Première Spé Maths / Chapitre 7 : Produit scalaire

Fiche 1 : calculs de produits scalaires

Huit exercices pour calculer des produits scalaires :

avec les coordonnées ;
avec les normes et l'angle ;
avec Chasles ;
avec le projeté orthogonal ;
avec les identités remarquables ;
pour calculer un angle ;
pour retrouver les coordonnées d'un vecteur ;
vrai/faux.

Toutes les corrections sont rédigées comme on l'attend d'une bonne copie :

la formule utilisée est écrite ;
les vecteurs sont donnés avec leurs coordonnées ;
le résultat est un nombre, isolé à la fin.

💡 Le modèle de rédaction d'un produit scalaire

« Dans le repère orthonormé, $\vec u\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}$ et $\vec v\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}$ . $\vec u\cdot\vec v=3\times1+(-2)\times4=-5$ . »

Écris les coordonnées des deux vecteurs.
Écris la formule avec les nombres.
Conclus par un nombre.

⚠️ Les pièges classiques

Écrire un vecteur comme résultat.
Se tromper de signe dans $\overrightarrow{AB}(x_B-x_A\,;\,y_B-y_A)$ .
Utiliser $xx'+yy'$ dans un repère qui n'est pas orthonormé.
Oublier le double produit dans $\|\vec u+\vec v\|^2$ .

😄 Un produit scalaire, c'est un nombre. Un vecteur dans la réponse, c'est un lapin dans le chapeau : ça surprend, mais ça ne vaut pas de points.

Exercice 1 (★) : avec les coordonnées

Dans un repère orthonormé, $\vec u\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}$ , $\vec v\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}$ et $\vec w\begin{pmatrix}-2\\-3\end{pmatrix}$ .

1. Calculer $\vec u\cdot\vec v$ et $\|\vec u\|$ .

2. Calculer $\vec u\cdot\vec w$ . Que peut-on dire de $\vec u$ et $\vec w$ ?

3. Calculer $\vec u\cdot(2\vec v-\vec w)$ de deux façons.

✏️ Correction de l'exercice 1

Question 1

$\vec u\cdot\vec v=3\times1+(-2)\times4=3-8$ .

$\|\vec u\|=\sqrt{3^2+(-2)^2}=\sqrt{13}$ .

✅ $\vec u\cdot\vec v=-5$ et $\|\vec u\|=\sqrt{13}$ .

Question 2

$\vec u\cdot\vec w=3\times(-2)+(-2)\times(-3)=-6+6=0$ .

✅ $\vec u\cdot\vec w=0$ : les vecteurs $\vec u$ et $\vec w$ sont orthogonaux.

Question 3

Première façon (coordonnées). $2\vec v-\vec w\begin{pmatrix}2+2\\8+3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\11\end{pmatrix}$ , donc $\vec u\cdot(2\vec v-\vec w)=3\times4+(-2)\times11=12-22=-10$ .

Seconde façon (bilinéarité). $\vec u\cdot(2\vec v-\vec w)=2\,\vec u\cdot\vec v-\vec u\cdot\vec w=2\times(-5)-0=-10$ .

✅ $\vec u\cdot(2\vec v-\vec w)=-10$ (les deux méthodes donnent le même résultat).

Exercice 2 (★) : avec les normes et l'angle

$\|\vec u\|=3$ et $\|\vec v\|=4$ . Calculer $\vec u\cdot\vec v$ lorsque l'angle géométrique $\theta$ entre $\vec u$ et $\vec v$ vaut :

1. $60°$ ;

2. $120°$ ;

3. $90°$ ;

4. $0°$ .

5. Dans le cas $60°$ , calculer $\|\vec u+\vec v\|^2$ .

✏️ Correction de l'exercice 2

Les calculs

$60°$ : $12\cos60°=12\times\dfrac12=6$ .

$120°$ : $12\cos120°=12\times\left(-\dfrac12\right)=-6$ .

$90°$ : $12\cos90°=0$ .

$0°$ : $12\cos0°=12$ .

✅ $6$ ; $-6$ ; $0$ ; $12$ .

Question 5

✅ $\|\vec u+\vec v\|^2=37$ .

