Première Spé Maths / Chapitre 10 : Variables aléatoires

Fiche 3 : espérance et résolution de problèmes

Sept exercices pour utiliser l'espérance dans des problèmes :

une loterie et le prix d'un ticket équitable ;
la somme de deux dés ;
une assurance ;
la roulette : deux mises, même espérance, risque différent ;
un approfondissement facultatif : la fonction $x\mapsto E\bigl((X-x)^2\bigr)$ ;
Python : écart type et fréquence des lettres ;
vrai/faux.

Toutes les corrections sont rédigées comme on l'attend d'une bonne copie :

la variable aléatoire et ses valeurs sont annoncées ;
les formules sont citées ;
chaque résultat est interprété avec l'unité du contexte.

💡 Le modèle de rédaction pour un problème d'espérance

« Soit $X$ le gain algébrique en euros. $X$ prend les valeurs $498$ , $48$ , $8$ et $-2$ . Sa loi est donnée par le tableau. $E(X)=\sum x_ip_i=-1{,}05$ . En moyenne, un acheteur perd $1{,}05$ € par ticket. »

Définis $X$ avec son unité.
Écris la loi.
Interprète le résultat par une phrase.

⚠️ Les pièges classiques

Oublier de déduire la mise du gain.
Calculer l'espérance sans vérifier que la somme des probabilités vaut $1$ .
Ne pas interpréter le résultat.
Écrire la variance dans la mauvaise unité.

😄 Un jeu où l'on perd en moyenne $1{,}05$ € par ticket s'appelle une loterie. Un jeu où l'on gagne en moyenne s'appelle une erreur de l'organisateur.

Exercice 1 (★★) : une loterie

Une tombola vend $1000$ tickets à $2$ € l'un. Il y a $1$ lot de $500$ €, $5$ lots de $50$ € et $20$ lots de $10$ €. On achète un ticket et on note $X$ le gain algébrique (valeur du lot moins le prix du ticket).

1. Donner la loi de $X$ .

2. Calculer $E(X)$ et interpréter.

3. À quel prix l'organisateur devrait-il vendre un ticket pour que le jeu soit équitable ?

✏️ Correction de l'exercice 1

Question 1

$X$ prend les valeurs $498$ , $48$ , $8$ et $-2$ (ticket perdant).

Il y a $1+5+20=26$ tickets gagnants et $974$ tickets perdants.

$x_i$	$498$	$48$	$8$	$-2$
$P(X=x_i)$	$0{,}001$	$0{,}005$	$0{,}02$	$0{,}974$

Vérification : $0{,}001+0{,}005+0{,}02+0{,}974=1$ .

Question 2

$E(X)=498\times0{,}001+48\times0{,}005+8\times0{,}02-2\times0{,}974=0{,}498+0{,}24+0{,}16-1{,}948=-1{,}05$ .

✅ En moyenne, un acheteur perd $1{,}05$ € par ticket.

Question 3

Les lots valent $500+5\times50+20\times10=950$ €, soit $0{,}95$ € par ticket en moyenne. Pour un prix $m$ , $E(X)=0{,}95-m$ .

✅ Le jeu est équitable pour un ticket à $0{,}95$ €.

Exercice 2 (★★) : la somme de deux dés

On lance deux dés équilibrés à six faces. L'univers $\Omega$ est formé des $36$ couples $(a\,;b)$ , équiprobables. On note $S$ la variable aléatoire $S(a\,;b)=a+b$ .

1. Donner la loi de $S$ .

2. Calculer $P(S\geqslant10)$ .

3. Calculer $E(S)$ puis $V(S)$ avec la formule de König-Huygens.

✏️ Correction de l'exercice 2

Question 1

Le nombre de couples de somme $s$ est $1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1$ pour $s=2,\dots,12$ (par exemple somme $4$ : $(1\,;3)$ , $(2\,;2)$ , $(3\,;1)$ ).

$s$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$
$P(S=s)$	$\frac1{36}$	$\frac2{36}$	$\frac3{36}$	$\frac4{36}$	$\frac5{36}$	$\frac6{36}$	$\frac5{36}$	$\frac4{36}$	$\frac3{36}$	$\frac2{36}$	$\frac1{36}$

Vérification : $\dfrac{1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1}{36}=\dfrac{36}{36}=1$ .

