Première Spé Maths / Chapitre 9 : Probabilités conditionnelles et indépendance

Fiche 2 : inversion du conditionnement

Six exercices pour maîtriser l'inversion du conditionnement :

un test médical ;
formule d'inversion avec des données ;
deux urnes ;
un filtre anti-spam ;
reconstituer des données manquantes ;
vrai/faux.

Toutes les corrections sont rédigées comme on l'attend d'une bonne copie :

l'arbre est dessiné et les événements sont nommés ;
$P(B)$ est calculé par la formule des probabilités totales avant la division ;
le résultat est interprété par une phrase.

💡 Le modèle de rédaction pour une probabilité « sachant que »

« On cherche $P_T(M)$ . Par définition, $P_T(M)=\dfrac{P(M\cap T)}{P(T)}$ . On a $P(M\cap T)=0{,}019$ et, d'après la formule des probabilités totales, $P(T)=0{,}0582$ . Donc $P_T(M)=\dfrac{0{,}019}{0{,}0582}\approx0{,}33$ . »

Écris ce que l'on cherche avec la notation $P_B(A)$ .
Numérateur : un chemin de l'arbre.
Dénominateur : les probabilités totales.

Pas de formule à retenir par cœur. Le calcul de $P_B(A)$ s'appelle parfois « formule de Bayes ». Ce n'est pas une formule du programme : c'est la définition $P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$ , avec un chemin de l'arbre au numérateur et les probabilités totales au dénominateur. Dans les corrections, on refait ce raisonnement à chaque fois.

⚠️ Les pièges classiques

Confondre $P_A(B)$ et $P_B(A)$ .
Diviser par le mauvais événement.
Oublier de calculer $P(B)$ avant de diviser.
Donner la valeur sans l'interpréter.

😄 Si ton test dit « positif » et que tu t'écroules, respire : fais d'abord le calcul de $P_T(M)$ .

Exercice 1 (★★) : un test médical

Une maladie touche $2\,\%$ d'une population. Un test est positif ( $T$ ) pour $95\,\%$ des personnes malades ( $M$ ) et pour $4\,\%$ des personnes non malades.

1. Dessiner l'arbre pondéré.

2. Calculer la probabilité qu'une personne soit malade et ait un test positif.

3. Calculer $P(T)$ .

4. Calculer $P_T(M)$ et commenter.

✏️ Correction de l'exercice 1

Question 1

Arbre du test médical

Question 2

$P(M\cap T)=0{,}02\times0{,}95=0{,}019$ .

Question 3

$M$ et $\overline{M}$ forment une partition. D'après la formule des probabilités totales :

$P(T)=0{,}019+0{,}98\times0{,}04=0{,}019+0{,}0392=0{,}0582$ .

Question 4

$P_T(M)=\dfrac{P(M\cap T)}{P(T)}=\dfrac{0{,}019}{0{,}0582}\approx0{,}33$ .

✅ Un test positif ne signifie malade qu'avec la probabilité $0{,}33$ environ : la maladie est rare, donc les faux positifs sont nombreux.

Exercice 2 (★) : inverser avec les données

Deux événements $A$ et $B$ vérifient $P(A)=0{,}3$ , $P(B)=0{,}26$ et $P(A\cap B)=0{,}12$ .

1. Calculer $P_A(B)$ .

2. Calculer $P_B(A)$ .

3. Retrouver $P(A\cap B)$ à partir de $P(A)$ et de $P_A(B)$ , puis recalculer $P_B(A)$ avec ce résultat.

✏️ Correction de l'exercice 2

Question 1

$P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}=\dfrac{0{,}12}{0{,}3}=0{,}4$ .

Question 2

$P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{0{,}12}{0{,}26}=\dfrac6{13}\approx0{,}46$ .

Question 3

$P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)=0{,}3\times0{,}4=0{,}12$ , ce qui est bien la donnée de l'énoncé. Alors $P_B(A)=\dfrac{P(A)\times P_A(B)}{P(B)}=\dfrac{0{,}12}{0{,}26}=\dfrac6{13}$ .

✅ Les deux écritures de $P(A\cap B)$ donnent le même résultat : $P_B(A)=\dfrac6{13}$ .

Exercice 3 (★★) : deux urnes

On lance un dé équilibré. Si le résultat est $1$ ou $2$ , on tire une boule dans l'urne $U_1$ (3 rouges, 1 bleue). Sinon on tire dans l'urne $U_2$ (1 rouge, 3 bleues). On note $R$ : « la boule est rouge ».

1. Donner $P(U_1)$ , $P_{U_1}(R)$ et $P_{U_2}(R)$ .

2. Calculer $P(R)$ .

3. La boule est rouge. Quelle est la probabilité qu'elle vienne de $U_1$ ?

✏️ Correction de l'exercice 3

Question 1

$P(U_1)=\dfrac26=\dfrac13$ , donc $P(U_2)=\dfrac23$ . $P_{U_1}(R)=\dfrac34$ et $P_{U_2}(R)=\dfrac14$ .

Question 2

D'après la formule des probabilités totales :

$P(R)=\dfrac13\times\dfrac34+\dfrac23\times\dfrac14=\dfrac14+\dfrac16=\dfrac5{12}$ .

✅ $P(R)=\dfrac5{12}$ .

