuls et si $\theta=\widehat{BAC}$ est l'angle géométrique entre les deux vecteurs ($0°\leqslant\theta\leqslant180°$) :

Démonstration. Si $\theta$ est aigu, $H$ est du même côté de $A$ que $B$ et, dans le triangle $AHC$ rectangle en $H$, $AH=AC\cos\theta$. Donc $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AH=AB\times AC\times\cos\theta$.

Si $\theta$ est obtus, $H$ est de l'autre côté de $A$ et $AH=AC\cos(180°-\theta)=-AC\cos\theta$. Donc $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-AB\times AH=AB\times AC\times\cos\theta$.

Si $\theta=90°$, alors $H=A$ et les deux membres valent $0$. $\square$

Cas particuliers.

• Si $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires de même sens ($\theta=0°$) : $\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|$.
• Si $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires de sens contraires ($\theta=180°$) : $\vec u\cdot\vec v=-\|\vec u\|\,\|\vec v\|$.
• Si $\vec u$ et $\vec v$ sont orthogonaux ($\theta=90°$) : $\vec u\cdot\vec v=0$.
• Avec $\vec v=\vec u$ : $\vec u\cdot\vec u=\|\vec u\|^2$, noté $\vec u^{\,2}$ (le carré scalaire).

Propriété (caractérisation de l'orthogonalité). Deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont orthogonaux si et seulement si $\vec u\cdot\vec v=0$.

Démonstration. On convient que le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur : c'est cohérent avec $\vec u\cdot\vec 0=0$. Si $\vec u$ et $\vec v$ sont non nuls, $\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos\theta$ avec $\|\vec u\|\,\|\vec v\|\neq0$, donc $\vec u\cdot\vec v=0\iff\cos\theta=0\iff\theta=90°$. $\square$

Propriétés. Pour tous vecteurs $\vec u$, $\vec v$, $\vec w$ et tout réel $k$ :

• symétrie : $\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec u$ ;
• bilinéarité : $\vec u\cdot(\vec v+\vec w)=\vec u\cdot\vec v+\vec u\cdot\vec w$ et $(k\vec u)\cdot\vec v=k\,(\vec u\cdot\vec v)$ ;
• carré scalaire : $\vec u\cdot\vec u=\|\vec u\|^2$.

La symétrie se lit sur la formule avec le cosinus. La bilinéarité est admise : l'idée est que le projeté orthogonal d'une somme de vecteurs est la somme des projetés, et que multiplier un vecteur par $k$ multiplie son projeté par $k$.

Développement de $\|\vec u+\vec v\|^2$ et $\|\vec u-\vec v\|^2$.

• $\|\vec u+\vec v\|^2=\|\vec u\|^2+2\,\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2$ ;
• $\|\vec u-\vec v\|^2=\|\vec u\|^2-2\,\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2$ ;
• $(\vec u+\vec v)\cdot(\vec u-\vec v)=\|\vec u\|^2-\|\vec v\|^2$.

Démonstration. Par bilinéarité et symétrie : $\|\vec u+\vec v\|^2=(\vec u+\vec v)\cdot(\vec u+\vec v)=\vec u\cdot\vec u+2\,\vec u\cdot\vec v+\vec v\cdot\vec v$. Les deux autres se démontrent de la même façon. $\square$

En isolant $\vec u\cdot\vec v$, on obtient le calcul à l'aide des normes seules :

Propriété (avec les coordonnées). Dans un repère orthonormé $(O\,;\vec\imath,\vec\jmath)$, si $\vec u\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ et $\vec v\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$ :

Démonstration. La base $(\vec\imath,\vec\jmath)$ est orthonormée : $\vec\imath\cdot\vec\imath=\vec\jmath\cdot\vec\jmath=1$ (normes égales à $1$) et $\vec\imath\cdot\vec\jmath=0$ (vecteurs orthogonaux). Comme $\vec u=x\vec\imath+y\vec\jmath$ et $\vec v=x'\vec\imath+y'\vec\jmath$, la bilinéarité donne

Avec $\vec v=\vec u$ : $\|\vec u\|^2=\vec u\cdot\vec u=x^2+y^2$. $\square$

Conséquences dans un repère orthonormé.

• Critère d'orthogonalité : $\vec u\perp\vec v\iff xx'+yy'=0$.
• Coordonnées avec des produits scalaires : $x=\vec u\cdot\vec\imath$ et $y=\vec u\cdot\vec\jmath$.