Question 2

$P(S\geqslant10)=\dfrac{3+2+1}{36}=\dfrac6{36}$ .

✅ $P(S\geqslant10)=\dfrac16$ .

Question 3

$E(S)=\dfrac{2\times1+3\times2+4\times3+5\times4+6\times5+7\times6+8\times5+9\times4+10\times3+11\times2+12\times1}{36}=\dfrac{252}{36}=7$ .

$E(S^2)=\dfrac{4\times1+9\times2+16\times3+25\times4+36\times5+49\times6+64\times5+81\times4+100\times3+121\times2+144\times1}{36}=\dfrac{1974}{36}=\dfrac{329}6$ .

✅ $V(S)=\dfrac{329}6-49=\dfrac{35}6\approx5{,}83$ et $\sigma(S)\approx2{,}42$ .

Exercice 3 (★★) : une assurance

Un assureur propose un contrat à $60$ € par an. La probabilité d'un sinistre est $0{,}02$ et un sinistre coûte $2000$ € à l'assureur. Soit $B$ le bénéfice annuel de l'assureur sur un contrat (prime moins coût).

1. Donner la loi de $B$ .

2. Calculer $E(B)$ et interpréter.

3. Calculer $V(B)$ et $\sigma(B)$ .

✏️ Correction de l'exercice 3

Question 1

Sans sinistre : $B=60$ avec la probabilité $0{,}98$ . Avec un sinistre : $B=60-2000=-1940$ avec la probabilité $0{,}02$ .

$b_i$	$60$	$-1940$
$P(B=b_i)$	$0{,}98$	$0{,}02$

Question 2

$E(B)=60\times0{,}98-1940\times0{,}02=58{,}8-38{,}8=20$ .

✅ Sur un grand nombre de contrats, l'assureur gagne en moyenne $20$ € par contrat. Cette moyenne est un gain par contrat : elle ne dit pas que chaque contrat rapporte $20$ €.

Question 3

$E(B^2)=3600\times0{,}98+1940^2\times0{,}02=3528+75272=78800$ .

$V(B)=78800-20^2=78400$ .

✅ $\sigma(B)=\sqrt{78400}=280$ € : le bénéfice d'un contrat est très dispersé autour de $20$ €.

Exercice 4 (★★) : la roulette

À la roulette française, une bille s'arrête au hasard sur l'une des $37$ cases numérotées de $0$ à $36$ (équiprobables). Un joueur mise $1$ €.

• Mise sur un numéro : si ce numéro sort, le joueur récupère sa mise et gagne $35$ € de plus ; sinon il perd sa mise. Soit $G_1$ le gain algébrique.

• Mise sur « pair » (les $18$ numéros pairs de $2$ à $36$ , le $0$ n'est pas pair) : si un numéro pair sort, le joueur gagne $1$ € ; sinon il perd sa mise. Soit $G_2$ le gain algébrique.

1. Donner la loi de $G_1$ et de $G_2$ .

2. Calculer $E(G_1)$ et $E(G_2)$ . Interpréter.

3. Calculer $V(G_1)$ , $V(G_2)$ et les écarts types. Comparer.

4. Pour un jeu sur un numéro, quel gain $g$ (au lieu de $35$ ) rendrait le jeu équitable ?

✏️ Correction de l'exercice 4

Question 1

$G_1$ vaut $35$ avec la probabilité $\dfrac1{37}$ et $-1$ avec la probabilité $\dfrac{36}{37}$ . $G_2$ vaut $1$ avec la probabilité $\dfrac{18}{37}$ et $-1$ avec la probabilité $\dfrac{19}{37}$ ( $19$ cases : le $0$ et les $18$ impairs).