Question 3

$P_R(U_1)=\dfrac{P(U_1\cap R)}{P(R)}=\dfrac{1/4}{5/12}=\dfrac14\times\dfrac{12}5=\dfrac35$ .

✅ La probabilité est $\dfrac35=0{,}6$ .

Exercice 4 (★★) : un filtre anti-spam

$30\,\%$ des courriels reçus sont des spams. Un filtre classe comme suspect ( $S$ ) $95\,\%$ des spams et $2\,\%$ des courriels légitimes.

1. Calculer la probabilité qu'un courriel soit classé suspect.

2. Un courriel est classé suspect. Quelle est la probabilité que ce soit un spam ?

3. Un courriel n'est pas classé suspect. Quelle est la probabilité que ce soit un spam ?

✏️ Correction de l'exercice 4

Question 1

On note $C$ : « le courriel est un spam ». $C$ et $\overline{C}$ forment une partition.

$P(S)=0{,}3\times0{,}95+0{,}7\times0{,}02=0{,}285+0{,}014=0{,}299$ .

✅ $P(S)=0{,}299$ .

Question 2

$P_S(C)=\dfrac{0{,}285}{0{,}299}\approx0{,}953$ .

✅ Un courriel suspect est un spam avec la probabilité $0{,}95$ environ.

Question 3

$P(C\cap\overline{S})=0{,}3\times0{,}05=0{,}015$ et $P(\overline{S})=1-0{,}299=0{,}701$ .

$P_{\overline{S}}(C)=\dfrac{0{,}015}{0{,}701}\approx0{,}021$ .

✅ Un courriel non suspect est un spam avec la probabilité $0{,}02$ environ.

Exercice 5 (★★★) : données manquantes

Deux événements $A$ et $B$ vérifient $P(A)=0{,}4$ , $P_A(B)=0{,}5$ et $P(B)=0{,}35$ .

1. Calculer $P(A\cap B)$ .

2. En déduire $P(\overline{A}\cap B)$ puis $P_{\overline{A}}(B)$ .

3. Calculer $P_B(A)$ .

✏️ Correction de l'exercice 5

Question 1

$P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)=0{,}4\times0{,}5=0{,}2$ .

Question 2

$A$ et $\overline{A}$ forment une partition : $P(B)=P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B)$ , donc $P(\overline{A}\cap B)=0{,}35-0{,}2=0{,}15$ .

$P(\overline{A})=1-0{,}4=0{,}6$ , donc $P_{\overline{A}}(B)=\dfrac{0{,}15}{0{,}6}=0{,}25$ .

✅ $P(\overline{A}\cap B)=0{,}15$ et $P_{\overline{A}}(B)=0{,}25$ .

Question 3

$P_B(A)=\dfrac{0{,}2}{0{,}35}=\dfrac47$ .

✅ $P_B(A)=\dfrac47\approx0{,}57$ .

Exercice 6 (★★) : vrai ou faux

Justifier chaque réponse :

1. Si $P(B)\neq0$ , alors $P_B(A)=\dfrac{P(A)\,P_A(B)}{P(B)}$ (la définition, avec $P(A\cap B)=P(A)\,P_A(B)$ ).

2. Si $P_A(B)=0{,}9$ , alors $P_B(A)=0{,}9$ .

3. Un test fiable à $95\,\%$ signifie qu'une personne au test positif est malade avec la probabilité $0{,}95$ .

4. $P(B)=P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B)$ .

✏️ Correction de l'exercice 6

Affirmation 1

$P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$ et $P(A\cap B)=P(A)\,P_A(B)$ .

✅ Vrai.

Affirmation 2

Contre-exemple : exercice 5, $P_A(B)=0{,}5$ et $P_B(A)=\dfrac47$ .

❌ Faux.

Affirmation 3

« Fiable à $95\,\%$ » désigne $P_M(T)$ , pas $P_T(M)$ . L'exercice 1 donne $P_T(M)\approx0{,}33$ .

❌ Faux.

Affirmation 4

C'est la formule des probabilités totales avec la partition $\{A\,;\,\overline{A}\}$ .

✅ Vrai.

🎯 Ce qui peut tomber en contrôle

Test médical ou contrôle qualité : inversion du conditionnement (exercices 1 et 4).
Formule d'inversion (exercice 2).
Deux urnes et choix de l'urne (exercice 3).
Données manquantes à reconstituer (exercice 5).

QCM : vérifie tes acquis

5 questions, une seule bonne réponse chacune. Choisis une réponse : la correction s'affiche tout de suite. Ton score est enregistré dans Mon espace.

Question 1 sur 5

On cherche la probabilité d'être malade sachant que le test est positif. On calcule :

Question 2 sur 5

Pour $P_T(M)$ , le dénominateur est :

Question 3 sur 5

Avec $P(A\cap B)=0{,}12$ et $P(B)=0{,}3$ , $P_B(A)$ vaut :

Question 4 sur 5

Si $P_A(B)=0{,}8$ et $P(A)<P(B)$ , alors $P_B(A)$ est :

Question 5 sur 5

Pour calculer $P_B(A)$ avec un arbre écrit dans l'ordre $A$ puis $B$ , il faut :

Un doute sur ce chapitre ? On en parle ensemble, sans engagement.

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