Exercice 3 (★★) : avec Chasles et un rectangle

Soit $ABCD$ un rectangle avec $AB=6$ et $AD=4$ . Le point $M$ est le milieu de $[BC]$ .

1. Calculer $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ .

2. Calculer $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}$ .

3. Calculer $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AC}$ .

✏️ Correction de l'exercice 3

Question 1

Chasles : $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ . Dans un rectangle, $\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{BC}$ .

$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=36+0$ .

✅ $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=36$ .

Question 2

$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$ .

$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})\cdot(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})=AD^2-AB^2=16-36$ .

✅ $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=-20$ .

Question 3

$M$ milieu de $[BC]$ : $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\dfrac12\overrightarrow{AD}$ (car $\overrightarrow{BM}=\dfrac12\overrightarrow{BC}=\dfrac12\overrightarrow{AD}$ ).

$\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AC}=\left(\overrightarrow{AB}+\dfrac12\overrightarrow{AD}\right)\cdot\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)=AB^2+\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}+\dfrac12\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB}+\dfrac12AD^2$ .

$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=0$ : on obtient $36+0+0+\dfrac12\times16=44$ .

✅ $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AC}=44$ .

Exercice 4 (★★) : avec le projeté orthogonal

Soient $A$ , $B$ , $C$ trois points tels que $AB=8$ et $AC=5$ . On note $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$ et on suppose $AH=3$ .

1. On suppose que $H$ est du même côté de $A$ que $B$ (cas 1). Calculer $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ puis $\cos\widehat{BAC}$ et une valeur approchée de $\widehat{BAC}$ .

2. On suppose maintenant que $H$ est de l'autre côté de $A$ (cas 2). Calculer $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ . L'angle $\widehat{BAC}$ est-il aigu ou obtus ?

3. Dans le cas 1, calculer $CH$ puis $BC^2$ avec le théorème de Pythagore.

4. Retrouver $BC^2$ avec $\|\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\|^2$ .

Cas 1 : AB = 8, AC = 5, AH = 3 et H entre A et B

✏️ Correction de l'exercice 4

Question 1

$\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AH}$ sont de même sens : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AH=8\times3=24$ .

$\cos\widehat{BAC}=\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{AB\times AC}=\dfrac{24}{8\times5}=0{,}6$ .

✅ $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=24$ et $\widehat{BAC}\approx 53{,}1°$ .

Question 2

$\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AH}$ sont de sens contraires : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-AB\times AH=-8\times3=-24$ .

✅ $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-24$ : le produit scalaire est négatif, donc l'angle $\widehat{BAC}$ est obtus (environ $126{,}9°$ ).

Question 3

Dans le triangle $AHC$ rectangle en $H$ : $CH^2=AC^2-AH^2=25-9=16$ , donc $CH=4$ .

$H$ est sur $[AB]$ avec $HB=AB-AH=8-3=5$ . Dans le triangle $BHC$ rectangle en $H$ : $BC^2=BH^2+CH^2=25+16=41$ .

✅ $CH=4$ et $BC^2=41$ .

Question 4

$BC^2=\|\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\|^2=AC^2-2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}+AB^2=25-2\times24+64=41$ .

✅ On retrouve $BC^2=41$ .

Exercice 5 (★★) : identités remarquables

$\|\vec u\|=2$ , $\|\vec v\|=3$ et $\vec u\cdot\vec v=-1$ . Calculer :

1. $\|\vec u+\vec v\|^2$ et $\|\vec u-\vec v\|^2$ ;

2. $(\vec u+2\vec v)\cdot(\vec u-\vec v)$ ;

3. $\|2\vec u-3\vec v\|^2$ ;

4. $\cos\theta$ , où $\theta$ est l'angle entre $\vec u$ et $\vec v$ , puis une valeur approchée de $\theta$ .

✏️ Correction de l'exercice 5

Question 1

$\|\vec u+\vec v\|^2=\|\vec u\|^2+2\,\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2=4-2+9=11$ .

$\|\vec u-\vec v\|^2=\|\vec u\|^2-2\,\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2=4+2+9=15$ .