Pourquoi ? $\vec u\cdot\vec\imath=(x\vec\imath+y\vec\jmath)\cdot\vec\imath=x\,\vec\imath^{\,2}+y\,\vec\jmath\cdot\vec\imath=x$, et de même pour $y$. $\square$

Rappel. Deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont orthogonaux si et seulement si $\vec u\cdot\vec v=0$. Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.

Calcul d'un angle. Pour deux vecteurs non nuls, si $\theta$ est l'angle géométrique entre $\vec u$ et $\vec v$, $\cos\theta=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}$. On en déduit l'angle avec la calculatrice (mode degrés).

• Si $\vec u\cdot\vec v>0$, l'angle est aigu ;
• Si $\vec u\cdot\vec v<0$, l'angle est obtus ;
• Si $\vec u\cdot\vec v=0$, l'angle est droit.

Formule d'Al-Kashi (théorème de Pythagore généralisé). Dans tout triangle $ABC$ :

et de même $b^2=a^2+c^2-2ac\cos\widehat{B}$ et $c^2=a^2+b^2-2ab\cos\widehat{C}$.

Démonstration. $BC^2=\left\|\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right\|^2=AC^2+AB^2-2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=b^2+c^2-2bc\cos\widehat{A}$. $\square$

Propriété. Soit $I$ le milieu de $[AB]$. Pour tout point $M$ du plan :

Démonstration. On introduit $I$ : $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}$ et $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IA}$.

$\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)\cdot\left(\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IA}\right)=MI^2-IA^2=MI^2-\dfrac{AB^2}4$. $\square$

Ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$.

$\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\iff MI^2=\dfrac{AB^2}4\iff MI=\dfrac{AB}2$.

Cet ensemble est donc le cercle de centre $I$ et de rayon $\dfrac{AB}2$, c'est-à-dire le cercle de diamètre $[AB]$. Pour $M$ distinct de $A$ et $B$, cela signifie que l'angle $\widehat{AMB}$ est droit. $\square$

Même méthode, deux autres calculs avec le milieu $I$. Ils ne sont pas à apprendre par cœur : on les retrouve en quelques lignes.

• Somme de carrés. Avec $I$ milieu de $[AB]$ : $MA^2+MB^2=\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)^2+\left(\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IA}\right)^2=2\,MI^2+2\,IA^2=2\,MI^2+\dfrac{AB^2}{2}$ (les doubles produits s'annulent).
• Longueur d'une médiane. Avec $I$ milieu de $[BC]$ : $2\,\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$, donc $4\,AI^2=AB^2+AC^2+2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$. Or $2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB^2+AC^2-BC^2$ (c'est Al-Kashi), donc $4\,AI^2=2\,AB^2+2\,AC^2-BC^2$.

Hors programme de Première. Ces deux résultats ne sont pas exigibles et aucun exercice du chapitre n'en a besoin.

• Aire d'un triangle. Si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$, l'aire vaut $\dfrac12\,AB\times CH$. Dans le triangle $AHC$ rectangle en $H$, $CH=AC\sin\widehat{A}$, d'où aire $=\dfrac12\,bc\sin\widehat{A}$. Au programme, on calcule plutôt $CH$ avec le projeté orthogonal et le théorème de Pythagore (voir la fiche 3).
• Loi des sinus : $\dfrac{a}{\sin\widehat{A}}=\dfrac{b}{\sin\widehat{B}}=\dfrac{c}{\sin\widehat{C}}$. Elle est admise ici (c'est un approfondissement possible du programme).

• La notion de vecteur était implicite en mécanique depuis Galilée, mais elle a mis longtemps à prendre sa forme actuelle. On observe un lien entre analyse et géométrie dans la façon dont elle apparaît chez Leibniz, lors de ses recherches sur un calcul des variations.
• Le XIXe siècle voit l'élaboration conjointe de ce qui deviendra le produit scalaire et de la notion de travail en physique : c'est la caisse du début du cours.
• Le calcul vectoriel et le produit scalaire donnent une approche de la géométrie différente de celle des Anciens, avec l'avantage de combiner vision géométrique et calcul.
• La caractérisation du cercle de diamètre $[AB]$ comme ensemble des points $M$ tels que le triangle $AMB$ soit rectangle en $M$ semble remonter à Thalès.