Première Spé Maths / Chapitre 10 : Variables aléatoires

Variables aléatoires : le cours

Tu joues à un jeu où tu peux gagner ou perdre de l'argent. À la longue, est-ce que tu gagnes ou tu perds ? Une variable aléatoire et son espérance répondent à cette question avec un seul nombre.

Dans ce chapitre, tu apprends à décrire un résultat numérique dû au hasard par une variable aléatoire, à calculer sa loi, son espérance, sa variance et son écart type, puis à simuler une variable aléatoire avec Python.

Dans tout le cours, tu verras des astuces 💡, des pièges ⚠️ et un peu d'humour 😄.

1. Variable aléatoire réelle

Quand on lance un dé, l'issue est une face. Mais ce qui t'intéresse est souvent un nombre qui dépend de cette issue : un gain, un nombre de piles, une somme. C'est exactement ce qu'est une variable aléatoire.

Exemple 1 (deux pièces). On lance deux fois une pièce équilibrée. L'univers est $\Omega=\{PP\,;PF\,;FP\,;FF\}$ (les quatre issues sont équiprobables). Soit $X$ le nombre de piles :

Les valeurs possibles de $X$ sont $0$, $1$ et $2$.

Exemple 2 (jeu de dé). On lance un dé équilibré. Pour $1$, $2$ ou $3$, on perd $1$ €. Pour $4$ ou $5$, on gagne $1$ €. Pour $6$, on gagne $4$ €. Ici $\Omega=\{1\,;2\,;3\,;4\,;5\,;6\}$ et $X$ est le gain algébrique en euros :

Les valeurs possibles de $X$ sont $-1$, $1$ et $4$. Deux issues différentes peuvent donner la même valeur : une fonction n'a pas besoin d'être injective.

Exemple (deux pièces). $\{X=1\}=\{PF\,;FP\}$ donc $P(X=1)=\dfrac24=\dfrac12$. Et $\{X\leqslant1\}=\{PF\,;FP\,;FF\}$ donc $P(X\leqslant1)=\dfrac34$.

Passer de la langue naturelle aux symboles (et inversement) est une capacité attendue. Voici les traductions à connaître :

2. Loi d'une variable aléatoire

Pourquoi la somme vaut $1$ ? Les événements $\{X=x_1\},\dots,\{X=x_n\}$ ne se chevauchent pas et, ensemble, ils contiennent toutes les issues de $\Omega$.

Exemple 1 (deux pièces).

Exemple 2 (jeu de dé). $P(X=-1)=\dfrac36$ (issues $1$, $2$, $3$), $P(X=1)=\dfrac26$ (issues $4$, $5$) et $P(X=4)=\dfrac16$ (issue $6$).

Calculer $P(X\leqslant a)$ : on additionne les probabilités des valeurs $x_i\leqslant a$. Ici $P(X\leqslant1)=\dfrac12+\dfrac13=\dfrac56$ et $P(X\geqslant1)=\dfrac13+\dfrac16=\dfrac12$.

Trois façons de trouver une loi : (a) univers équiprobable : on compte les issues favorables à chaque $\{X=x_i\}$ ; (b) un tableau ou une urne : on lit les effectifs ; (c) un arbre pondéré, qu'on additionne chemin par chemin.

Exemple (arbre). Un tireur réussit chaque tir avec la probabilité $0{,}7$, les deux tirs étant indépendants. Soit $X$ le nombre de tirs réussis. L'arbre est construit comme au chapitre 9 (répétition d'épreuves de Bernoulli) : on multiplie le long d'un chemin.

$X=1$ correspond à deux chemins ($S\overline{S}$ et $\overline{S}S$) : $P(X=1)=0{,}21+0{,}21=0{,}42$.

On vérifie : $0{,}09+0{,}42+0{,}49=1$. Le nombre de succès n'est ici qu'un exemple de variable aléatoire : sa loi se lit sur l'arbre.

3. Espérance

Exemple (jeu de dé).

Interprétation. Si l'on joue un très grand nombre de fois, le gain moyen par partie est proche de $E(X)$ : ici, environ $0{,}50$ € gagné par partie. C'est ce que tu vérifieras par simulation à la fin du chapitre. L'espérance ne dit rien sur le résultat d'une seule partie.

4. Linéarité de l'espérance

Démonstration. Si $a\neq0$, la variable $aX+b$ prend les valeurs $ax_i+b$ avec les probabilités $p_i$. Donc

Si $a=0$, la variable $aX+b$ est constante égale à $b$, d'espérance $b=0\times E(X)+b$ : la formule reste vraie. $\square$

Exemples. Si la partie coûte $2$ €, le gain net est $X-2$ et $E(X-2)=E(X)-2=\dfrac12-2=-\dfrac32$. Si l'on double tous les gains, $E(2X)=2E(X)=1$. Et pour changer d'unité : si $X$ est un temps en minutes, $60X$ est le même temps en secondes et $E(60X)=60\,E(X)$.

5. Variance et écart type

L'espérance donne la valeur moyenne. Il faut aussi mesurer la dispersion des valeurs autour de cette moyenne.

Interprétation. La variance est la moyenne (pondérée) des carrés des écarts à l'espérance. Plus les valeurs sont éloignées de $E(X)$, plus $V(X)$ et $\sigma(X)$ sont grands. L'écart type a la même unité que $X$.

Exemple (deux jeux de même espérance). Jeu $A$ : on gagne $1$ € ou on perd $1$ €, avec la probabilité $\dfrac12$ chacun. Jeu $B$ : on gagne $10$ € ou on perd $10$ €, avec la probabilité $\dfrac12$ chacun. Dans les deux cas $E=0$. Mais

Le jeu $B$ est équitable comme le jeu $A$, mais bien plus risqué : ses résultats sont dix fois plus dispersés.