✅ $\|\vec u+\vec v\|^2=11$ et $\|\vec u-\vec v\|^2=15$ .

Question 2

On développe : $(\vec u+2\vec v)\cdot(\vec u-\vec v)=\vec u^{\,2}-\vec u\cdot\vec v+2\vec v\cdot\vec u-2\vec v^{\,2}=\vec u^{\,2}+\vec u\cdot\vec v-2\vec v^{\,2}$ .

$=4+(-1)-2\times9=-15$ .

✅ $(\vec u+2\vec v)\cdot(\vec u-\vec v)=-15$ .

Question 3

$\|2\vec u-3\vec v\|^2=4\|\vec u\|^2-12\,\vec u\cdot\vec v+9\|\vec v\|^2=16+12+81$ .

✅ $\|2\vec u-3\vec v\|^2=109$ .

Question 4

$\cos\theta=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}=\dfrac{-1}{6}$ .

L'angle vaut environ $99{,}6°$ (obtus, car le produit scalaire est négatif).

✅ $\cos\theta=-\dfrac16$ , soit un angle d'environ $99{,}6°$ .

Exercice 6 (★★) : calculer un angle

Dans un repère orthonormé, $A(1\,;\,2)$ , $B(4\,;\,3)$ et $C(2\,;\,5)$ .

1. Calculer $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ , $AB$ et $AC$ .

2. En déduire la mesure de $\widehat{BAC}$ , arrondie au dixième de degré.

3. Vérifier avec un script Python :
from math import sqrt, acos, degrees

AB = (3, 1)
AC = (1, 3)
ps = AB[0] * AC[0] + AB[1] * AC[1]
n1 = sqrt(AB[0]**2 + AB[1]**2)
n2 = sqrt(AC[0]**2 + AC[1]**2)
print(round(degrees(acos(ps / (n1 * n2))), 1))

✏️ Correction de l'exercice 6

Question 1

$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4-1\\3-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}2-1\\5-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}$ .

$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=3\times1+1\times3=6$ .

$AB=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$ et $AC=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$ .

✅ $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=6$ et $AB=AC=\sqrt{10}$ .

Question 2

$\cos\widehat{BAC}=\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{AB\times AC}=\dfrac{6}{10}=0{,}6$ .

✅ $\widehat{BAC}\approx 53{,}1°$ .

Question 3

Le script calcule $\arccos(0{,}6)$ en degrés : il affiche $53{,}1$ , ce qui confirme le résultat.

✅ Le script affiche 53{,}1.

Exercice 7 (★★) : retrouver les coordonnées d'un vecteur

Dans un repère orthonormé $(O\,;\vec\imath,\vec\jmath)$ , on rappelle que $\vec\imath\cdot\vec\imath=\vec\jmath\cdot\vec\jmath=1$ et $\vec\imath\cdot\vec\jmath=0$ . Soit $\vec u\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ .

1. Montrer que $x=\vec u\cdot\vec\imath$ et $y=\vec u\cdot\vec\jmath$ .

2. Un vecteur $\vec u$ vérifie $\vec u\cdot\vec\imath=-2$ et $\vec u\cdot\vec\jmath=5$ . Donner ses coordonnées et sa norme.

3. Un vecteur $\vec v$ vérifie $\vec v\cdot\vec\imath=4$ et $\vec v\cdot\vec u=7$ . Déterminer ses coordonnées.

4. Calculer le cosinus de l'angle entre $\vec u$ et $\vec v$ , puis une valeur approchée de cet angle.

✏️ Correction de l'exercice 7

Question 1

On a $\vec u=x\vec\imath+y\vec\jmath$ . Par bilinéarité : $\vec u\cdot\vec\imath=x\,\vec\imath\cdot\vec\imath+y\,\vec\jmath\cdot\vec\imath=x\times1+y\times0=x$ .

De même, $\vec u\cdot\vec\jmath=x\,\vec\imath\cdot\vec\jmath+y\,\vec\jmath\cdot\vec\jmath=y$ .

✅ $x=\vec u\cdot\vec\imath$ et $y=\vec u\cdot\vec\jmath$ .