$x_i$	$-1$	$35$
$P(G_1=x_i)$	$\dfrac{36}{37}$	$\dfrac1{37}$

$x_i$	$-1$	$1$
$P(G_2=x_i)$	$\dfrac{19}{37}$	$\dfrac{18}{37}$

Question 2

$E(G_1)=35\times\dfrac1{37}-\dfrac{36}{37}=-\dfrac1{37}$ et $E(G_2)=\dfrac{18}{37}-\dfrac{19}{37}=-\dfrac1{37}$ .

✅ Dans les deux cas, le joueur perd en moyenne $\dfrac1{37}\approx0{,}027$ € par partie : le jeu lui est défavorable.

Question 3

$E(G_1^2)=35^2\times\dfrac1{37}+\dfrac{36}{37}=\dfrac{1261}{37}$ donc $V(G_1)=\dfrac{1261}{37}-\dfrac1{37^2}=\dfrac{46656}{1369}$ et $\sigma(G_1)=\dfrac{216}{37}\approx5{,}84$ €.

$E(G_2^2)=1$ donc $V(G_2)=1-\dfrac1{1369}=\dfrac{1368}{1369}$ et $\sigma(G_2)\approx1{,}00$ €.

✅ Les espérances sont égales mais $\sigma(G_1)\approx5{,}84$ est près de six fois $\sigma(G_2)\approx1{,}00$ : miser sur un numéro est beaucoup plus risqué (rares gros gains, pertes fréquentes).

Question 4

Avec un gain $g$ , $E=\dfrac g{37}-\dfrac{36}{37}$ . Elle est nulle si $g=36$ .

✅ Le jeu serait équitable avec un gain de $36$ € (au lieu de $35$ €).

Exercice 5 (★★★) : pour aller plus loin : écart quadratique moyen

Pour aller plus loin, hors programme (approfondissement facultatif du programme). Une variable aléatoire $X$ prend les valeurs $0$ , $2$ et $4$ avec les probabilités $0{,}25$ , $0{,}5$ et $0{,}25$ . Pour tout réel $x$ , on pose $f(x)=E\bigl((X-x)^2\bigr)$ .

1. Calculer $E(X)$ et $E(X^2)$ .

2. Montrer que $f(x)=x^2-4x+6$ .

3. Mettre $f$ sous forme canonique et en déduire son minimum. Comparer avec $V(X)$ .

4. Dans le cas général, montrer que $f(x)=x^2-2E(X)\,x+E(X^2)$ et que le minimum de $f$ vaut $V(X)$ .

✏️ Correction de l'exercice 5

Question 1

$E(X)=0\times0{,}25+2\times0{,}5+4\times0{,}25=2$ .

✅ $E(X^2)=0+4\times0{,}5+16\times0{,}25=6$ .

Question 2

$(X-x)^2=X^2-2xX+x^2$ . Par linéarité de l'espérance :

$f(x)=E(X^2)-2x\,E(X)+x^2=6-4x+x^2$ .

✅ $f(x)=x^2-4x+6$ .

Question 3

$f(x)=(x-2)^2-4+6=(x-2)^2+2$ .

Un carré est positif ou nul : $f(x)\geqslant2$ , avec égalité pour $x=2$ .

✅ Le minimum de $f$ vaut $2$ , atteint en $x=E(X)=2$ . Il est égal à $V(X)=E(X^2)-E(X)^2=6-4=2$ .

Question 4

Même calcul : $f(x)=E(X^2)-2xE(X)+x^2$ . Avec $\mu=E(X)$ , la forme canonique est $f(x)=(x-\mu)^2-\mu^2+E(X^2)=(x-\mu)^2+V(X)$ d'après König-Huygens.

✅ Donc $f(x)\geqslant V(X)$ avec égalité si et seulement si $x=E(X)$ : l'espérance est le réel qui minimise l'écart quadratique moyen, et ce minimum est la variance.

Exercice 6 (★★) : Python

On range une loi dans une liste de couples $(x_i\,;p_i)$ et on écrit :
from math import sqrt

def esperance(loi):
    return sum(x * p for x, p in loi)

def variance(loi):
    m = esperance(loi)
    return sum(p * (x - m) ** 2 for x, p in loi)

def ecart_type(loi):
    return ...
1. Compléter la fonction ecart_type.