Démonstration. Notons $\mu=E(X)$. On développe $(x_i-\mu)^2=x_i^2-2\mu x_i+\mu^2$, puis on utilise $\sum p_i=1$ et $\sum p_ix_i=\mu$ :

(Si deux valeurs $x_i$ ont le même carré, on regroupe leurs termes : la somme $\sum x_i^2p_i$ ne change pas.)

Exemple (jeu de dé). $E(X^2)=1\times\dfrac12+1\times\dfrac13+16\times\dfrac16=\dfrac{3+2+16}{6}=\dfrac72$. Donc

6. Lien avec les statistiques

Une série statistique peut se lire comme une variable aléatoire : on tire au hasard, avec équiprobabilité, un individu de la population, et $X$ est la valeur observée sur cet individu. Alors les proportions deviennent des probabilités, la moyenne devient l'espérance et l'écart type de la série devient $\sigma(X)$.

Exemple. Cinq élèves ont obtenu $8$, $10$, $10$, $12$ et $15$. On tire un élève au hasard et $X$ est sa note.

On retrouve la moyenne $11$ de la série et son écart type $\sqrt{5{,}6}\approx2{,}37$.

7. Algorithmique : espérance, variance, écart type

Une loi se stocke dans une liste de couples (x, p). Les trois fonctions suivantes appliquent les définitions :

from math import sqrt

def esperance(loi):
    return sum(x * p for x, p in loi)

def variance(loi):
    m = esperance(loi)
    return sum(p * (x - m) ** 2 for x, p in loi)

def ecart_type(loi):
    return sqrt(variance(loi))

loi = [(-1, 1/2), (1, 1/3), (4, 1/6)]
print(esperance(loi), variance(loi), ecart_type(loi))

Le script affiche 0.49999999999999994 3.25 1.8027756377319946 : on retrouve $\dfrac12$, $\dfrac{13}4$ et $\dfrac{\sqrt{13}}2$, avec les erreurs d'arrondi habituelles des flottants.

Exemple d'algorithme : la fréquence des lettres d'un texte. On parcourt le texte, on compte chaque lettre, puis on divise par le nombre de lettres. C'est la loi de l'expérience « tirer au hasard une lettre du texte ».

def frequences(texte):
    comptes = {}
    total = 0
    for c in texte.lower():
        if c.isalpha():
            comptes[c] = comptes.get(c, 0) + 1
            total += 1
    return {c: n / total for c, n in comptes.items()}

print(frequences("variable aleatoire"))

Le texte contient $17$ lettres dont $4$ fois la lettre a : la fréquence de a est $\dfrac4{17}\approx0{,}235$. Pour obtenir une variable réelle, on associe un nombre à chaque lettre : par exemple $X=1$ si la lettre est une voyelle et $X=0$ sinon. Alors $E(X)$ est la proportion de voyelles du texte (ici $\dfrac{10}{17}$).

8. Expérimentation : simuler une variable aléatoire

Une variable aléatoire se simule : on répète l'expérience et on calcule la moyenne des résultats obtenus sur un échantillon de taille $n$. Pour le jeu de dé du paragraphe 3 :

from random import randint

def gain():
    de = randint(1, 6)
    if de <= 3:
        return -1
    if de <= 5:
        return 1
    return 4

def moyenne(n):
    total = 0
    for _ in range(n):
        total += gain()
    return total / n

La moyenne $m$ d'un échantillon est elle-même aléatoire : elle change à chaque exécution. On compare $m$ à l'espérance $\mu=0{,}5$ pour des tailles $n$ de plus en plus grandes :

mu = 0.5
for n in [10, 100, 1000, 10000]:
    m = moyenne(n)
    print(n, m, abs(m - mu))

Exemple d'exécution : on a obtenu $m=1{,}1$ pour $n=10$, $m=0{,}7$ pour $n=100$, $m=0{,}539$ pour $n=1000$ et $m=0{,}5085$ pour $n=10\,000$. Chez toi, les valeurs seront différentes. On observe que la distance $|m-\mu|$ est en général de plus en plus petite quand $n$ augmente, sans que ce soit toujours le cas d'une exécution à l'autre.

On quantifie cet écart en simulant $N$ échantillons de taille $n$ et en calculant la proportion de ceux pour lesquels $|m-\mu|\leqslant\dfrac{2\sigma}{\sqrt n}$ :

from math import sqrt

def proportion(N, n, mu, sigma):
    ok = 0
    for _ in range(N):
        m = moyenne(n)
        if abs(m - mu) <= 2 * sigma / sqrt(n):
            ok += 1
    return ok / N

print(proportion(1000, 100, 0.5, sqrt(13) / 2))

Ici $\dfrac{2\sigma}{\sqrt n}=\dfrac{\sqrt{13}}{10}\approx0{,}36$. Lors d'une exécution, on a obtenu une proportion de $0{,}96$ : environ $95\,\%$ des moyennes d'échantillons sont à une distance de $\mu$ inférieure ou égale à $\dfrac{2\sigma}{\sqrt n}$. C'est une observation expérimentale et non un théorème démontré ici. Elle montre que l'espérance peut être estimée par une moyenne observée, avec une précision de l'ordre de $\dfrac{\sigma}{\sqrt n}$.

Tu as maintenant le cours. Passe aux trois fiches, aux exercices de synthèse, puis au Guide de rédaction du chapitre.