Question 2

D'après la question 1, $x=-2$ et $y=5$ . Donc $\|\vec u\|=\sqrt{(-2)^2+5^2}=\sqrt{29}$ .

✅ $\vec u\begin{pmatrix}-2\\5\end{pmatrix}$ et $\|\vec u\|=\sqrt{29}$ .

Question 3

$\vec v\cdot\vec\imath=4$ donne $\vec v\begin{pmatrix}4\\y\end{pmatrix}$ . Puis $\vec v\cdot\vec u=4\times(-2)+y\times5=-8+5y=7$ , donc $5y=15$ et $y=3$ .

✅ $\vec v\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}$ (et $\|\vec v\|=5$ ).

Question 4

$\cos\theta=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}=\dfrac{7}{5\sqrt{29}}\approx0{,}260$ .

✅ $\cos\theta=\dfrac{7}{5\sqrt{29}}$ , soit un angle d'environ $74{,}9°$ .

Exercice 8 (★★) : vrai ou faux

Justifier chaque réponse :

1. Si $\vec u\cdot\vec v=0$ , alors $\vec u=\vec 0$ ou $\vec v=\vec 0$ .

2. Pour tous vecteurs, $\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec u$ .

3. Pour tous vecteurs, $\|\vec u+\vec v\|^2=\|\vec u\|^2+\|\vec v\|^2$ .

4. Si $\vec u\cdot\vec v=\vec u\cdot\vec w$ , alors $\vec v=\vec w$ .

5. Si $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires de même sens, $\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|$ .

6. Si $\|\vec u+\vec v\|^2=\|\vec u\|^2+\|\vec v\|^2$ , alors $\vec u$ et $\vec v$ sont orthogonaux.

✏️ Correction de l'exercice 8

Affirmation 1

Contre-exemple : $\vec u\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$ et $\vec v\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$ : $\vec u\cdot\vec v=0$ , sans qu'aucun ne soit nul.

❌ Faux.

Affirmation 2

C'est la symétrie du produit scalaire.

✅ Vrai.

Affirmation 3

Il manque le terme $2\,\vec u\cdot\vec v$ . Contre-exemple : $\vec u=\vec v\neq\vec 0$ donne $\|2\vec u\|^2=4\|\vec u\|^2\neq2\|\vec u\|^2$ .

❌ Faux.

Affirmation 4

Contre-exemple : $\vec u\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$ , $\vec v\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}$ , $\vec w\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}$ : $\vec u\cdot\vec v=2=\vec u\cdot\vec w$ mais $\vec v\neq\vec w$ .

❌ Faux.

Affirmation 5

L'angle est $0°$ et $\cos0°=1$ .

✅ Vrai.

Affirmation 6

✅ Vrai.

🎯 Ce qui peut tomber en contrôle

Calculer un produit scalaire avec des coordonnées (exercices 1 et 6).
Utiliser $\|\vec u\|\|\vec v\|\cos\theta$ (exercice 2).
Décomposer avec Chasles dans une figure (exercice 3).
Utiliser le projeté orthogonal (exercice 4).
Développer avec les identités remarquables (exercice 5).
Calculer un angle (exercices 4, 6 et 7).
Retrouver les coordonnées d'un vecteur avec des produits scalaires (exercice 7).
Un vrai/faux sur les propriétés (exercice 8).

QCM : vérifie tes acquis

5 questions, une seule bonne réponse chacune. Choisis une réponse : la correction s'affiche tout de suite. Ton score est enregistré dans Mon espace.

Question 1 sur 5

Dans un repère orthonormé, $\vec u\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$ et $\vec v\begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix}$ . Alors $\vec u\cdot\vec v=$ :

Question 2 sur 5

Si $\|\vec u\|=5$ , $\|\vec v\|=2$ et l'angle vaut $90°$ , alors $\vec u\cdot\vec v=$ :

Question 3 sur 5

$\|\vec u+\vec v\|^2$ est égal à :

Question 4 sur 5

Si $\vec u\cdot\vec v<0$ (vecteurs non nuls), l'angle entre $\vec u$ et $\vec v$ est :

Question 5 sur 5

Le produit scalaire de deux vecteurs est :

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