2. Que renvoient esperance, variance et ecart_type pour loi = [(0, 1/2), (2, 1/2)] ? Le vérifier à la main.

3. Voici une fonction qui doit renvoyer la fréquence de chaque lettre d'un texte :
def frequences(texte):
    comptes = {}
    total = 0
    for c in texte.lower():
        if ... :
            comptes[c] = comptes.get(c, 0) + 1
            total += 1
    return {c: n / total for c, n in comptes.items()}
Quelle condition faut-il écrire à la place des points de suspension ? Que renvoie frequences("banane") ?

4. On associe à chaque lettre de "banane" le nombre $1$ si c'est une voyelle, $0$ sinon. On tire une lettre au hasard et $X$ est ce nombre. Calculer $E(X)$ .

✏️ Correction de l'exercice 6

Question 1

def ecart_type(loi):
    return sqrt(variance(loi))

L'écart type est la racine carrée de la variance.

Question 2

Ici $E(X)=0\times\dfrac12+2\times\dfrac12=1$ , $V(X)=\dfrac12(0-1)^2+\dfrac12(2-1)^2=1$ et $\sigma(X)=1$ .

✅ Les fonctions renvoient 1.0, 1.0 et 1.0.

Question 3

On ne doit compter que les lettres (pas les espaces ni la ponctuation) : la condition est c.isalpha().

Dans "banane", il y a $6$ lettres : b une fois, a deux fois, n deux fois, e une fois.

✅ frequences("banane") renvoie les fréquences $\dfrac16$ pour b, $\dfrac13$ pour a, $\dfrac13$ pour n et $\dfrac16$ pour e (de somme $1$ ).

Question 4

Les voyelles sont a et e : $X=1$ avec la probabilité $\dfrac13+\dfrac16=\dfrac12$ et $X=0$ avec la probabilité $\dfrac12$ .

✅ $E(X)=1\times\dfrac12=\dfrac12$ : la moitié des lettres de "banane" sont des voyelles.

Exercice 7 (★★) : vrai ou faux

Justifier chaque réponse :

1. Un jeu dont le gain algébrique a pour espérance $-0{,}5$ est défavorable au joueur.

2. Si l'espérance du gain est nulle, le joueur ne perd jamais.

3. Sur un grand nombre de parties, la moyenne des gains observés est en général proche de l'espérance du gain.

4. L'écart type d'un gain en euros s'exprime en euros.

✏️ Correction de l'exercice 7

Affirmation 1

Le joueur perd en moyenne $0{,}50$ € par partie.

✅ Vrai.

Affirmation 2

Un jeu équitable compense gains et pertes en moyenne : à chaque partie, le joueur peut perdre.

❌ Faux.

Affirmation 3

C'est l'observation faite par simulation : plus l'échantillon est grand, plus la moyenne observée est en général proche de l'espérance.

✅ Vrai.

Affirmation 4

$\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$ a la même unité que $X$ (la variance est en euros au carré).

✅ Vrai.

🎯 Ce qui peut tomber en contrôle

Loterie, jeu avec mise, assurance : loi, espérance, interprétation (exercices 1, 3 et 4).
Somme de deux dés : loi, espérance, variance (exercice 2).
Python : écrire ecart_type, calculer des fréquences (exercice 6).

L'exercice 5 est un approfondissement facultatif : il ne fait pas partie des attendus.

QCM : vérifie tes acquis

5 questions, une seule bonne réponse chacune. Choisis une réponse : la correction s'affiche tout de suite. Ton score est enregistré dans Mon espace.

Question 1 sur 5

Un jeu à $E(G)=-0{,}5$ est :

Question 2 sur 5

La somme de deux dés vaut $7$ avec la probabilité :

Question 3 sur 5

Pour une loterie à $E(X)=-1$ (gain algébrique), l'organisateur gagne en moyenne :

Question 4 sur 5

Une partie reçoit en moyenne $E(R)=3$ €. La mise qui rend le jeu équitable est :

Question 5 sur 5

esperance([(0, 0.5), (10, 0.5)]) renvoie :

Un doute sur ce chapitre ? On en parle ensemble, sans engagement.

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